باختصار
«تعريف الزوايا والدوال المثلثية الأساسية» (الفصل 18) من منهج الرياضيات للصف الثاني الثانوي، الترم التاني. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- تعريف الزاوية في الوضع القياسي وتحديد الطرف الابتدائي والطرف الطرفي.
- تمييز اتجاه الدوران الإيجابي (عكس عقارب الساعة) والسالب (مع عقارب الساعة).
- صياغة الزاوية العامة على صورة θ = α + 360°·n حيث n∈ℤ.
- تحويل قياسات الزوايا بين النظام الستيني (الدرجات) والنظام الدائري (الراديان).
- حساب طول القوس ومساحة القطاع باستخدام الصيغ L = r·θ و S = ½·r²·θ (مع θ بالراديان).
- تعريف الدوال المثلثية الأساسية (sin, cos, tan) عبر دائرة الوحدة.
- استخراج قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة (π/6, π/4, π/3, …) واستخدامها في حل المسائل.
- معرفة الحالات التي تكون فيها الدوال غير معرفة (مثلاً tan عندما cosθ = 0).
المفاهيم والتعريفات الرياضية
- الزاوية في الوضع القياسي: نصف مستقيم OP يدور حول نقطة الأصل O؛ الطرف الابتدائي هو OX (المحور الموجب x) والطرف الطرفي هو OP بعد الدوران.
- الاتجاه الإيجابي: دوران عكس عقارب الساعة يُعطى زاوية موجبة.
- الاتجاه السالب: دوران مع عقارب الساعة يُعطى زاوية سالبة.
- الزاوية العامة: إذا كان α هو قياس الزاوية بين الطرفين الابتدائي والطرفي، فإن الزاوية العامة تُكتب θ = α + 360°·n حيث n عدد صحيح (عدد الدورات الكاملة).
- الراديان: طريقة قياس الزاوية بطول القوس على دائرة نصف قطرها 1. عندما يكون طول القوس 1 فإن الزاوية تساوي 1 راديان.
- التحويل بين الدرجات والراديان:
$$\text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180}$$
$$\text{deg} = \text{rad} \times \frac{180}{\pi}$$
- طول القوس (للقطعة ذات الزاوية θ بالراديان): L = r·θ.
- مساحة القطاع (نفس الزاوية): S = \frac{1}{2}·r^{2}·θ.
- دائرة الوحدة: دائرة نصف قطرها 1 ومركزها الأصل.
- تعريف الدوال المثلثية على دائرة الوحدة: إذا كان P(x, y) نقطة تقاطع الطرفي مع دائرة الوحدة، فإن:
- sin θ = y (الجيب)
- cos θ = x (جيب التمام)
- tan θ = \dfrac{y}{x} (الظل) – غير معرفة عندما x = 0.
القوانين والنظريات والقواعد
1. صيغة الزاوية العامة
θ = α + 360°·n (n ∈ ℤ)
شرط التطبيق: α يجب أن يكون قياس الزاوية بين الطرفين الابتدائي والطرفي.
ملاحظة: يمكن اختيار أي قيمة صحيحة n للحصول على زوايا مكافئة.
2. التحويل من درجات إلى راديان
rad = deg × π / 180
شرط التطبيق: يجب أن يكون deg قياسًا بالدرجات.
ملاحظة: النتيجة تكون بالراديان؛ لا تُكتب وحدة rad في الكتابة الرياضية.
3. التحويل من راديان إلى درجات
deg = rad × 180 / π
شرط التطبيق: rad يجب أن يكون قياسًا بالراديان.
4. طول القوس
L = r × θ (θ بالراديان)
شرط التطبيق: r نصف قطر القطاع، θ زاوية بالراديان.
ملاحظة: إذا كان θ بالدرجات يجب تحويله أولاً إلى راديان.
5. مساحة القطاع
S = ½ × r² × θ (θ بالراديان)
شرط التطبيق: نفس شروط طول القوس.
6. تعريف الدوال المثلثية على دائرة الوحدة
sin θ = y
cos θ = x
tan θ = y / x (x ≠ 0)
شرط التطبيق: P(x, y) نقطة على دائرة الوحدة.
ملاحظة: عندما x = 0 يكون tan θ غير معرفة؛ عندما y = 0 يكون sin θ = 0.
7. القيم الخاصة للزاوية (π/6, π/4, π/3, π/2, π)
| الزاوية | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| π/6 | ½ | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | ½ | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | غير معرفة |
| π | 0 | –1 | 0 |
ملاحظة: لا تُجرَّد المقامات من الجذور في النص الأصلي (يُترك الجذر في المقام).
أمثلة محلولة
مثال 1 – سهل
المطلوب: عبّر عن الزاوية 435° على صورة زاوية عامة θ = a + 360°·n بحيث 0° < a < 360°.
الحل:
- نكتب 435° = 75° + 360°·1 لأن 435° – 360° = 75°.
- إذن a = 75° و n = 1.
النتيجة: θ = 75° + 360°·n (مع n∈ℤ).
مثال 2 – متوسط
المطلوب: حوّل الزاوية 630° إلى راديان، ثم احسب طول القوس لقطاع نصف قطره 5 سم.
الخطوات:
- التحويل إلى راديان:
$$\text{rad} = 630° \times \frac{\pi}{180} = 3.5\pi \text{ راديان}$$
- حساب طول القوس:
$$L = r·θ = 5 \times 3.5\pi = 17.5\pi \text{ سم}$$
النتيجة: طول القوس L = 17.5π سم (≈ 54.98 سم).
مثال 3 – صعب
المطلوب: قطاع دائرة نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية \frac{4\pi}{3} راديان يُقَصّ من ورقة مسطحة لتشكيل سطح جانبي لمخروط قائم. احسب الارتفاع العمودي h والحجم V للمخروط.
الخطوات:
- طول القوس (المحيط القاعدي للمخروط):
$$L = r·θ = 9 \times \frac{4\pi}{3} = 12\pi \text{ سم}$$
هذا هو محيط قاعدة المخروط، وبالتالي نصف القطر القاعدي R يحقق 2πR = 12π ⇒ R = 6 سم.
- ارتفاع المخروط: باستخدام علاقة المثلث القائم بين الارتفاع h، نصف القطر القاعدي R، والارتفاع المائل (الضلع المائل) وهو نصف القطر الأصلي للورقة r = 9 سم:
$$h = \sqrt{r^{2} - R^{2}} = \sqrt{9^{2} - 6^{2}} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\text{ سم}$$
- حجم المخروط:
$$V = \frac{1}{3}\pi R^{2} h = \frac{1}{3}\pi (6)^{2} \times 3\sqrt{5} = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 3\sqrt{5} = 36\pi \sqrt{5}\text{ سم}^{3}$$
النتيجة:
- الارتفاع h = 3√5 سم (≈ 6.71 سم).
- الحجم V = 36π√5 سم³ (≈ 252.0 سم³).
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- خلط الاتجاهات: اعتبار الدوران عكس عقارب الساعة سالبًا أو العكس؛ يجب تذكر أن الاتجاه الإيجابي هو عكس عقارب الساعة.
- عدم تحويل الوحدات: استخدام الزاوية بالدرجات مباشرةً في صيغ L = r·θ أو S = ½ r² θ دون تحويلها إلى راديان.
- إهمال قيمة n في الزاوية العامة: عند كتابة الزاوية العامة يجب تضمين n كعدد صحيح؛ إغفالها قد يؤدي إلى حساب زاوية غير مكافئة.
- قيمة الظل غير معرفة: عندما cosθ = 0 (مثلاً θ = 90° أو π/2) يكون tanθ غير معرفة؛ لا يجوز كتابة قيمة عددية.
- التقريب غير المبرر: في المسائل التي تطلب الإجابة بصيغة جذرية أو بـ π يجب ترك النتيجة على هذا الشكل دون تقريب.
قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)
- هل عرفت الطرف الابتدائي والطرف الطرفي للزاوية في الوضع القياسي؟
- هل حددت اتجاه الدوران (موجب أو سالب) بصورة صحيحة؟
- هل كتبت الزاوية العامة على صورة θ = α + 360°·n؟
- هل حولت جميع الزوايا إلى الراديان قبل استعمال صيغ القوس أو المساحة؟
- هل استخدمت الصيغة L = r·θ لحساب طول القوس؟
- هل استخدمت الصيغة S = ½·r²·θ لحساب مساحة القطاع؟
- هل حددت إحداثيات نقطة P على دائرة الوحدة بشكل صحيح؟
- هل استخرجت قيم sin, cos, tan من إحداثيات P؟
- هل تحققت من عدم تعريف tan عندما cosθ = 0؟
- هل استخدمت القيم الخاصة للزاوية (π/6, π/4, …) عند الحاجة؟
- هل أبقيت على الجذور في المقام كما هو في النص (دون تبسيطها)؟
- هل راجعت أن جميع النتائج مطابقة للوحدات المطلوبة (درجة/راديان/سم/سم³)؟
- هل قمت بتبسيط العبارات الجبرية فقط إذا كان ذلك مذكورًا في النص؟
- هل حافظت على الدقة في كتابة π وعدم استبداله برقم تقريبي؟
جميع القوانين دفعة واحدة
θ = α + 360°·n (زاوية عامة)
rad = deg × π / 180 (تحويل إلى راديان)
deg = rad × 180 / π (تحويل إلى درجات)
L = r × θ (طول القوس، θ بالراديان)
S = ½ × r² × θ (مساحة القطاع، θ بالراديان)
sin θ = y
cos θ = x
tan θ = y / x (x ≠ 0)
sin π/6 = ½ cos π/6 = √3/2 tan π/6 = 1/√3
sin π/4 = √2/2 cos π/4 = √2/2 tan π/4 = 1
sin π/3 = √3/2 cos π/3 = ½ tan π/3 = √3
sin π/2 = 1 cos π/2 = 0 tan π/2 = غير معرفة
sin π = 0 cos π = –1 tan π = 0
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.