ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول أساسيات الهندسة الإحداثية

أهداف التعلم

1. تعريف النقطة على خط الأعداد وتحديد إحداثيتها.
2. حساب المسافة بين نقطتين على خط الأعداد باستخدام القيمة المطلقة.
3. إيجاد إحداثيات نقطة تقسم قطعة مستقيمة داخليًا أو خارجيًا بنسب معينة.
4. تحديد إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة.
5. التعرف على الأرباع الأربعة في المستوى الإحداثي وتحديد موقع أي نقطة فيه.
6. إيجاد إحداثيات النقاط المتناظرة بالنسبة للمحور السيني، المحور الصادي، أو الأصل.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قانون المسافة على خط الأعداد

AB = |b − a|

شرط التطبيق: يجب أن تكون a و b إحداثيات نقطتين على نفس الخط المستقيم.
ملاحظة: القيمة المطلقة تضمن أن تكون المسافة غير سالبة.

2. قانون إحداثيات التقسيم الداخلي

P = (n·a + m·b) / (m + n)

شرط التطبيق: النسبة m : n يجب أن تكون موجبة، والنقطة P تقع بين A و B.
ملاحظة: انتبه لترتيب الضرب؛ n يرافق إحداثية a و m يرافق إحداثية b.

3. قانون إحداثيات التقسيم الخارجي

Q = (−n·a + m·b) / (m − n)

شرط التطبيق: يجب أن يكون m ≠ n لتجنب القسمة على صفر، والنقطة Q تقع خارج القطعة AB.
ملاحظة: إشارة السالب أمام n·a هي ما يميز التقسيم الخارجي.

4. قانون إحداثيات نقطة المنتصف

M = (a + b) / 2

شرط التطبيق: لا توجد قيود خاصة؛ تنطبق على أي قطعتين على خط الأعداد.
ملاحظة: يُستعمل عندما تكون النسبة 1:1 (تقسيم داخلي).

5. تحديد الربع في المستوى الإحداثي

الربع I : x > 0 , y > 0
الربع II: x < 0 , y > 0
الربع III: x < 0 , y < 0
الربع IV : x > 0 , y < 0

شرط التطبيق: لا يجوز أن يكون أحد الإحداثيين صفرًا؛ في هذه الحالة تكون النقطة على أحد المحاور.

6. إحداثيات النقطة المتناظرة

• مع المحور السيني: (x, −y)
• مع المحور الصادي: (-x, y)
• مع الأصل: (-x, −y)

شرط التطبيق: يجب أن تكون إحداثيات النقطة الأصلية معروفة.
ملاحظة: تغيير إشارة إحداثية واحدة فقط يعطي تناظرًا مع أحد المحاور، وتغيير الإشارتين يعطي تناظرًا مع الأصل.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: نقطتا A(−4) و B(8).
المطلوب: (أ) المسافة AB؛ (ب) إحداثية C تقسم AB داخليًا بنسبة 2:1؛ (ج) إحداثية D تقسم AB خارجيًا بنسبة 2:3؛ (د) إحداثية منتصف M.

الحل:

1. AB = |8 − (−4)| = |12| = 12.
2. نسبة داخلية 2:1 ⇒ m = 2, n = 1.

$$C = \frac{1·(−4) + 2·8}{2 + 1} = \frac{−4 + 16}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

إذن C(4).
3. نسبة خارجية 2:3 ⇒ m = 2, n = 3.

$$D = \frac{−3·(−4) + 2·8}{2 − 3} = \frac{12 + 16}{−1} = \frac{28}{−1} = −28$$

إذن D(−28).
4. منتصف M:

$$M = \frac{(−4) + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

إذن M(2).

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: نقطتا A(−5) و B(7).
المطلوب: (أ) المسافة AB؛ (ب) إحداثية C داخليًا بنسبة 2:1؛ (ج) إحداثية D خارجيًا بنسبة 2:5.

الحل:

1. AB = |7 − (−5)| = |12| = 12.
2. داخلية 2:1:

$$C = \frac{1·(−5) + 2·7}{2 + 1} = \frac{−5 + 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

→ C(3).
3. خارجية 2:5:

$$D = \frac{−5·(−5) + 2·7}{2 − 5} = \frac{25 + 14}{−3} = \frac{39}{−3} = −13$$

→ D(−13).

---

مثال 3 – صعب (تحدي)

المعطى: نقطتا رصد في عمق البحر: Pod A(−8 km) و Pod B(−3 km).
المطلوب: (أ) طول الحبل الضوئي بينهما؛ (ب) إحداثية نقطة C تقسم AB داخليًا بنسبة 1:4؛ (ج) إحداثية نقطة D تقسم AB خارجيًا بنسبة 3:4؛ (د) إحداثية نقطة الإمداد M (المنتصف).

الحل:

1. AB = |(−3) − (−8)| = |5| = 5 km.
2. داخلية 1:4 ⇒ m = 1, n = 4.

$$C = \frac{4·(−8) + 1·(−3)}{1 + 4} = \frac{−32 − 3}{5} = \frac{−35}{5} = −7$$

→ C(−7 km).
3. خارجية 3:4 ⇒ m = 3, n = 4.

$$D = \frac{−4·(−8) + 3·(−3)}{3 − 4} = \frac{32 − 9}{−1} = \frac{23}{−1} = −23$$

→ D(−23 km) (تقع خارج القطعة باتجاه العمق الأكبر).
4. منتصف M:

$$M = \frac{(−8) + (−3)}{2} = \frac{−11}{2} = −5.5$$

→ M(−5.5 km).

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان القيمة المطلقة عند حساب المسافة؛ قد ينتج عدد سالب غير مقبول.
• خلط ترتيب النسب m و n في صيغ التقسيم؛ يجب أن يرافق m إحداثية الطرف البعيد في الصيغة الداخلية، و n إحداثية الطرف القريب.
• القسمة على صفر في التقسيم الخارجي عندما يكون m = n؛ الصيغة غير معرفة.
• إهمال إشارة السالب في صيغة التقسيم الخارجي؛ يؤدي إلى إحداثية داخلية خاطئة.
• تحديد الربع عندما يكون أحد الإحداثيين صفرًا؛ النقطة تقع على أحد المحاور ولا تُعَدّ في أي ربع.
• تطبيق قواعد التناظر دون تغيير الإشارة الصحيحة؛ مثال: تناظر نقطة (x, y) بالنسبة للمحور السيني هو (x, -y) وليس (-x, y).

---

قائمة المراجعة

1. هل كتبت إحداثيات كل نقطة على الشكل P(a) أو P(x, y)؟
2. هل استخدمت القيمة المطلقة عند حساب أي مسافة؟
3. هل تأكدت من أن النسبة m:n موجبة قبل استعمال صيغة التقسيم الداخلي؟
4. هل تحققت من أن m ≠ n قبل استعمال صيغة التقسيم الخارجي؟
5. هل طبقت الصيغة الداخلية $(n·a + m·b)/(m + n)$ بالترتيب الصحيح للضرب؟
6. هل طبقت الصيغة الخارجية $(-n·a + m·b)/(m - n)$ مع الإشارة السالبة أمام n·a؟
7. هل حسبت منتصف القطعة باستخدام $(a + b)/2$؟
8. عند تحديد الربع، هل فحصت إشارة كل إحداثي بدقة؟
9. هل استخدمت القواعد الخاصة بالتناظر (تغيير إشارة إحداثية واحدة أو كليهما) بشكل صحيح؟
10. هل راجعت أن جميع القيم العددية مبسطة إلى أبسط صورة ممكنة؟
11. هل تأكدت من عدم وجود أخطاء إملائية في الرموز (مثل كتابة x بدلاً من a)؟
12. هل راعيت أن جميع الخطوات في الحلول مكتوبة بترتيب منطقي واضح؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

AB = |b − a|
P = (n·a + m·b) / (m + n)          (تقسيم داخلي)
Q = (−n·a + m·b) / (m − n)          (تقسيم خارجي)
M = (a + b) / 2                     (نقطة المنتصف)
الربع I : x > 0 , y > 0
الربع II: x < 0 , y > 0
الربع III: x < 0 , y < 0
الربع IV : x > 0 , y < 0
تناظر مع المحور السيني : (x, −y)
تناظر مع المحور الصادي : (−x, y)
تناظر مع الأصل        : (−x, −y)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!