ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني حل المعادلات والمتباينات المثلثية

أهداف التعلم

1. فهم طريقة تحويل المعادلات المثلثية إلى صيغ أساسية (مثل sin θ = a، cos θ = a، tan θ = a).
2. استخراج الحلول العامة للمعادلات بالاعتماد على فترات الدوال المثلثية (2π للجيب والجيب التمام، π للظل).
3. تحديد حلول المعادلات داخل مجال محدود (عادةً 0 ≤ θ < 2π أو 0 ≤ θ < π).
4. حل المتباينات المثلثية عبر تحويلها إلى معادلات ثم استعمال دائرة الوحدة لتحديد الأجزاء المطلوبة.
5. معالجة المعادلات المركبة التي تحتوي على أكثر من دالة مثلثية باستخدام الهوية sin²θ + cos²θ = 1 أو استبدال sin θ أو cos θ بمتغيّر مؤقت.
6. التأكد من صحة الحلول عبر شرط القيم المسموح بها للجيب والجيب التمام (‑1 ≤ sin θ, cos θ ≤ 1).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة تحويل المعادلة إلى صيغة أساسية

إذا كان الشكل: A·sinθ + B·cosθ = C
فيمكن تحويله إلى sinθ = a   أو   cosθ = a   أو   tanθ = a

شرط التطبيق: يجب أن يكون أحد الطرفين ثابتًا أو يمكن عزل أحد المتغيّرات.
ملاحظة: في حالة وجود كل من sin θ و cos θ يُستعمل الهوية sin²θ + cos²θ = 1.

قاعدة الفترة العامة للجيب والجيب التمام

فترة sinθ = 2π      →   θ = α + 2nπ
فترة cosθ = 2π      →   θ = β + 2nπ

شرط التطبيق: α أو β هو أحد الحلول الأولية داخل المجال الأساسي (0 ≤ θ < 2π).
ملاحظة: إذا كان المطلوب مجالًا أصغر (مثلاً 0 ≤ θ < π) تُختار القيم المناسبة فقط.

قاعدة الفترة للظل

فترة tanθ = π      →   θ = γ + nπ

شرط التطبيق: γ هو حل أولي داخل المجال الأساسي (0 ≤ θ < π).
ملاحظة: لا تُضاف قيمة π/2 إلى حلول الظل لأنها تجعل الدالة غير معرفة.

قاعدة استبدال المتغيّر (t‑substitution)

إذا كان الشكل: f(g(θ)) = 0
نضع   t = g(θ)   ثم نحل   f(t) = 0   مع مراعاة مجال t.

شرط التطبيق: يجب أن يكون g(θ) قابلاً للعكس داخل المجال المطلوب.
ملاحظة: بعد إيجاد قيم t نسترجع θ من خلال دائرة الوحدة أو من معادلة t = g(θ).

قاعدة حل معادلة رباعية في sin أو cos

نستبدل   sinθ = x   أو   cosθ = x
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية في x
نحلها كمعادلة عادية ثم نتحقق من شرط   -1 ≤ x ≤ 1

شرط التطبيق: لا يجوز قبول جذور خارج المجال ‎[-1, 1]‎.
ملاحظة: إذا كان الجذر داخل المجال، نعود إلى الزاوية باستخدام دائرة الوحدة.

قاعدة حل المتباينة المثلثية

1‑ استبدال المتباينة بـ =   (مثلاً sinθ > a → sinθ = a)
2‑ إيجاد الحلول للمعادلة على دائرة الوحدة
3‑ تحديد الأجزاء التي تحقق المتباينة (أعلى أو أسفل الخط a للجيب، يمين أو يسار الخط a للجيب التمام، …)

شرط التطبيق: يجب أن يكون a قيمة بين -1 و 1 للجيب والجيب التمام، وأي قيمة للظل إذا كانت غير غير معرفة.
ملاحظة: المتباينات التي تشمل الظل قد تستلزم استبعاد الزوايا التي تجعل cosθ = 0.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعادلة: cos θ = √2⁄2  (0 ≤ θ < 2π)

الحل:

1. نعرف أن cos θ = √2⁄2 يعطي الزاويتين θ = π⁄4 و θ = 7π⁄4 على دائرة الوحدة.
2. بما أن فترة cos θ هي 2π، فإن الحل العام هو:

   θ = π⁄4 + 2nπ   أو   θ = 7π⁄4 + 2nπ   (n ∈ ℤ)
   

3. داخل المجال المطلوب (0 ≤ θ < 2π) نأخذ فقط القيمتين π⁄4 و 7π⁄4.

---

مثال 2 – متوسط

المعادلة: 2 sin θ = ½  (0 ≤ θ < 2π)

الحل:

1. نبسط: sin θ = ¼.
2. على دائرة الوحدة، الزاويتان التي تحققان sin θ = ¼ هما θ₁ ≈ 0.252 rad (≈ 14.5°) و θ₂ ≈ π ‑ 0.252 ≈ 2.889 rad (≈ 165.5°).
3. الفترة للجيب هي 2π، لذا الحل العام:

   θ = 0.252 + 2nπ   أو   θ = 2.889 + 2nπ   (n ∈ ℤ)
   

4. داخل المجال المطلوب نختار القيمتين السابقتين فقط.

---

مثال 3 – صعب

المعادلة المركبة: 2 cos²θ ‑ 3 sin θ = 0  (0 ≤ θ < 2π)

الحل:

1. نستخدم الهوية cos²θ = 1 ‑ sin²θ:

   2(1 ‑ sin²θ) ‑ 3 sin θ = 0
   → 2 ‑ 2sin²θ ‑ 3sinθ = 0
   → 2sin²θ + 3sinθ ‑ 2 = 0
   

2. نضع x = sinθ، فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية:

   2x² + 3x ‑ 2 = 0
   

3. بحل المعادلة:

   Δ = 3² ‑ 4·2·(‑2) = 9 + 16 = 25
   x₁ = (‑3 + 5)⁄(2·2) = 2⁄4 = 0.5
   x₂ = (‑3 ‑ 5)⁄(2·2) = (‑8)⁄4 = ‑2
   

4. نتحقق من الشرط ‑1 ≤ x ≤ 1؛ الجذر ‑2 غير مقبول، لذا يبقى x = 0.5.
5. نعود إلى الزاوية: sin θ = 0.5 → θ₁ = π⁄6 ≈ 0.524 rad، θ₂ = 5π⁄6 ≈ 2.618 rad.
6. الفترة للجيب هي 2π، لذا الحل العام:

   θ = π⁄6 + 2nπ   أو   θ = 5π⁄6 + 2nπ   (n ∈ ℤ)
   

7. داخل المجال المطلوب نأخذ الزاويتين π⁄6 و 5π⁄6.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال فترة الدالة: إضافة 2π بدلاً من π للظل أو العكس يؤدي إلى حلول مكررة أو مفقودة.
• عدم التحقق من شرط ‑1 ≤ sinθ, cosθ ≤ 1: قد ينتج عن حل معادلة رباعية جذور خارج هذا النطاق، ويجب رفضها.
• خلط الزوايا في الدرجات والراديان: يجب توحيد الوحدات قبل إجراء أي عملية حسابية.
• إدراج قيم تجعل cosθ = 0 في متباينات الظل: هذه القيم تجعل tanθ غير معرفة ويجب استبعادها.
• نسيان أن tanθ تتكرر كل π وليس 2π: يؤدي ذلك إلى إغفال حلول صحيحة أو إضافة حلول غير صحيحة.
• استخدام دائرة الوحدة بصورة غير دقيقة: عند حل sinθ = a أو cosθ = a يجب اختيار الزاويتين المتقابلتين داخل المجال الأساسي.

---

قائمة المراجعة

1. هل حولت المعادلة إلى صيغة sinθ = a أو cosθ = a أو tanθ = a؟
2. هل حددت الفترة الصحيحة للدالة (2π للجيب والجيب التمام، π للظل)؟
3. هل وجدت جميع الحلول الأولية داخل المجال الأساسي (0 ≤ θ < 2π أو 0 ≤ θ < π)؟
4. هل أضفت 2nπ أو nπ حسب الدالة للحصول على الحل العام؟
5. إذا احتوت المعادلة على أكثر من دالة، هل استخدمت الهوية sin²θ + cos²θ = 1 لتقليل المتغيّرات؟
6. عند حل معادلة رباعية، هل استبدلت sinθ أو cosθ بمتغيّر مؤقت وتحققت من شرط ‑1 ≤ المتغيّر ≤ 1؟
7. هل استبعدت القيم التي تجعل cosθ = 0 عند التعامل مع الظل؟
8. هل حولت المتباينة إلى معادلة مؤقتاً لتحديد نقاط الحدود على دائرة الوحدة؟
9. هل حددت الأجزاء التي تحقق المتباينة (أعلى/أسفل للجيب، يمين/يسار للجيب التمام)؟
10. هل استخدمت الاستبدال t = g(θ) عند وجود تعبير مركب داخل الدالة؟
11. هل راجعت أن جميع القيم التي حصلت عليها تقع داخل المجال المطلوب (عادةً 0 ≤ θ < 2π)؟
12. هل كتبت الحلول النهائية بصيغة θ = α + k·P مع توضيح k ∈ ℤ؟
13. هل تحققت من عدم وجود حلول مكررة بسبب التكرار الدوري؟
14. هل استخدمت القيم التقريبية للزاوية فقط عندما لا يمكن التعبير عنها بصورة كسرية من π؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sinθ = a          → θ = arcsin(a) + 2nπ   أو   θ = π‑arcsin(a) + 2nπ
cosθ = a          → θ = arccos(a) + 2nπ   أو   θ = -arccos(a) + 2nπ
tanθ = a          → θ = arctan(a) + nπ
فترة sinθ, cosθ  → 2π
فترة tanθ        → π
sin²θ + cos²θ = 1
إذا كان 2sinθ = b → sinθ = b/2
إذا كان 2cosθ = b → cosθ = b/2
إذا كان 2tanθ = b → tanθ = b/2
استبدال t = g(θ) → حل f(t)=0 ثم استرجاع θ
حل معادلة رباعية: 2sin²θ + 3sinθ – 2 = 0 → استبدال x = sinθ
التحقق من -1 ≤ sinθ, cosθ ≤ 1 قبل القبول
متباينة sinθ > a → المنطقة فوق الخط y = a على دائرة الوحدة
متباينة cosθ < a → المنطقة يسار الخط x = a على دائرة الوحدة
متباينة tanθ > a → الجانب المقابل للخط y = a·x على دائرة الوحدة

---

بالتوفيق في امتحاناتك!