ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المعادلات التربيعية

أهداف التعلم

1. حل المعادلات التربيعية في مجموعة الأعداد المركبة باستخدام الطرق الثلاثة: الجذور التربيعية، التحليل إلى عوامل، والقانون العام.
2. تطبيق مفهوم الجذر التربيعي على معادلات من الشكل $(x+m)^2 = a$ وتحويلها إلى صيغة خطية.
3. استخدام التحليل إلى عوامل لتحديد حلول المعادلات من الشكل $x(x-a)=0$ أو $(x-a)(x-b)=0$ وغيرها.
4. استعمال القانون العام (Quadratic Formula) لإيجاد جذور أي معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية أو مركبة.
5. حساب المميز $D = b^{2}-4ac$ وتحديد طبيعة الجذور (حقيقية متميزة، مكررة، أو مركبة).
6. ربط المعادلات التربيعية بالعلوم الحياتية والهندسية لتفسير استقرار الأنظمة أو احتمال انهيارها.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المعادلة التربيعية: معادلة من الدرجة الثانية على الصورة

$$ax^{2}+bx+c=0,\qquad a\neq 0$$

حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية أو مركبة.

• الجذر التربيعي: إذا كان $x^{2}=a$ فإن حلولها هي

$$x=\pm\sqrt{a}$$

وعند وجود عدد مركب داخل الجذر يُعبَّر عنه بدلالة الوحدة التخيلية $i$ حيث $i^{2}=-1$.

• التحليل إلى عوامل: كتابة معادلة تربيعية على صورة حاصل ضرب عاملين خطيين، مثال

$$(x-a)(x-b)=0;\Longrightarrow;x=a;\text{أو};x=b$$

• القانون العام (Quadratic Formula): حلول المعادلة $ax^{2}+bx+c=0$ تُعطى بـ

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

• المميز (Discriminant): يُرمز له بـ $D$ ويُعرَّف بـ

$$D=b^{2}-4ac$$

يحدد طبيعة الجذور كما يلي:

• إذا كان $D>0$ → جذران حقيقيان متميزان.

• إذا كان $D=0$ → جذر واحد حقيقي مكرر.

• إذا كان $D<0$ → جذران مركبان غير متطابقين.

• مجموعة الأعداد المركبة: $\mathbb{C}={a+bi\mid a,b\in\mathbb{R},;i^{2}=-1}$. جميع المعادلات التربيعية لها حلول في $\mathbb{C}$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

طريقة الجذور التربيعية

إذا كان x² = a   →   x = ±√a
إذا كان (x+m)² = a   →   x+m = ±√a   →   x = -m ± √a

شرط التطبيق: يجب أن يكون الطرف الأيمن على صورة عدد حقيقي أو مركب يمكن استخراج جذره.
ملاحظة: عندما يكون a سالبًا يُستبدل بـ i√|a|.

طريقة التحليل إلى عوامل

x(x-a)=0          →   x=0 أو x=a
(x-a)(x-b)=0      →   x=a أو x=b
(ax-b)(cx-d)=0    →   x = b/a   أو   x = d/c

شرط التطبيق: يجب أن تكون المعادلة قابلة للكتابة كحاصل ضرب عاملين خطيين.
ملاحظة: إذا تكرر أحد العوامل (مثال (x-a)²) فإن الجذر يكون مكررًا.

القانون العام (Quadratic Formula)

x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)

شرط التطبيق: a ≠ 0.
ملاحظة: إذا كان D سالبًا يُستبدل الجذر بـ i√|D| لتظهر الجذور المركبة.

حساب المميز وتحديد طبيعة الجذور

D = b² - 4ac
إذا D > 0 → جذران حقيقيان متميزان
إذا D = 0 → جذر واحد حقيقي مكرر
إذا D < 0 → جذران مركبان غير متطابقين

شرط التطبيق: يُستَخدم قبل تطبيق القانون العام لتوقع طبيعة الحلول.
ملاحظة: لا يعني D < 0 عدم وجود حلول، بل وجود حلول مركبة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعادلة: $x^{2}+49=0$

1. نكتبها على صورة $x^{2}= -49$.
2. الجذر التربيعي للعدد السالب: $\sqrt{-49}=7i$.
3. الحلول:

$$x=\pm 7i$$

النتيجة: $x=7i$ أو $x=-7i$.

---

مثال 2 – متوسط

المعادلة: $2x^{2}+5x-12=0$

1. نحسب المميز:

$$D = 5^{2}-4\cdot2\cdot(-12)=25+96=121>0$$

2. بما أن $D>0$ فهناك جذران حقيقيان متميزان.
3. نطبق القانون العام:

$$x=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{2\cdot2} =\frac{-5\pm11}{4}$$

4. نحسب كل قيمة:

   • $x_{1}= \frac{-5+11}{4}= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}$
   • $x_{2}= \frac{-5-11}{4}= \frac{-16}{4}= -4$

النتيجة: $x=\frac{3}{2}$ أو $x=-4$.

---

مثال 3 – صعب (جذور مركبة)

المعادلة: $x^{2}-2\sqrt{3},x+5=0$

1. حساب المميز:

$$D = \bigl(-2\sqrt{3}\bigr)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4\cdot3-20 = 12-20 = -8<0$$

2. بما أن $D<0$ فإن الجذور مركبة.
3. نكتب الجذر التربيعي للعدد السالب: $\sqrt{-8}= \sqrt{8},i = 2\sqrt{2},i$.
4. تطبيق القانون العام:

$$x=\frac{2\sqrt{3}\pm 2\sqrt{2},i}{2} =\sqrt{3}\pm\sqrt{2},i$$

النتيجة: $x=\sqrt{3}+\sqrt{2},i$ أو $x=\sqrt{3}-\sqrt{2},i$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خطأ في إشارة المميز: اعتبار $D<0$ يعني “لا حلول”. الحقيقة أن هناك حلين مركبين.
• نسيان إشارة $i$ عند كتابة الجذر للعدد السالب؛ يجب كتابة $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$.
• خطأ في القسمة على $2a$ في القانون العام؛ يجب أن يُقسم البسط بالكامل على $2a$ وليس فقط على 2.
• إهمال شرط $a\neq0$؛ إذا كان $a=0$ تتحول المعادلة إلى معادلة خطية ولا يُستَخدم القانون العام.
• الخلط بين الجذر الموجب والسالب عند استعمال طريقة الجذور التربيعية؛ يجب أخذ العلامتين $\pm$.
• استخدام التحليل إلى عوامل على معادلة غير قابلة للتحليل (مثال معاملات غير صحيحة) يؤدي إلى استنتاج خاطئ.

---

قائمة المراجعة

1. تأكد أن معامل $a\neq0$.
2. إذا كان الشكل $(x+m)^{2}=a$ فابدأ بإزالة المربع.
3. احسب المميز $D=b^{2}-4ac$.
4. حدّد طبيعة الجذور بناءً على إشارة $D$.
5. إذا كان $D\ge0$ استخدم الجذور الحقيقية؛ إذا كان $D<0$ استبدل الجذر بـ $i\sqrt{|D|}$.
6. طبّق القانون العام بدقة مع الحفاظ على العلامة $\pm$.
7. في حالة التحليل إلى عوامل، تحقق من أن حاصل الضرب يساوي المعادلة الأصلية.
8. بعد الحصول على الجذور، عُد إلى المعادلة الأصلية للتحقق من صحة الحلول.
9. احرص على تبسيط الكسور والجذور إذا أمكن.
10. عند التعامل مع أعداد مركبة، اكتب الشكل $a+bi$ مع إبقاء $b$ في صورة عدد حقيقي.
11. راجع خطوات التحويل من الشكل المربع إلى الشكل الخطي لتجنب الأخطاء الإشارية.
12. استخدم القواعد الخاصة بالمعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية داخلية سلبية (استبدال بـ $i$).
13. في المسائل التطبيقية (بيولوجيا، هندسة) اربط النتيجة بالمعنى الفيزيائي أو البيولوجي.

---

جميع القوانين دفعة واحدة

المعادلة التربيعية: ax² + bx + c = 0   (a ≠ 0)
الجذر التربيعي: x² = a  →  x = ±√a
طريقة الجذور: (x+m)² = a  →  x = -m ± √a
التحليل إلى عوامل:
   x(x-a)=0          →  x=0 أو x=a
   (x-a)(x-b)=0      →  x=a أو x=b
   (ax-b)(cx-d)=0    →  x=b/a أو x=d/c
القانون العام:
   x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)
المميز:
   D = b² - 4ac
   D > 0 → جذران حقيقيان متميزان
   D = 0 → جذر واحد حقيقي مكرر
   D < 0 → جذران مركبان غير متطابقين
الجذر المركب للعدد السالب:
   √(-a) = i√a   (a > 0)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!