ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني نظريات متقدمة وتطبيقات

أهداف التعلم

1. تحديد القيم العظمى والصغرى للدوال المثلثية باستخدام التحويل إلى متغير بديل ورسم المخطط.
2. استعمال صيغ الجمع والطرح (Addition Theorems) لحساب قيم sin و cos و tan للزوايا المركبة دون آلة حاسبة.
3. تحويل الدوال المثلثية إلى دوال جبرية (مثلاً إلى cos θ) ثم استعمال إكمال المربع لإيجاد القيم العظمى والصغرى.
4. حساب الزاوية بين مستقيمين في المستوى باستخدام نسب المائل (slopes) وصيغ الظل للزوايا المضافة والطرحية.
5. تطبيق صيغ الزاوية المزدوجة (Double‑Angle Formulas) لتبسيط وتقييم الدوال المثلثية.
6. ربط المفاهيم النظرية بالتطبيقات العملية في الهندسة الكهربائية والبيوميكانيكا.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. طريقة إيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال المثلثية

1. ضع sin θ = t أو cos θ = t.
2. اكتب الدالة y كدالة في t فقط.
3. ضع المجال: -1 ≤ t ≤ 1.
4. إذا كانت y دالة تربيعية في t → أكمل المربع.
5. ارسم مخططًا تقريبيًا أو استخدم خصائص القطع المكافئ لتحديد القيم العظمى والصغرى.
6. عُد إلى المتغير الأصلي θ باستخدام t = sin θ أو t = cos θ.

شرط التطبيق: يجب أن تكون الدالة قابلة للتحويل إلى صيغة جبرية في t (عادةً من الدرجة الثانية).
ملاحظة: إذا كان t = ±1 فإن sin θ أو cos θ يساويان القيم الحدية للزاوية (0°, 90°, 180°, 270°).

2. صيغ الجمع والطرح (Addition Theorems)

sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b
sin(a – b) = sin a·cos b – cos a·sin b
cos(a + b) = cos a·cos b – sin a·sin b
cos(a – b) = cos a·cos b + sin a·sin b
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a·tan b)
tan(a – b) = (tan a – tan b) / (1 + tan a·tan b)

شرط التطبيق: يجب معرفة قيم sin أو cos أو tan للزاويتين a و b (أو أن تكون إحدى الزوايا معروفة ويمكن حساب الأخرى من العلاقة sin²θ + cos²θ = 1).
ملاحظة: عند استعمال صيغة الظل، تجنّب القسمة على صفر؛ إذا كان 1 – tan a·tan b = 0 فإن الزاوية a + b = 90° (π/2).

3. صيغة الزاوية المزدوجة (Double‑Angle Formulas)

sin 2a = 2·sin a·cos a
cos 2a = cos² a – sin² a
       = 2·cos² a – 1
       = 1 – 2·sin² a
tan 2a = (2·tan a) / (1 – tan² a)

شرط التطبيق: يجب أن تكون قيم sin a و cos a (أو tan a) معروفة أو يمكن حسابها.
ملاحظة: الصيغ الثلاثة لـ cos 2a متكافئة؛ اختر الأنسب حسب المعطيات لتقليل الأخطاء الحسابية.

4. حساب الزاوية بين مستقيمين باستخدام المائل

إذا كان للمستقيمين مائلان m₁ و m₂:
tan θ = |(m₁ – m₂) / (1 + m₁·m₂)|
θ = arctan (القيمة السابقة)   (0° < θ < 180°)

شرط التطبيق: لا يجوز أن يكون 1 + m₁·m₂ = 0؛ في هذه الحالة تكون الزاويتان متعامدتين (θ = 90°).
ملاحظة: إذا كان θ > 90° فإن الزاوية الحادة بين المستقيمين هي 180° – θ.

5. تحويل الدوال المثلثية إلى دوال جبرية في cos θ

استبدل cos θ بـ t (حيث -1 ≤ t ≤ 1).
أعد كتابة الدالة y كدالة من t.
إذا كانت y = at² + bt + c → أكمل المربع:
y = a[(t + b/(2a))²] + (c – b²/(4a))

شرط التطبيق: يجب أن تكون الدالة من الدرجة الثانية في t.
ملاحظة: بعد إيجاد القيم العظمى/الصغرى في t، احسب الزوايا المقابلة باستخدام θ = arccos t أو θ = arcsin t.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة
$y = \sin^{2}\theta + \cos\theta + 1$ حيث $0 \le \theta < 2\pi$.

الحل:

1. ضع $\sin\theta = t$ ⇒ $\cos\theta = \pm\sqrt{1-t^{2}}$ (لكن من أجل تبسيط نختار كتابة الدالة بالكامل بـ t).
2. باستخدام العلاقة $\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta$ نحصل على:
   $y = (1 - \cos^{2}\theta) + \cos\theta + 1 = 2 - \cos^{2}\theta + \cos\theta$.
3. ضع $\cos\theta = t$ (‏-1 ≤ t ≤ 1):
   $y = 2 - t^{2} + t = -(t^{2} - t - 2)$.
4. أكمل المربع:
   $y = -( (t - ½)^{2} - \frac{9}{4}) = \frac{9}{4} - (t - ½)^{2}$.
5. الحد الأقصى يتحقق عندما $(t - ½)^{2}=0$ ⇒ $t = ½$ ⇒ $\cos\theta = ½$ ⇒ $\theta = 60°$ أو $300°$.
   القيمة العظمى: $y_{\max}= \frac{9}{4}=2.25$.
6. الحد الأدنى يتحقق عند أقصى قيمة للمربع داخل المجال، أي عندما $|t|=1$.
   • إذا $t = 1$ ⇒ $\cos\theta =1$ ⇒ $\theta =0°$ أو $360°$ (غير مشمول).
   • إذا $t = -1$ ⇒ $\cos\theta =-1$ ⇒ $\theta =180°$.
     حساب y: $y = 2 - (±1)^{2} + (±1) = 2 -1 ±1$.
     أقصى انخفاض عندما $\cos\theta = -1$: $y_{\min}=0$.

النتيجة:

• $y_{\max}=2.25$ عند $\theta =60°$ أو $300°$.
• $y_{\min}=0$ عند $\theta =180°$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: حساب $\sin(105°)$ باستخدام صيغ الجمع.

الحل:

1. اكتب الزاوية كجمع زاويتين معروفة: $105° = 45° + 60°$.
2. استخدم صيغة الجمع:
   $\sin(45°+60°)=\sin45°\cos60°+\cos45°\sin60°$.
3. القيم المعروفة: $\sin45°=\frac{\sqrt2}{2}$، $\cos45°=\frac{\sqrt2}{2}$، $\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}$، $\cos60°=\frac12$.
4. احسب:

$$\sin105° = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt2}{4} + \frac{\sqrt6}{4} = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$

النتيجة: $\displaystyle \sin105° = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: إيجاد الزاوية بين المستقيمين
$y = 2x + 1$ و $y = -3x + 2$.

الحل:

1. حدد المائلين: $m_{1}=2$، $m_{2}=-3$.
2. استخدم صيغة الظل للزاوية بين المستقيمين:

$$\tan\theta = \left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right| = \left|\frac{2-(-3)}{1+2(-3)}\right| = \left|\frac{5}{1-6}\right| = \left|\frac{5}{-5}\right| = 1.$$

3. إذن $\theta = \arctan 1 = 45°$.
4. تحقق من النطاق المطلوب $0°<\theta<180°$؛ الزاوية الحادة هي 45°.

النتيجة: الزاوية بين المستقيمين هي $45°$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان قيود المجال عند استبدال $\sin\theta$ أو $\cos\theta$ بـ t؛ يجب دائمًا كتابة $-1 \le t \le 1$.
• اختلاف إشارة الجذر عند تحويل $\cos\theta = \pm\sqrt{1-t^{2}}$. يجب اختيار الإشارة التي تتوافق مع نطاق الزاوية المعطى.
• قسمة على صفر في صيغة الظل للزاوية المضافة أو الطرحية؛ إذا كان المقام صفرًا فإن الزاوية تساوي 90° (أو 270°).
• خلط صيغ الزاوية المزدوجة؛ تذكر أن الصيغة $\cos 2a = 1 - 2\sin^{2}a$ لا تُستبدل مباشرةً بـ $\cos^{2}a - \sin^{2}a$ إلا بعد التأكد من القيم المتاحة.
• إهمال تحويل الراديان إلى درجة عند استعمال صيغ الجمع؛ يجب أن تكون الزوايا بنفس الوحدة.

---

قائمة المراجعة

1. هل كتبت القيم العظمى والصغرى مع الزوايا المقابلة؟
2. هل استبدلت $\sin\theta$ أو $\cos\theta$ بـ t مع ذكر المجال $-1 \le t \le 1$؟
3. هل أكملت المربع بشكل صحيح عندما تكون الدالة تربيعية في t؟
4. هل استخدمت صيغ الجمع والطرح للزاويتين المطلوبة؟
5. هل تحققت من صحة القيم المعروفة للزوايا (45°, 30°, 60° …) قبل الاستبدال؟
6. هل حولت جميع الزوايا إلى نفس الوحدة (درجة أو راديان) قبل الحساب؟
7. هل طبقت صيغة الظل للزاوية بين المستقيمين مع مراعاة إشارة المقام؟
8. هل فحصت ما إذا كانت الزاوية الناتجة أكبر من 90° ثم استخدمت 180°‑θ إذا لزم الأمر؟
9. هل استخدمت الصيغة الأنسب لـ $\cos 2a$ بحسب المعطيات (إما $\cos^{2}a-\sin^{2}a$ أو $1-2\sin^{2}a$ أو $2\cos^{2}a-1$)؟
10. هل راجعت أن $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ لتصحيح أي إشارة خاطئة؟
11. هل استبدلت $\tan\theta$ بـ $\sin\theta/\cos\theta$ فقط عندما تكون كل من $\sin\theta$ و $\cos\theta$ غير صفر؟
12. هل تحققت من أن القيم النهائية تقع داخل المجال المطلوب (مثلاً $0 \le \theta < 2\pi$)؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b
sin(a – b) = sin a·cos b – cos a·sin b
cos(a + b) = cos a·cos b – sin a·sin b
cos(a – b) = cos a·cos b + sin a·sin b
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a·tan b)
tan(a – b) = (tan a – tan b) / (1 + tan a·tan b)

sin 2a = 2·sin a·cos a
cos 2a = cos² a – sin² a = 2·cos² a – 1 = 1 – 2·sin² a
tan 2a = (2·tan a) / (1 – tan² a)

tan θ = |(m₁ – m₂) / (1 + m₁·m₂)|
θ = arctan (القيمة السابقة)   (0° < θ < 180°)

-1 ≤ sin θ ≤ 1
-1 ≤ cos θ ≤ 1
sin² θ + cos² θ = 1

---

بالتوفيق في امتحاناتك!