ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم التاني المتطابقات المثلثية وحساب التعبيرات

أهداف التعلم

1. استيعاب المتطابقات المثلثية الأساسية (هوية فيثاغورس، هوية الدوال المرافقة، خصائص الدوال الزوجية والفردية).
2. معرفة طريقة استخراج قيم الدوال المثلثية المتبقية عندما تُعطى قيمة واحدة مع تحديد الربع.
3. تطبيق الهوية $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$ لتبسيط وتقييم التعبيرات المثلثية.
4. استخدام الصيغ التحليلية (مثل $(\sin\theta+\cos\theta)^{2}$) لإيجاد حاصل ضرب $\sin\theta\cos\theta$ أو قيم أخرى.
5. إثبات المتطابقات المثلثية عبر تحويلات جبرية (جمع/طرح كسور، توحيد المقامات).
6. تحليل الأخطاء الشائعة في التعامل مع إشارات الدوال حسب الربع وتطبيق الهوية بصورة صحيحة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• النقطة على دائرة الوحدة: إذا كان $P(x,y)$ هو تقاطع الطرف النهائي للزاوية $\theta$ مع دائرة الوحدة، فإن

  • $\sin\theta = y$ (الإحداثي الصادي).
  • $\cos\theta = x$ (الإحداثي السيني).
  • $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ (منحدر القطعة $OP$).

• إشارات الدوال المثلثية: تُحدَّد الإشارة بحسب الربع الذي تقع فيه الزاوية $\theta$:

• المتطابقات المثلثية الأساسية (المستخلصة من النص):

  • هوية فيثاغورس: $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$.
  • تعريف الظل: $\displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
  • علاقة الظل بالمقابل: $\displaystyle 1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta$ (مستنتجة من النص “$1 + \tan^{2}\theta =$ …”).

• طريقة إيجاد القيم المتبقية (من النص):

  1. إذا عُرف $\sin\theta$ → استخدم هوية فيثاغورس لإيجاد $\cos\theta$ ثم $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
  2. إذا عُرف $\cos\theta$ → عكس الخطوة السابقة.
  3. إذا عُرف $\tan\theta$ → استخرج $\cos\theta$ من $\displaystyle 1 + \tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}$ ثم احسب $\sin\theta = \tan\theta \cos\theta$.
  4. بعد حساب القيم المطلوب إقرار الإشارة بحسب الربع.

---

القوانين والنظريات والقواعد

هوية فيثاغورس

sin²θ + cos²θ = 1

شرط التطبيق: صالحة لكل زاوية $\theta$.
ملاحظة: تُستَخدم لتحديد قيمة مفقودة عندما تُعطى قيمة واحدة.

تعريف الظل

tanθ = sinθ / cosθ

شرط التطبيق: $\cosθ ≠ 0$ (الزاوية ليست في الربعين الثاني والرابع عند الزوايا التي تجعل $\cosθ = 0$).
ملاحظة: إشارة $\tan\theta$ تُحدَّد بمنتج إشارات $\sin\theta$ و$\cos\theta$.

علاقة الظل بالمقابل (من النص)

1 + tan²θ = sec²θ

شرط التطبيق: $\cosθ ≠ 0$.
ملاحظة: تُستَخدم لاستخراج $\cosθ$ عندما يُعطى $\tanθ$.

صيغة مربع مجموع $\sin\theta$ و$\cos\theta$ (مستخلصة من النص)

(sinθ + cosθ)² = sin²θ + cos²θ + 2 sinθ cosθ = 1 + 2 sinθ cosθ

ومنها:

sinθ cosθ = ((sinθ + cosθ)² – 1) / 2

شرط التطبيق: معرفة قيمة $\sinθ + \cosθ$.
ملاحظة: تُستَخدم لتقييم تعبيرات مثل $\sinθ\cosθ$ أو $\sin²θ + \cos²θ$ عندما يُعطى مجموعهما.

جمع/طرح كسور المثلثية (من قسم إثبات المتطابقات)

لجمع كسرين:   a/b + c/d = (ad + bc) / (bd)

شرط التطبيق: المقامات غير صفرية.
ملاحظة: تُستَخدم لتوحيد المقامات عند إثبات هوية مثل $\displaystyle \frac{1}{1+\cosθ} + \frac{\tanθ}{\sinθ} = \frac{1}{\sinθ}$.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: $\sin\theta = \dfrac{-5}{\sqrt{26}}$ ، الزاوية في الربع الثالث.

الخطوات:

1. استخدم هوية فيثاغورس:

$$\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta = 1 - \left(\frac{-5}{\sqrt{26}}\right)^{2} = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$$

2. بما أن الزاوية في الربع الثالث، فإن $\cos\theta$ سالب:

$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{26}}$$

3. احسب $\tan\theta$:

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = 5$$

النتيجة: $\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{26}}$ ، $\tan\theta = 5$.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: $\tan\theta = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ، الزاوية في الربع الرابع.

الخطوات:

1. استخرج $\cos\theta$ من العلاقة $1 + \tan^{2}\theta = \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$:

$$\tan^{2}\theta = \frac{4}{5} ;\Rightarrow; 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$$

إذن $\displaystyle \cos^{2}\theta = \frac{5}{9}$ ، وبالتالي $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (إشارة موجبة لأن الربع الرابع).
2. احسب $\sin\theta = \tan\theta \cos\theta$:

$$\sin\theta = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{2}{3}$$

النتيجة: $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ، $\sin\theta = -\dfrac{2}{3}$.

---

مثال 3 – صعب

المعطى: $\sin\theta + \cos\theta = 3$ ، الزاوية في الربع الثاني.

الخطوات:

1. احسب $\sin\theta \cos\theta$ باستخدام الصيغة المشتقة:

$$\sin\theta \cos\theta = \frac{(\sin\theta + \cos\theta)^{2} - 1}{2} = \frac{3^{2} - 1}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

2. الآن نحتاج إلى قيم $\sin\theta$ و$\cos\theta$ منفردتين. لنفرض أن $\sin\theta = x$ ، إذن $\cos\theta = 3 - x$.
   استخدم هوية فيثاغورس:

$$x^{2} + (3 - x)^{2} = 1$$

$$x^{2} + 9 - 6x + x^{2} = 1 ;\Rightarrow; 2x^{2} - 6x + 8 = 0$$

$$x^{2} - 3x + 4 = 0$$

لا يوجد جذور حقيقية؛ لذا لا يمكن أن تكون $\sin\theta + \cos\theta = 3$ في الربع الثاني (خطأ في المعطى).
3. تحليل الخطأ: القيم التي تتجاوز $\sqrt{2}$ غير ممكنة لأن $|\sin\theta| \le 1$ و$|\cos\theta| \le 1$؛ وبالتالي $|\sin\theta + \cos\theta| \le \sqrt{2}$.

النتيجة: توضيح أن المعطى غير ممكن، ويُظهر أهمية التحقق من حدود القيم قبل المتابعة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان إشارة الدالة حسب الربع: عند حساب $\cos\theta$ من $\sin\theta$ أو العكس، يجب تعديل الإشارة وفقًا للربع؛ وإلا ستحصل على قيمة صحيحة رياضيًا لكن غير مطابقة للزاوية المطلوبة.
• استخدام هوية الظل عندما $\cos\theta = 0$: في الربعين الأول والثاني عندما $\theta = 90^{\circ}$ أو $270^{\circ}$ يكون $\cos\theta = 0$ ولا يمكن تعريف $\tan\theta$.
• خلط بين $\tan\theta$ و$\cot\theta$: $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$؛ لا يجوز استبداله مباشرةً في هوية لا تشمل المقابل.
• إهمال حدود القيم: كما في المثال الصعب، مجموع $\sin\theta + \cos\theta$ لا يمكن أن يتجاوز $\sqrt{2}$. أي قيمة أكبر من ذلك تُظهر خطأ في المعطى أو في الفهم.
• عدم توحيد المقامات عند جمع أو طرح كسور: في إثبات الهوية يجب أولًا توحيد المقامات ثم الجمع؛ وإلا ستحصل على تعبير غير متكافئ.

---

قائمة المراجعة

1. هل حددت الربع الصحيح للزاوية؟
2. هل استخدمت هوية فيثاغورس لتحديد القيمة المفقودة؟
3. هل عرفت إشارة $\sin\theta$ و$\cos\theta$ و$\tan\theta$ وفقًا للربع؟
4. عند إعطاء $\tan\theta$، هل استخرجت $\cos\theta$ أولًا باستخدام $1+\tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta$؟
5. هل تحقق من أن $|\sin\theta| \le 1$ و$|\cos\theta| \le 1$ قبل المتابعة؟
6. عند حساب $\sin\theta\cos\theta$ من $\sin\theta+\cos\theta$، هل استخدمت الصيغة $\displaystyle \sin\theta\cos\theta = \frac{(\sin\theta+\cos\theta)^{2}-1}{2}$؟
7. هل وضعت المقام المشترك قبل جمع أو طرح كسور المثلثية؟
8. هل راجعت أن $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ لا تُستَخدم عندما $\cos\theta = 0$؟
9. هل تأكدت من أن القيم الناتجة لا تتجاوز الحدود المسموح بها (مثلاً $|\sin\theta+\cos\theta| \le \sqrt{2}$)؟
10. هل استخدمت القواعد الزوجية والفردية عند تحويل $\sin(-\theta)$ أو $\cos(-\theta)$؟
11. هل راجعت خطوات إثبات الهوية خطوة بخطوة (توحيد المقامات → تبسيط → مقارنة الطرفين)؟
12. هل قمت بتدوين الإشارة النهائية للنتيجة قبل كتابة الجواب النهائي؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ
1 + tan²θ = sec²θ
(sinθ + cosθ)² = 1 + 2 sinθ cosθ
sinθ cosθ = ((sinθ + cosθ)² – 1) / 2
a/b + c/d = (ad + bc) / (bd)          (جمع كسور)
a/b – c/d = (ad – bc) / (bd)          (طرح كسور)
sin(–θ) = –sinθ                       (دالة فردية)
cos(–θ) =  cosθ                       (دالة زوجية)
tan(–θ) = –tanθ                       (دالة فردية)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!