ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول الدوائر

أهداف التعلم

• استخراج الصيغة المعيارية والعمومية لمعادلة الدائرة من المعطيات.
• تحويل المعادلة العامة إلى الصيغة المعيارية عبر إكمال المربع.
• حساب مركز الدائرة ونصف قطرها عندما يُعطى أحدهما أو كلاهما.
• استعمال نقطة على الدائرة أو نقطتين كطرفي قطر لتحديد معادلة الدائرة.
• حل مسائل تطبيقية تتعلق بتقاطع دوائر متعددة (مثل نظام GPS).
• تحليل الأخطاء الشائعة في إكمال المربع وتحويل الصيغ.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدائرة: مجموعة جميع النقاط في المستوى التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز).
• المركز: إحداثيات النقطة $(a, b)$ التي تكون مسافة نصف القطر من كل نقطة على الدائرة.
• نصف القطر $r$: المسافة الثابتة بين المركز وأي نقطة على الدائرة.
• الصيغة المعيارية: $(x‑a)² + (y‑b)² = r²$ – تُستعمل عندما يُعرف المركز ونصف القطر.
• الصيغة العامة: $x² + y² + lx + my + n = 0$ – تمثّل أي دائرة أو شكل من الدرجة الثانية في المتغيرين.
• إكمال المربع: عملية تحويل الصيغة العامة إلى المعيارية بإنشاء مربعات كاملة للمتغيرين $x$ و$y$.
• منتصف القطر: إذا عُرفت إحداثيات نقطتي طرفي القطر $(x₁, y₁)$ و$(x₂, y₂)$ فإن مركز الدائرة هو $\bigl(\frac{x₁+x₂}{2},\frac{y₁+y₂}{2}\bigr)$.
• مسافة بين نقطتين: $d = \sqrt{(x₂‑x₁)² + (y₂‑y₁)²}$ – تُستعمل لحساب نصف القطر عندما يُعطى المركز ونقطة على الدائرة.
• التثليث المسافي (Trilateration): استعمال تقاطع ثلاث دوائر لتحديد موقع نقطة في الفضاء، كما في أنظمة GPS.

القوانين والنظريات والقواعد

الصيغة المعيارية للدائرة

(x‑a)² + (y‑b)² = r²

شرط التطبيق: يُعرف المركز $(a,b)$ ونصف القطر $r$.
ملاحظة: عندما يكون المركز هو أصل الإحداثيات $(0,0)$ تصبح الصيغة $x² + y² = r²$.

الصيغة العامة للدائرة

x² + y² + lx + my + n = 0

شرط التطبيق: أي معادلة من الدرجة الثانية في المتغيرين يمكن كتابتها بهذه الصورة.
ملاحظة: بعد إكمال المربع يصبح $a = -\frac{l}{2}$، $b = -\frac{m}{2}$، و$r² = a² + b² - n$.

تحويل الصيغة العامة إلى المعيارية (إكمال المربع)

1. إكمال مربع $x$: $x² + lx = (x + \frac{l}{2})² - (\frac{l}{2})²$.
2. إكمال مربع $y$: $y² + my = (y + \frac{m}{2})² - (\frac{m}{2})²$.
3. استبدالهما في المعادلة العامة وإعادة ترتيبها لتصبح:

(x‑a)² + (y‑b)² = k

حيث $a = -\frac{l}{2}$، $b = -\frac{m}{2}$، $k = a² + b² - n$.

شرط التطبيق: يجب أن يكون $k > 0$ لتُمثل دائرة حقيقية.
ملاحظة: إذا كان $k = 0$ تمثل نقطة، وإذا كان $k < 0$ لا تمثل أي شكل حقيقي.

حساب نصف القطر من المركز ونقطة على الدائرة

r = √[(x₁‑a)² + (y₁‑b)²]

شرط التطبيق: يُعرف المركز $(a,b)$ وإحدى نقاط الدائرة $(x₁,y₁)$.
ملاحظة: إذا كان نصف القطر صفرًا فإن الدائرة تتحول إلى نقطة.

حساب المركز من نقطتي طرفي القطر

a = (x₁ + x₂)/2
b = (y₁ + y₂)/2

شرط التطبيق: تُعطى إحداثيات نقطتي القطر.
ملاحظة: نصف القطر يُحسب كمسافة بين أحد الطرفين والمركز.

إيجاد معادلة الدائرة من ثلاث نقاط

1. افترض معادلة الدائرة العامة: $x² + y² + lx + my + n = 0$.
2. عوّض كل نقطة $(x_i, y_i)$ في المعادلة لتكوين نظام ثلاث معادلات.
3. حل النظام لإيجاد $l, m, n$ ثم كتابة المعادلة.

شرط التطبيق: يجب أن تكون النقاط غير متعامدة (غير خطية) لتحدد دائرة فريدة.
ملاحظة: إذا كان النظام غير قابل للحل فالنقاط قد تكون على خط مستقيم.

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إيجاد معادلة الدائرة ذات المركز $(3, -2)$ ونصف القطر $5$.

الحل: نستخدم الصيغة المعيارية مباشرةً:

$$(x‑3)² + (y+2)² = 5²$$

$$(x‑3)² + (y+2)² = 25$$

إذا رغبنا في الصيغة العامة نفتح الأقواس:
$x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 25$ →
$x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0$.

النتيجة: معادلة الدائرة هي $(x‑3)² + (y+2)² = 25$ أو $x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0$.

مثال 2 – متوسط

المطلوب: تحديد نوع الشكل الممثَّل بالمعادلة $x² + y² - 6x + 2y + 6 = 0$.

الحل: نُكمل المربع.
$x² - 6x = (x‑3)² - 9$
$y² + 2y = (y+1)² - 1$

المعادلة تصبح: $(x‑3)² - 9 + (y+1)² - 1 + 6 = 0$ →
$(x‑3)² + (y+1)² - 4 = 0$ →
$(x‑3)² + (y+1)² = 4$.

المعادلة تمثل دائرة مركزها $(3, -1)$ ونصف قطرها $\sqrt{4}=2$.

النتيجة: الشكل دائرة.

مثال 3 – صعب

المطلوب: إيجاد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطتين $A(2,5)$ و$B(8,1)$ ويقع مركزها على المستقيم $x + y = 8$.

الحل:

1. نفرض مركز الدائرة $(a,b)$ بحيث $a + b = 8$.

2. نصف القطر يساوي المسافة من المركز إلى أي من النقطتين:
   $r² = (2‑a)² + (5‑b)² = (8‑a)² + (1‑b)²$.

3. نطرح المعادلتين لإلغاء $r²$:
   $(2‑a)² + (5‑b)² - [(8‑a)² + (1‑b)²] = 0$.

نُبسّط:
$(4 - 4a + a²) + (25 - 10b + b²) - (64 - 16a + a²) - (1 - 2b + b²) = 0$
$\Rightarrow 4 - 4a + 25 - 10b - 64 + 16a - 1 + 2b = 0$
$\Rightarrow -36 + 12a - 8b = 0$ → $12a - 8b = 36$ → $3a - 2b = 9$.

مع الشرط $a + b = 8$ نحل النظام:
$b = 8 - a$ → $3a - 2(8‑a) = 9$ → $3a - 16 + 2a = 9$ → $5a = 25$ → $a = 5$.
إذن $b = 8 - 5 = 3$.

المركز $(5,3)$. نصف القطر:
$r² = (2‑5)² + (5‑3)² = (-3)² + 2² = 9 + 4 = 13$ → $r = √13$.

المعادلة المعيارية: $(x‑5)² + (y‑3)² = 13$.

النتيجة: معادلة الدائرة المطلوبة هي $(x‑5)² + (y‑3)² = 13$.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال إشارة السالب عند إكمال المربع: عند تحويل $lx$ إلى $(x + \frac{l}{2})²$ يجب إضافة $\frac{l}{2}$ داخل القوس مع إشارة موجبة، ثم طرح $(\frac{l}{2})²$ خارج القوس.
• الخلط بين $k$ و$r²$: في الصيغة $(x‑a)² + (y‑b)² = k$ يجب التأكد أن $k > 0$؛ إذا سُبّيت القيمة سيتحول الشكل إلى لا شيء.
• استخدام نصف القطر السالب: نصف القطر يُعرّف دائمًا كقيمة موجبة؛ إذا حصلت على قيمة سالبة فهناك خطأ في الحساب.
• عدم التحقق من أن النقاط الثلاث غير خطية: إذا كانت الثلاث نقاط على خط مستقيم لا يمكن تحديد دائرة؛ يجب فحص ذلك أولاً.
• نسيان تحويل المعادلة العامة إلى المعيارية قبل استخراج المركز: المركز لا يُقرأ مباشرةً من المعاملات $l$ و$m$ دون إكمال المربع.

قائمة المراجعة

• [ ] معرفة الصيغة المعيارية $(x‑a)² + (y‑b)² = r²$.
• [ ] معرفة الصيغة العامة $x² + y² + lx + my + n = 0$.
• [ ] القدرة على إكمال المربع لتحويل العامة إلى المعيارية.
• [ ] حساب $a = -\frac{l}{2}$، $b = -\frac{m}{2}$، $r² = a² + b² - n$.
• [ ] التحقق من شرط $k > 0$ لوجود دائرة حقيقية.
• [ ] حساب نصف القطر من المسافة بين المركز والنقطة.
• [ ] حساب المركز من نقطتي طرفي القطر باستخدام المتوسط.
• [ ] إعداد نظام معادلات عند إعطاء ثلاث نقاط.
• [ ] حل النظام للحصول على $l, m, n$ أو $a, b, r$.
• [ ] التحقق من صحة الحل بإبدال إحدى النقاط في المعادلة.
• [ ] مراجعة الإشارات السالبة في المعاملات.
• [ ] التأكد من أن النقاط غير خطية قبل تطبيق طريقة الثلاث نقاط.
• [ ] تطبيق مفهوم التثليث المسافي في مسائل تطبيقية (GPS).

جميع القوانين دفعة واحدة

(x‑a)² + (y‑b)² = r²
x² + y² + lx + my + n = 0
a = -l/2 ,  b = -m/2
r² = a² + b² - n
k = a² + b² - n   (k > 0 لوجود دائرة)
r = √[(x₁‑a)² + (y₁‑b)²]
a = (x₁ + x₂)/2 ,  b = (y₁ + y₂)/2
r = √[(x₁‑x₂)² + (y₁‑y₂)²] / 2
نظام ثلاث معادلات:  xᵢ² + yᵢ² + l xᵢ + m yᵢ + n = 0   (i = 1,2,3)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!