ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول العدد المركّب

أهداف التعلم

1. تعريف العدد المركّب وتمييز مكوّنه (الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي).
2. معرفة أن العدد $i$ هو الجذر التخيّلي للعدد $-1$ بحيث $i^{2} = -1$.
3. إظهار أن الأعداد الحقيقية هي جزء من مجموعة الأعداد المركّبة.
4. تطبيق قاعدة المساواة بين عددين مركّبين: مساواة الأجزاء الحقيقية ومساواة الأجزاء التخيّلية.
5. إجراء عمليات الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة على الأعداد المركّبة وإعادة كتابة النتيجة في الشكل $a + bi$.
6. تبسيط قوى العدد التخيّلي $i$ إلى أحد القيم ${i, -1, -i, 1}$.
7. حل المعادلات التي تحتوي على أعداد مركّبة بإستخدام مقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيّلية.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف العدد التخيّلي

i² = -1

شرط التطبيق: لا يُستثنى أي عدد حقيقي؛ يُستعمل لتعريف الجذر التخيّلي.
ملاحظة: أي قوة أعلى من 2 تُختزل إلى أحد القيم ${i, -1, -i, 1}$ باستخدام القاعدة السابقة.

تعريف العدد المركّب

z = a + bi   (a, b ∈ ℝ)

شرط التطبيق: يجب أن يكون كل من $a$ و$b$ أعدادًا حقيقية.
ملاحظة: إذا كان $b = 0$ يصبح $z$ عددًا حقيقيًا؛ إذا كان $a = 0$ يصبح عددًا تخيّليًا صَرفًا.

مساواة عددين مركّبين

a + bi = c + di  ⇔  a = c  وَ  b = d

شرط التطبيق: يجب كتابة كلا الطرفين في الشكل القياسي $a + bi$.
ملاحظة: لا يجوز خلط الأجزاء الحقيقية مع التخيّلية أثناء المقارنة.

جمع وطرح الأعداد المركّبة

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i

شرط التطبيق: يجب جمع (أو طرح) الأجزاء المتشابهة فقط.
ملاحظة: لا تُجمع الأجزاء الحقيقية مع التخيّلية.

ضرب عددين مركّبين

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

شرط التطبيق: استبدال $i^{2}$ بـ $-1$ بعد توسيع الضرب.
ملاحظة: إهمال إشارة $-bd$ هو خطأ شائع.

قسمة عددين مركّبين

(a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c – di)] / (c² + d²)
                     = [(ac + bd) + (bc – ad)i] / (c² + d²)

شرط التطبيق: يجب أن يكون المقام غير صفر ($c$ و$d$ ليسا كلاهما صفرًا).
ملاحظة: يُستعمل المُرافق $(c - di)$ لتقليل المقام إلى عدد حقيقي.

تبسيط قوى $i$

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1   (ثم يتكرر النمط)

شرط التطبيق: عندما تظهر أي قوة لـ$i$ يُستبدل بالقيمة المقابلة من النمط الدوري.
ملاحظة: لا تُكتب قوى $i$ كـ$i^{n}$ إذا كان $n$ عددًا صحيحًا كبيرًا؛ يُفضَّل اختصارها.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: حدد الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي للعدد $z = 2 + 5i$.

الحل:

• الجزء الحقيقي هو $2$.
• الجزء التخيّلي هو $5$.

النتيجة:

Re(z) = 2
Im(z) = 5

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: أوجد قيمتي $x$ و$y$ بحيث يتحقق

$$(2x + y) + (3x - y)i = 8 + 7i$$

الحل: نكتب الطرفين في الشكل $a + bi$ ثم نساوي الأجزاء.

• الجزء الحقيقي: $2x + y = 8$
• الجزء التخيّلي: $3x - y = 7$

نحلّ النظام:

$$\begin{cases} 2x + y = 8 \ 3x - y = 7 \end{cases}$$

نجمع المعادلتين: $5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
نعوّض في الأولى: $2·3 + y = 8 \Rightarrow y = 2$.

النتيجة:

x = 3 ,   y = 2

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: حل المعادلة التالية للعددين الحقيقيين $x$ و$y$:

$$(1 + 2i)(x + i) = x(y + i)$$

الحل: نوسّع الطرفين ثم نعيد كتابة النتيجة في الشكل $a + bi$.

1. الطرف الأيسر:

$$(1 + 2i)(x + i) = x·1 + x·2i + i·1 + i·2i = x + 2xi + i + 2i^{2}$$

وبما أن $i^{2} = -1$ نحصل على:

$$= x + 2xi + i - 2 = (x - 2) + (2x + 1)i$$

2. الطرف الأيمن:

$$x(y + i) = xy + xi = xy + xi$$

نكتبها كـ $(xy) + (x)i$.

3. مساواة الأجزاء:

• الجزء الحقيقي: $x - 2 = xy$
• الجزء التخيّلي: $2x + 1 = x$

من المعادلة التخيّلية: $2x + 1 = x \Rightarrow x = -1$.

نعوّض $x = -1$ في المعادلة الحقيقية:

$$-1 - 2 = (-1)·y \Rightarrow -3 = -y \Rightarrow y = 3$$

النتيجة:

x = -1 ,   y = 3

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الأجزاء: جمع أو طرح جزء حقيقي مع جزء تخيّلي يؤدي إلى نتيجة غير صحيحة.
• نسيان $i^{2} = -1$: عند ضرب عددين مركّبين يجب استبدال $i^{2}$ بـ $-1$ فور ظهورها.
• إهمال المرافق في القسمة: لا تُقسم عددًا مركّبًا على آخر دون ضرب البسط والمقام بالمرافق $(c - di)$.
• عدم تبسيط قوى $i$: ترك $i^{n}$ دون اختصار يسبب تعقيدًا غير ضروري.
• إدخال حدود غير متشابهة في الجمع: يجب جمع الحدود المتشابهة فقط (الأجزاء الحقيقية مع بعضها، والأجزاء التخيّلية مع بعضها).

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تعريف $i$ و$i^{2} = -1$؟
2. هل تستطيع كتابة أي عدد مركّب على الصورة $a + bi$؟
3. هل تميز بين الجزء الحقيقي $\operatorname{Re}(z)$ والجزء التخيّلي $\operatorname{Im}(z)$؟
4. هل تعرف أن الأعداد الحقيقية هي حالة خاصة عندما $b = 0$؟
5. هل تعرف أن العدد التخيّلي الصّرف هو حالة خاصة عندما $a = 0$؟
6. هل تتذكر قاعدة مساواة عددين مركّبين (مساواة الأجزاء منفصلة)؟
7. هل تجري جمع وطرح الأعداد المركّبة بدمج الأجزاء المتشابهة فقط؟
8. هل تستبدل $i^{2}$ بـ $-1$ فور ظهورها في عمليات الضرب؟
9. هل تتقن صيغة ضرب عددين مركّبين $(ac - bd) + (ad + bc)i$؟
10. هل تعرف كيفية قسمة عددين مركّبين باستخدام المرافق؟
11. هل تستطيع تبسيط أي قوة لـ$i$ إلى أحد القيم ${1, i, -1, -i}$؟
12. هل تتأكد من كتابة النتيجة النهائية دائمًا في الشكل $a + bi$؟
13. هل تتحقق من عدم وجود صفر في المقام عند القسمة؟
14. هل تراجع خطواتك لتجنب الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

i² = -1
z = a + bi          (a, b ∈ ℝ)
a + bi = c + di  ⇔  a = c وَ b = d
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc – ad)i] / (c² + d²)
i⁰ = 1 , i¹ = i , i² = -1 , i³ = -i , i⁴ = 1 (ثم يتكرر)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!