ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المثلثات والمستقيمات

أهداف التعلم

1. استعمال الإحداثيات الديكارتية لتحديد نوع المثلث (متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، قائم الزاوية، أو متساوي الساقين قائم الزاوية).
2. حساب أطوال الأضلاع باستخدام صيغة المسافة المربعة $(AB)²$.
3. استخراج معادلة المستقيم في صوره المختلفة (أفقي، عمودي، من نقطتين، أو من نقطة ومعامل الانحدار).
4. معرفة علاقة الانحدار بين المستقيمات المتوازية والمتعامدة.
5. حل مسائل تطبيقية تجمع بين المثلثات والمستقيمات (مثل مسألة تحديد قيمة المتغيّر $k$ في مثلث إيزوسيلس قائم الزاوية).
6. توظيف المعادلات الجبرية للمستقيمات لضمان تقاطع عدة مسارات في نقطة واحدة (مفهوم يُستَخدم في التطبيقات الطبية).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المثلث المتساوي الأضلاع: كل أضلاعه متساوية في الطول.
• المثلث المتساوي الساقين: له ضلعان متساويان في الطول والضلع الثالث مختلف.
• المثلث القائم: أحد زواياه قائمة (90°) وتتحقق علاقة فيثاغورس بين أضلاعه.
• المثلث المتساوي الساقين القائم: يحقق شرط المتساوي الساقين وفي نفس الوقت علاقة فيثاغورس.
• المسافة المربعة بين نقطتين: $(AB)² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²$.
• معامل الانحدار (الميل) للمستقيم: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (مع شرط $x_1 \neq x_2$).
• معادلة المستقيم الأفقي: $y = y_0$ (يمر بالنقطة $(x_0 , y_0)$ وموازي لمحور $x$).
• معادلة المستقيم العمودي: $x = x_0$ (يمر بالنقطة $(x_0 , y_0)$ وموازي لمحور $y$).
• معادلة المستقيم من نقطتين:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\qquad y - y_1 = m,(x - x_1)$$

• معادلة المستقيم من نقطة ومعامل الانحدار: $y - y_1 = m,(x - x_1)$.
• الخطوط المتوازية: لها نفس معامل الانحدار $m$.
• الخطوط المتعامدة: حاصل ضرب معاملَي الانحدار يساوي $-1$ $(m_1 \cdot m_2 = -1)$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف المثلث المتساوي الأضلاع

إذا كان (AB)² = (BC)² = (CA)² فإن المثلث ABC متساوي الأضلاع.

شرط التطبيق: جميع أضلاع المثلث متساوية.
ملاحظة: لا يمكن أن يتحقق هذا الشرط إذا كان أحد الأضلاع مختلفاً.

تعريف المثلث المتساوي الساقين

إذا كان (AB)² = (BC)² ≠ (CA)² فإن المثلث ABC متساوي الساقين.

شرط التطبيق: ضلعان متساويان والضلع الثالث مختلف.
ملاحظة: قد يكون الزاوية بين الساقين قائمة إذا تحقق شرط فيثاغورس.

تعريف المثلث القائم

إذا كان (AC)² = (AB)² + (BC)² فإن المثلث ABC قائم الزاوية عند B.

شرط التطبيق: تحقق علاقة فيثاغورس بين الأضلاع.
ملاحظة: إذا تحقق الشرطان معاً يكون المثلث متساوي الساقين وقائمًا.

معادلة المستقيم الأفقي

y = y₀

شرط التطبيق: المستقيم يمر بنقطة $(x₀ , y₀)$ وموازي لمحور $x$.
ملاحظة: جميع نقاط المستقيم لها نفس الإحداثي $y$.

معادلة المستقيم العمودي

x = x₀

شرط التطبيق: المستقيم يمر بنقطة $(x₀ , y₀)$ وموازي لمحور $y$.
ملاحظة: جميع نقاط المستقيم لها نفس الإحداثي $x$.

معادلة المستقيم من نقطتين

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
y - y₁ = m (x - x₁)

شرط التطبيق: $x₁ \neq x₂$ (إلا يصبح المستقيم عموديًا).
ملاحظة: يمكن تحويل الصيغة إلى الشكل العام $y = mx + b$ بحساب $b = y₁ - m x₁$.

معادلة المستقيم من نقطة ومعامل الانحدار

y - y₁ = m (x - x₁)

شرط التطبيق: معرفة نقطة $(x₁ , y₁)$ ومعامل الانحدار $m$.
ملاحظة: إذا كان $m = 0$ تتحول إلى معادلة أفقية؛ إذا كان $m$ غير معرف (قيمة لا نهائية) تتحول إلى معادلة عمودية.

علاقة التوازي والعمودية بين المستقيمات

متوازيان  ⇔  m₁ = m₂
متعامدان ⇔  m₁·m₂ = -1

شرط التطبيق: معرفة معاملَي الانحدار للمستقيمين.
ملاحظة: إذا كان أحد الميلين غير معرف (خط عمودي) فإن المستقيم المتوازي له يكون عموديًا على المحور $x$ أيضًا.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: تحديد نوع المثلث $A(4,9)$, $B(0,6)$, $C(3,2)$.

الحل:

1. حساب الأطوال المربعة:

$$(AB)² = (0-4)² + (6-9)² = (-4)² + (-3)² = 16 + 9 = 25$$

$$(BC)² = (3-0)² + (2-6)² = 3² + (-4)² = 9 + 16 = 25$$

$$(CA)² = (4-3)² + (9-2)² = 1² + 7² = 1 + 49 = 50$$

2. المقارنة: $(AB)² = (BC)² \neq (CA)²$ → المثلث متساوي الساقين.
3. اختبار شرط القائم: $(CA)² = (AB)² + (BC)²$ ؟

$$50 = 25 + 25 \quad \text{صحيح}$$

إذن المثلث قائم الزاوية عند $B$.

النتيجة: المثلث $ABC$ هو مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية (الزاوية عند $B$ تساوي $90°$).

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: إيجاد معادلة المستقيم المار بالنقطتين $(-3,1)$ و $(-3,2)$.

الحل:

1. ملاحظة أن إحداثي $x$ للنقطتين متساوٍ $(-3)$ → المستقيم عمودي على محور $x$.
2. وفق قاعدة المستقيم العمودي:

$$x = -3$$

النتيجة: معادلة المستقيم هي $x = -3$ (خط عمودي).

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: إذا كان $A(1,2)$, $B(2k,k)$, $C(4,5)$ والمثلث $ABC$ متساوي الساقين وقائم الزاوية عند $B$، أوجد قيمة $k$.

الحل:

1. حساب المسافات المربعة من $B$ إلى $A$ وإلى $C$:

$$(AB)² = (2k-1)² + (k-2)²$$

$$(BC)² = (4-2k)² + (5-k)²$$

2. شرط المتساوي الساقين عند القاعدة $AB = BC$:

$$(2k-1)² + (k-2)² = (4-2k)² + (5-k)²$$

توسيع وتبسيط:

$$(4k² -4k +1) + (k² -4k +4) = (4k² -16k +16) + (k² -10k +25)$$

$$5k² -8k +5 = 5k² -26k +41$$

$$-8k +5 = -26k +41 ;\Rightarrow; 18k = 36 ;\Rightarrow; k = 2$$

3. تحقق شرط القائم عند $B$ باستخدام علاقة فيثاغورس:

$$(AC)² = (AB)² + (BC)²$$

حساب $(AC)²$:

$$(AC)² = (4-1)² + (5-2)² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18$$

حساب $(AB)²$ و$(BC)²$ عندما $k=2$:

$$(AB)² = (4-1)² + (2-2)² = 3² + 0 = 9$$

$$(BC)² = (4-4)² + (5-2)² = 0 + 3² = 9$$

إذن $(AB)² + (BC)² = 9 + 9 = 18 = (AC)²$ → الشرط محقق.

النتيجة: قيمة المتغيّر هي $k = 2$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان تربيع الفروق عند حساب $(AB)²$؛ كتابة $(x_B - x_A) + (y_B - y_A)$ بدلاً من $(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²$.
• خلط إحداثيات $x$ و$y$ في صيغة الميل؛ يجب أن يكون $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$.
• اعتبار المستقيم المتوازي عندما تكون إحداثيات $x$ متساوية؛ في الواقع ذلك ينتج مستقيماً عمودياً.
• إهمال شرط القائم؛ فحص علاقة فيثاغورس ضروري حتى لو تحقق شرط المتساوي الساقين.
• تحديد الزاوية القائمة في غير الموضع الصحيح؛ يجب أن تكون الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الضلع الأكبر (حسب فيثاغورس).
• عدم التحقق من حالة خاصة عندما يكون $x_1 = x_2$؛ في هذه الحالة لا يمكن حساب الميل ويجب استعمال معادلة العمودي $x = x_1$.
• إهمال تحويل معادلة النقطة‑الميل إلى الشكل العام؛ قد يؤدي ذلك إلى صعوبة في مقارنة أو جمع المعادلات.

---

قائمة المراجعة

• [ ] التأكد من كتابة إحداثيات النقاط بدقة (بدون إغفال إشارة سالبة).
• [ ] حساب $(AB)², (BC)², (CA)²$ باستخدام صيغة المسافة المربعة.
• [ ] مقارنة القيم الثلاث لتحديد ما إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، أو لا شيء.
• [ ] اختبار علاقة فيثاغورس لتحديد ما إذا كان المثلث قائمًا.
• [ ] إذا تحقق الشرطان معًا، تصنيف المثلث كمتساوي الساقين قائم الزاوية.
• [ ] حساب معامل الانحدار $m$ باستخدام $(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ مع التحقق من عدم مساواة المقام للصفر.
• [ ] عند الحصول على $m = 0$ → المستقيم أفقي؛ عند عدم وجود ميل (المقام صفر) → المستقيم عمودي.
• [ ] كتابة معادلة المستقيم في الشكل المطلوب (نقطة‑ميل أو عام).
• [ ] التحقق من صحة المعادلة بإدخال إحداثيات إحدى النقاط المعطاة.
• [ ] فحص ما إذا كان المستقيمان متوازيان (نفس الميل) أو متعامدين (حاصل الضرب $-1$).
• [ ] في مسائل المتغيرات (مثل $k$) استعمال نظام معادلات يدمج شرط المتساوي الساقين مع شرط القائم.
• [ ] مراجعة النتيجة النهائية للتأكد من توافقها مع جميع الشروط المذكورة في السؤال.

---

جميع القوانين دفعة واحدة

(AB)² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²
إذا كان (AB)² = (BC)² = (CA)² → مثلث متساوي الأضلاع
إذا كان (AB)² = (BC)² ≠ (CA)² → مثلث متساوي الساقين
إذا كان (AC)² = (AB)² + (BC)² → مثلث قائم الزاوية عند B
y = y₀                     (مستقيم أفقي)
x = x₀                     (مستقيم عمودي)
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)    (معامل الانحدار)
y - y₁ = m (x - x₁)        (معادلة نقطة‑ميل)
متوازيان ⇔ m₁ = m₂
متعامدان ⇔ m₁·m₂ = -1

بالتوفيق في امتحاناتك!