ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني خواص الدوال المثلثية ورسومها

أهداف التعلم

1. تحليل الخصائص الدورية للدوال المثلثية (المدى، السعة، الفترة، الإزاحة الأفقية والرأسية).
2. تمثيل الدوال بيانياً ورسم دورة واحدة كاملة لكل من sin, cos, tan.
3. تحويل الدوال عبر تعديل المعاملات الجبرية (التمدد، الضغط، الإزاحة).
4. استخدام الهوية المثلثية لتبسيط وتعبير الدوال بزاوية حادة.
5. استخراج قيم الدوال للزوايا الخاصة وتطبيقها في مسائل تطبيقية (مثل المد والجزر).
6. ربط الخصائص المثلثية بظواهر طبيعية (حركة المدّ، توقيت ارتفاع وانخفاض مستوى الماء).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

هوية الزاوية المضافة للـ π

sin(θ + π) = -sinθ
cos(θ + π) = -cosθ
tan(θ + π) =  tanθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية حقيقية.
ملاحظة: تُظهر أن sin و cos تغير إشارتهما بعد نصف دورة، بينما tan تبقى كما هي.

هوية الزاوية المضافة للـ 2π

sin(θ + 2π) =  sinθ
cos(θ + 2π) =  cosθ
tan(θ + 2π) =  tanθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية.
ملاحظة: الدوال دورية بالكامل كل 2π (أو π للـ tan).

هوية الزاوية السالبة

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) =  cosθ
tan(-θ) = -tanθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية.
ملاحظة: sin و tan دوال فردية، cos دالة زوجية.

هوية الزاوية المكملة (π/2 - θ)

sin(π/2 - θ) =  cosθ
cos(π/2 - θ) =  sinθ
tan(π/2 - θ) =  cotθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية.
ملاحظة: تُستعمل لتبديل الدوال بين بعضها.

هوية الجمع للجيب والجيب التمام

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ)   (cosα·cosβ ≠ 0)

شرط التطبيق: لا يكون المقام صفراً.
ملاحظة: أساسية لتبسيط تعبيرات مركبة.

هوية الفرق للجيب والجيب التمام

sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα·tanβ)   (cosα·cosβ ≠ 0)

شرط التطبيق: لا يكون المقام صفراً.

علاقة الجيب والظل

tanθ = sinθ / cosθ      (cosθ ≠ 0)

شرط التطبيق: cosθ غير صفر.

معادلة الدالة العامة للجيب

y = a·sin(bx + c) + d      (a, b ≠ 0)

ملاحظة:

• السعة = |a|
• الفترة = 2π / |b|
• الإزاحة الأفقية = -c / b
• الإزاحة الرأسية = d

معادلة الدالة العامة للجيب التمام

y = a·cos(bx + c) + d      (a, b ≠ 0)

ملاحظة: نفس خصائص الدالة السابقة مع اختلاف الشكل الأساسي.

معادلة الدالة العامة للظل

y = a·tan(bx + c) + d      (b ≠ 0)

ملاحظة:

• الفترة = π / |b|
• لا سعة محدودة (المدى كل الأعداد الحقيقية).
• توجد خطوط عمودية عند bx + c = π/2 + kπ.

قيم الزوايا الخاصة (زاوية حادة)

sin 0   = 0          cos 0   = 1          tan 0   = 0
sin π/6 = 1/2        cos π/6 = √3/2       tan π/6 = 1/√3
sin π/4 = √2/2       cos π/4 = √2/2      tan π/4 = 1
sin π/3 = √3/2       cos π/3 = 1/2       tan π/3 = √3
sin π/2 = 1          cos π/2 = 0        tan π/2 غير معرف

ملاحظة: تُستعمل لتبسيط القيم في مسائل التطبيق.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: عبّر عن sin(θ + π) بدلالة sinθ.
الحل: باستخدام هوية الزاوية المضافة للـ π:
sin(θ + π) = -sinθ.

مثال 2 – متوسط

المطلوب: بسط التعبير tan(θ - 2)·cot(θ + π/2).
الخطوات:

1. cot(θ + π/2) = 1 / tan(θ + π/2).
2. من هوية الزاوية المضافة للـ π/2: tan(θ + π/2) = -cotθ.
3. إذن cot(θ + π/2) = 1 / (-cotθ) = -tanθ.
4. يصبح التعبير tan(θ - 2)·(-tanθ) = -tan(θ - 2)·tanθ.

النتيجة: -tan(θ - 2)·tanθ.

مثال 3 – صعب

المطلوب: ارسم بيانياً الدالة y = 2·sin(3x - π/4) + 1 وحدد السعة، الفترة، الإزاحة الأفقية والرأسية.
الخطوات:

1. الشكل العام y = a·sin(bx + c) + d → a = 2, b = 3, c = -π/4, d = 1.
2. السعة = |a| = 2.
3. الفترة = 2π / |b| = 2π / 3.
4. الإزاحة الأفقية = -c / b = -(-π/4) / 3 = π/12.
5. الإزاحة الرأسية = d = 1.
6. الرسم:
   • ضع محور x مع تدرجات كل π/6 لتغطية دورة واحدة (2π/3).
   • عند x = π/12 → الزاوية داخل الدالة = 0 → y = 1 (أدنى قيمة).
   • عند x = π/12 + π/6 → الزاوية = π/2 → y = 1 + 2 = 3 (قيمة قصوى).
   • عند x = π/12 + π/3 → الزاوية = π → y = 1 (قيمة وسط).
   • أكمل الرسم على شكل موجة متماثلة حول الخط الأفقي y = 1.

النتيجة: تم توضيح الشكل البياني مع القيم المطلوبة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان إشارة السعة: عندما يكون a سالباً، السعة تظل |a| لكن الشكل ينعكس رأسياً.
• خلط الفترة للـ tan مع الفترة للـ sin/cos: فترة tan هي π وليس 2π.
• إهمال وجود asymptotes للـ tan: يجب رسم خطوط عمودية عند bx + c = π/2 + kπ.
• استخدام هوية الزاوية المضافة للـ π/2 بشكل خاطئ: tan(θ + π/2) = -cotθ وليس -tanθ.
• خطأ في حساب الإزاحة الأفقية: الإزاحة = -c / b، لا تساوي c مباشرة.
• تطبيق هوية الجمع عندما يكون أحد الزوايا غير معرف: تأكد من أن cosβ ≠ 0 في هوية sin(α+β).

---

قائمة المراجعة

1. حدّد المدى لكل دالة (sin, cos, tan).
2. احسب السعة باستخدام |a|.
3. احسب الفترة: 2π/|b| للـ sin/cos، π/|b| للـ tan.
4. احسب الإزاحة الأفقية بـ -c/b.
5. أضف الإزاحة الرأسية d إذا وجدت.
6. ارسم دورة واحدة كاملة مع نقاط القمة والوسط.
7. ضع asymptotes للـ tan عند القيم المناسبة.
8. استخدم هوية θ + π لتحديد إشارة الدالة بعد نصف دورة.
9. استخدم هوية -θ لتحديد تماثل الدالة.
10. حول أي دالة إلى الشكل a·sin(bx + c) + d أو a·cos(bx + c) + d.
11. احفظ قيم الزوايا الخاصة (π/6, π/4, π/3, π/2).
12. بسط التعبيرات المركبة باستخدام هوية الجمع والفرق.
13. تأكد من عدم وجود قسمة على صفر في أي خطوة.
14. اختبر الرسم عبر نقاط 0, π/2, π, 3π/2 داخل الفترة.

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sin(θ + π) = -sinθ
cos(θ + π) = -cosθ
tan(θ + π) =  tanθ
sin(θ + 2π) =  sinθ
cos(θ + 2π) =  cosθ
tan(θ + 2π) =  tanθ
sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) =  cosθ
tan(-θ) = -tanθ
sin(π/2 - θ) =  cosθ
cos(π/2 - θ) =  sinθ
tan(π/2 - θ) =  cotθ
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ)
sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα·tanβ)
tanθ = sinθ / cosθ
y = a·sin(bx + c) + d
y = a·cos(bx + c) + d
y = a·tan(bx + c) + d
سعة = |a|
فترة sin, cos = 2π / |b|
فترة tan = π / |b|
إزاحة أفقية = -c / b
إزاحة رأسية = d
مدى sin, cos = -1 ≤ y ≤ 1
مدى tan = جميع الأعداد الحقيقية (مع asymptotes)

بالتوفيق في امتحاناتك!