ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني تطبيقات اللوغاريتمات

أهداف التعلم

1. استيعاب خصائص اللوغاريتمات الأساسية (الجمع، الطرح، القوة).
2. تحويل أي لوغاريتم إلى مجموعة من اللوغاريتمات ذات القواعد المعروفة (مثل log₁₀ 2 و log₁₀ 3).
3. رسم وتحليل دالة اللوغاريتم $y=\log_{a}x$ وتحديد خصائصها (المجال، المدى، الاتجاه، الأسيمبتوت).
4. مقارنة قيم اللوغاريتمات باستخدام خاصية التزايد أو التناقص حسب قيمة القاعدة.
5. حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على لوغاريتمات مع مراعاة شرط إيجابية الوسيط.
6. توظيف اللوغاريتمات في تمثيل البيانات ذات النطاق الواسع (مثال: مقياس الديسيبل).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• اللوغاريتم: إذا كان $a>0$ و$a\neq1$ و$x>0$ فإن العدد $y$ الذي يحقق $a^{y}=x$ يكتب $y=\log_{a}x$.
• دالة اللوغاريتم: الدالة المعرفة بالصيغة $f(x)=\log_{a}x$ حيث $a$ ثابت (القاعدة) و$x>0$.
• قيمة القاعدة:
  • إذا كان $a>1$ فإن الدالة متزايدة على مجالها.
  • إذا كان $0<a<1$ فإن الدالة متناقصة على مجالها.
• المجال: جميع الأعداد الموجبة $(0,\infty)$.
• المدى: جميع الأعداد الحقيقية $(-\infty,\infty)$.
• الأسيمبتوت: المستقيم العمودي على محور $x$ عند الصفر، أي محور $y$ هو أسيمبتوت للدالة.
• تماثل مع الدالة الأسية: الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية هو انعكاس حول الخط $y=x$ للرسم البياني للدالة الأسية $y=a^{x}$.
• قانون المقارنة:
  • إذا كان $a>1$ و$M<N$ فإن $\log_{a}M<\log_{a}N$.
  • إذا كان $0<a<1$ و$M<N$ فإن $\log_{a}M>\log_{a}N$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة جمع اللوغاريتمات

log_a(M·N) = log_a M + log_a N

شرط التطبيق: $M>0$ و$N>0$.
ملاحظة: تُستعمل لتفكيك حاصل ضرب إلى مجموع لوغاريتمات.

قاعدة طرح اللوغاريتمات

log_a(M/N) = log_a M – log_a N

شرط التطبيق: $M>0$ و$N>0$.
ملاحظة: إذا كان المقام يساوي 1 فإن اللوغاريتم يختفي.

قاعدة القوة (الأس)

log_a(M^k) = k·log_a M

شرط التطبيق: $M>0$.
ملاحظة: يمكن استعمالها لتقليل أسس داخل اللوغاريتم أو لإخراجها.

قاعدة تحويل القاعدة إلى 10 (أو أي قاعدة معروفة)

log_a M = (log_10 M) / (log_10 a)

شرط التطبيق: $a>0,;a≠1,;M>0$.
ملاحظة: تُستعمل عندما تُعطى قيم اللوغاريتمات بقاعدة 10 فقط (مثل $a=\log_{10}2$ و $b=\log_{10}3$).

قاعدة المقارنة (الخاصية الأحادية)

إذا a>1  و M<N  →  log_a M < log_a N
إذا 0<a<1 و M<N →  log_a M > log_a N

شرط التطبيق: القاعدة موجبة وغير مساوية للواحد، والوسيطان موجبان.
ملاحظة: عند تغيير القاعدة يجب توحيد القواعد أولاً لتطبيق القاعدة بصورة صحيحة.

قاعدة حل المعادلات اللوغاريتمية (تساوي الوسائط)

إذا log_a P = log_a Q  →  P = Q   بشرط P>0 , Q>0

شرط التطبيق: يجب أن تكون جميع الوسائط موجبة.
ملاحظة: بعد مساواة الوسائط قد تظهر معادلات جبرية تحتاج إلى حلها.

قاعدة شرط الإيجابية للوسيط (Domain Condition)

الوسيط داخل اللوغاريتم يجب أن يكون > 0

شرط التطبيق: لكل تعبير لوغاريتمي يجب فحص الشرط قبل البدء بالحل.
ملاحظة: إهمال هذا الشرط يؤدي إلى حلول غير صالحة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل (تحويل لوغاريتم إلى a و b)

المعطى: $\log_{10}2 = a$ و $\log_{10}3 = b$. أوجد $\log_{10}945$ في صورة $a$ و$b$.

الحل:

1. فكّك العدد 945 إلى عوامل أولية: $945 = 3^{3}\times5$.
2. استخدم قاعدة القوة: $\log_{10}945 = \log_{10}(3^{3}\times5) = 3\log_{10}3 + \log_{10}5$.
3. لا نملك $\log_{10}5$ مباشرة، لكن $5 = \dfrac{10}{2}$ ⇒ $\log_{10}5 = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - a$.
4. استبدل القيم: $\log_{10}945 = 3b + (1 - a) = 3b - a + 1$.

النتيجة: $\boxed{\log_{10}945 = 3b - a + 1}$.

---

مثال 2 – متوسط (مقارنة ثلاثة لوغاريتمات)

المعطى: القاعدة $a = 2$ (أكبر من 1). قارن $\log_{2}3$ و $\log_{2}\sqrt{5}$ و $\log_{2}4$.

الحل:

1. احسب القيم العددية للوسائط: $\sqrt{5}\approx2.236$، $3$ و$4$.
2. ترتيب الوسائط: $\sqrt{5}<3<4$.
3. بما أن القاعدة $a=2>1$ فإن الترتيب يبقى نفسه للوغاريتمات:
   $\log_{2}\sqrt{5}<\log_{2}3<\log_{2}4$.
4. نعلم أن $\log_{2}4 = 2$ (لأن $2^{2}=4$).

النتيجة: $\boxed{\log_{2}\sqrt{5}<\log_{2}3<2}$.

---

مثال 3 – صعب (حل معادلة لوغاريتمية مع شرط الإيجابية)

المعادلة: $\log_{5}(2x-1) = \log_{5}3$.

الخطوات:

1. التحقق من شرط الإيجابية:
   • للوسيط الأيسر: $2x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$.
   • للوسيط الأيمن: $3>0$ (متحقق تلقائياً).
2. مساواة الوسائط (قانون حل المعادلات):

$$2x-1 = 3$$

3. حل المعادلة الجبرية:

$$2x = 4 ;\Rightarrow; x = 2$$

4. التحقق من الشرط: $x=2>\dfrac{1}{2}$ ⇒ الحل مقبول.

النتيجة: $\boxed{x=2}$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال شرط الإيجابية للوسيط: حل المعادلة دون فحص $M>0$ قد ينتج قيماً غير صالحة.
• خلط القواعد: عند مقارنة أو جمع لوغاريتمات يجب توحيد القاعدة أولاً؛ عدم ذلك يغيّر اتجاه المتباينة.
• استخدام قاعدة القوة على عدد سالب: لا يجوز تطبيق $\log_a(M^{k})$ إذا كان $M\le0$.
• الخطأ في تحويل القاعدة: نسيان أن $\log_a M = \dfrac{\log_{10} M}{\log_{10} a}$ يتطلب حساب $\log_{10} a$ بدقة.
• الخطأ في حساب الجذر: $\log_a\sqrt{M} = \dfrac{1}{2}\log_a M$ وليس $\log_a M^{2}$.
• الخلط بين الدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية: التماثل حول الخط $y=x$ لا يعني أن المنحنيين متطابقين؛ أحدهما عكسي للآخر.

---

قائمة المراجعة

1. هل تعرف تعريف اللوغاريتم وعلاقته بالدالة الأسية؟
2. هل تتذكر قاعدة الجمع $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$؟
3. هل تتذكر قاعدة الطرح $\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N$؟
4. هل تتذكر قاعدة القوة $\log_a(M^{k})=k\log_a M$؟
5. هل تستطيع تحويل أي لوغاريتم إلى قاعدة 10 باستخدام $\log_a M = \dfrac{\log_{10} M}{\log_{10} a}$؟
6. هل تتحقق من شرط الإيجابية للوسيط قبل البدء بحل أي معادلة؟
7. هل تعرف كيف تُجعل القواعد متساوية قبل المقارنة؟
8. هل تستطيع تحديد اتجاه الدالة اللوغاريتمية حسب قيمة القاعدة (أكبر من 1 أو أصغر من 1)؟
9. هل تعرف أن محور $y$ هو أسيمبتوت للدالة اللوغاريتمية؟
10. هل تستطيع رسم تقريبى للدالة $\log_a x$ باستخدام النقاط $(-1,0,1)$ للوسيط؟
11. هل تتذكر أن تماثل الدالة اللوغاريتمية مع الدالة الأسية يكون حول الخط $y=x$؟
12. هل تستطيع حل معادلة من الشكل $\log_a P = \log_a Q$ بإيجاد $P=Q$ ثم التحقق من الشرط؟
13. هل تستطيع كتابة علاقة بين $\log_{c}x$ و$\log_{c}y$ عندما يكون $x<y$ مع قاعدة $c<1$؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

log_a(M·N) = log_a M + log_a N
log_a(M/N) = log_a M – log_a N
log_a(M^k) = k·log_a M
log_a M = (log_10 M) / (log_10 a)
إذا a>1 و M<N → log_a M < log_a N
إذا 0<a<1 و M<N → log_a M > log_a N
log_a P = log_a Q → P = Q   (مع شرط P>0 , Q>0)
الوسيط داخل اللوغاريتم يجب أن يكون > 0

---

بالتوفيق في امتحاناتك!