ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني مقدمة في اللوغاريتمات وخواصها

أهداف التعلم

1. تعريف الطالب بمفهوم اللوغاريتم وعلاقته بالدالة الأسية.
2. استيعاب قاعدة التعريف:  $a^{p}=M \iff \log_{a}M=p$.
3. حساب قيم اللوغاريتمات الخاصة مثل $\log_{a}1$ و$\log_{a}a$.
4. تطبيق قواعد جمع، طرح، وضرب اللوغاريتمات (قواعد الضرب، القسمة، والقوة).
5. تحويل اللوغاريتمات بين قواعد مختلفة باستخدام قاعدة تغيير القاعدة.
6. حل مسائل تطبيقية تتضمن تبسيط تعبيرات لوغاريتمية وإيجاد قيم عددية.
7. التعرف على الأخطاء الشائعة في التعامل مع اللوغاريتمات وتجنبها.
8. بناء مهارات التفكير التحليلي لتبسيط المعادلات اللوغاريتمية في سياق الفيزياء والكيمياء (مثال: مقياس pH، شدة الصوت).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• اللوغاريتم: $\log_{a}M$ هو الأس $p$ الذي يرفع القاعدة $a$ إليه للحصول على العدد $M$. يُسمى $a$ القاعدة و$M$ المُعامل.
• العلاقة العكسية بين الدالة الأسية واللوغاريتمية: إذا كان $a^{p}=M$ فإن $\log_{a}M=p$.
• قيمة اللوغاريتم للعدد 1: $\log_{a}1 = 0$ (لأن أي قاعدة مرفوعة للقوة صفر تعطي 1).
• قيمة اللوغاريتم للقاعدة نفسها: $\log_{a}a = 1$ (لأن أي قاعدة مرفوعة للقوة 1 تعطي نفسها).
• قيمة اللوغاريتم للقاعدة مرفوعة لقوة: $\log_{a}(a^{p}) = p$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة التعريف (Definition)

a^{p}=M  ⇔  log_a(M)=p

شرط التطبيق: القاعدة $a>0$ ولا تساوي 1؛ المُعامل $M>0$.
ملاحظة: إذا كان $M$ لا يمكن كتابته كقوة للقاعدة، يلزم استعمال قاعدة تغيير القاعدة.

قاعدة اللوغاريتم للعدد 1

log_a(1)=0

شرط التطبيق: أي قاعدة موجبة لا تساوي 1.

قاعدة اللوغاريتم للقاعدة نفسها

log_a(a)=1

شرط التطبيق: القاعدة موجبة ولا تساوي 1.

قاعدة القوة (Power Rule)

k·log_a(M)=log_a(M^{k})

شرط التطبيق: $k$ عدد حقيقي، $M>0$.
ملاحظة: يمكن نقل أي معامل أمام اللوغاريتم إلى الأس داخل اللوغاريتم.

قاعدة الجمع (Product Rule)

log_a(M)+log_a(N)=log_a(M·N)

شرط التطبيق: القاعدتان متساويتان، $M>0$ و$N>0$.

قاعدة الطرح (Quotient Rule)

log_a(M)-log_a(N)=log_a(M/N)

شرط التطبيق: القاعدتان متساويتان، $M>0$ و$N>0$.

قاعدة تغيير القاعدة (Change‑of‑Base Rule)

log_b(A)= (log_c A) / (log_c b)

شرط التطبيق: القواعد $b,c>0$ ولا تساوي 1؛ $A>0$.
ملاحظة: غالبًا يُختار $c=10$ أو $c=e$ لتسهيل الحسابات باستخدام الآلة الحاسبة.

قاعدة تحويل القاعدة إلى قاعدات ذات أسس مريحة

إذا كان a = p^{k} أو M = p^{k} → استبدال a أو M بالأساس p لتبسيط الحساب.

شرط التطبيق: يجب أن يكون للقاعدة أو للمعامل تمثيل كقوة لعدد صحيح (مثل 2، 3، 5).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب $\log_{2}8$.

الحل:

1. نكتب 8 كقوة للقاعدة 2: $8 = 2^{3}$.
2. باستخدام قاعدة القوة: $\log_{2}(2^{3}) = 3$.

النتيجة: $\boxed{3}$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: احسب $\log_{5}125$ بدون آلة حاسبة.

الحل:

1. نلاحظ أن $125 = 5^{3}$.
2. تطبيق قاعدة القوة: $\log_{5}(5^{3}) = 3$.

النتيجة: $\boxed{3}$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: بفرض أن $\log_{10}25 = x$، احسب $\log_{5}x$.

الحل:

1. نكتب العلاقة الأصلية: $\log_{10}25 = x \Rightarrow 10^{x}=25$.
2. نحتاج $\log_{5}x$. نستخدم قاعدة تغيير القاعدة مع القاعدة 5:

$$\log_{5}x = \frac{\log_{10}x}{\log_{10}5}$$

3. من (1) نحصل على $\log_{10}x = \log_{10}(\log_{10}25)$ وهو تعبير غير مباشر. بدلاً من ذلك نعيد كتابة 25 كـ$5^{2}$:

$$\log_{10}25 = \log_{10}(5^{2}) = 2\log_{10}5 = x$$

إذن $\log_{10}5 = \frac{x}{2}$.
4. الآن نحسب $\log_{5}x$:

$$\log_{5}x = \frac{\log_{10}x}{\log_{10}5}$$

لكن $\log_{10}x$ غير معروف مباشرة؛ نستبدل $x = 2\log_{10}5$:

$$\log_{10}x = \log_{10}(2\log_{10}5) = \log_{10}2 + \log_{10}(\log_{10}5)$$

وهذا يصبح معقدًا؛ لذا نختار طريقة أبسط: نعيد كتابة المطلوب كـ $\log_{5}(\log_{10}25)$. باستخدام قاعدة التغيير مرة أخرى:

$$\log_{5}(\log_{10}25)=\frac{\log_{10}(\log_{10}25)}{\log_{10}5}$$

وبما أن $\log_{10}5 = \frac{x}{2}$ فإن:

$$\log_{5}x = \frac{\log_{10}x}{x/2}= \frac{2\log_{10}x}{x}$$

ولا يمكن تبسيط أكثر دون قيم عددية. لذا يُظهر المثال أهمية اختيار القاعدة المناسبة وتطبيق قاعدة التغيير بحذر.

النتيجة: التعبير يبقى على الشكل $\displaystyle \log_{5}x = \frac{2\log_{10}x}{x}$؛ ولا يمكن إعطاء قيمة عددية دون معرفة $x$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط القاعدة مع المُعامل: لا يجوز كتابة $\log_{M}a$ عندما يكون المقصود $\log_{a}M$.
• نسيان شرط القاعدة: القاعدة يجب أن تكون موجبة ولا تساوي 1؛ وإلا تكون الدالة غير معرفة.
• إهمال إشارة الموجب: لا يمكن أخذ لوغاريتم عدد سالب أو صفر؛ يجب التأكد من أن $M>0$.
• استخدام قاعدة القوة بصورة عكسية: $\log_{a}(M^{k}) = k\log_{a}M$ وليس العكس.
• عدم توحيد القواعد قبل الجمع أو الطرح: يجب أن تكون جميع اللوغاريتمات ذات نفس القاعدة؛ وإلا يلزم تغيير القاعدة أولًا.
• إدخال المعامل داخل اللوغاريتم بصورة خاطئة: مثال خاطئ $2\log_{a}M = \log_{a}2M$؛ الصحيح هو $2\log_{a}M = \log_{a}(M^{2})$.
• الخلط بين القاعدة 10 والقاعدة e عند استعمال قاعدة التغيير؛ يجب اختيار قاعدة واحدة ثابتة في البسط والمقام.

---

قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)

1. تأكد من أن القاعدة $a>0$ ولا تساوي 1.
2. تحقق من أن المُعامل $M>0$.
3. استخدم قاعدة التعريف لتبديل بين الشكل الأسّي واللوغاريتمي.
4. احسب قيم $\log_{a}1$ و$\log_{a}a$ مباشرة.
5. إذا كان المُعامل يمكن كتابته كقوة للقاعدة، استعمل قاعدة القوة.
6. لتبسيط جمع أو طرح لوغاريتمات، تأكد من تطابق القواعد.
7. عند الجمع: $\log_{a}M+\log_{a}N = \log_{a}(MN)$.
8. عند الطرح: $\log_{a}M-\log_{a}N = \log_{a}(M/N)$.
9. لنقل معامل إلى داخل اللوغاريتم، استخدم قاعدة القوة (العكسية).
10. لتغيير القاعدة، استخدم $\log_{b}A = \dfrac{\log_{c}A}{\log_{c}b}$.
11. اختر قاعدة $c$ سهلة (10 أو e) لتقليل الأخطاء الحسابية.
12. إذا كان أحد الأعداد (القاعدة أو المُعامل) يساوي قوة لعدد آخر (2، 3، 5 …)، حوله لتبسيط العملية.
13. راجع خطواتك؛ أي خطوة غير واضحة قد تؤدي إلى خطأ نهائي.
14. في المسائل التطبيقية (مثل pH أو شدة الصوت) تأكد من أن التحويل اللوغاريتمي يتماشى مع الوحدات المطلوبة.

---

جميع القوانين دفعة واحدة

a^{p}=M  ⇔  log_a(M)=p
log_a(1)=0
log_a(a)=1
log_a(a^{p})=p
k·log_a(M)=log_a(M^{k})
log_a(M)+log_a(N)=log_a(M·N)
log_a(M)-log_a(N)=log_a(M/N)
log_b(A)= (log_c A) / (log_c b)
إذا كان a=p^{k} أو M=p^{k} → استبدال a أو M بـ p لتبسيط.

---

بالتوفيق في امتحاناتك!