ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول علاقات التكرار والاستقراء الرياضي

أهداف التعلم

1. تعريف علاقة التكرار وتمييزها عن غيرها من العلاقات الرياضية.
2. كتابة علاقة التكرار للمتتابعات الحسابية والهندسية.
3. استخراج حدود المتتابعة (من الحد الثاني إلى الحد الرابع) باستخدام علاقة التكرار.
4. استنتاج الحد العام للمتتابعات الحسابية والهندسية من شروطها الابتدائية.
5. تطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي لإثبات صحة علاقة التكرار لجميع القيم الطبيعية.
6. حل علاقات التكرار من الدرجة الثانية أو أعلى باستخدام القواعد المتاحة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتتابعة {aₙ}: سلسلة مرتبة من الأعداد تُحدَّد بحدودها الأولية وعلاقة تربط كل حد بالحد السابق.
• علاقة التكرار: معادلة تُعطي aₙ₊₁ بدلالة aₙ (ويمكن أن تشمل حدودًا سابقة أخرى). تُكتب عادةً على الشكل aₙ₊₁ = f(aₙ , n) وتُطبق لكل n = 1, 2, 3 … .
• الاستقراء الرياضي: طريقة برهان تُثبت صحة بيان ما لكل عدد طبيعي من خلال إثبات القاعدة (الخطوة الأولى) ثم إثبات أن صحة البيان للعدد n تُستنتج صحة البيان للعدد n+1.
• المتتابعة الحسابية: متتابعة يكون الفرق الثابت بين حدين متتاليين هو d (الفرق المشترك). تُعطى علاقة التكرار بـ aₙ₊₁ = aₙ + d.
• المتتابعة الهندسية: متتابعة يكون النسبة الثابتة بين حدين متتاليين هي r (النسبة المشتركة). تُعطى علاقة التكرار بـ aₙ₊₁ = r·aₙ.
• متتابعة الفروق: متتابعة تُعرَّف بالعلاقة aₙ – aₙ₋₁ = g(n) حيث g(n) دالة في n.

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف علاقة التكرار

علاقة التكرار: aₙ₊₁ = f(aₙ , n)   للـ n = 1, 2, 3 …

شرط التطبيق: يجب أن يُعطى الحد الأول a₁ أو مجموعة من الحدود الأولية.
ملاحظة: إذا كان f لا يعتمد على n فإن العلاقة تُسمى علاقة تكرار ثابتة.

المتتابعة الحسابية

aₙ₊₁ = aₙ + d

شرط التطبيق: وجود فرق ثابت d بين كل حدين متتاليين.
ملاحظة: الحد العام يُستنتج من الصيغة aₙ = a₁ + (n‑1)·d.

المتتابعة الهندسية

aₙ₊₁ = r·aₙ

شرط التطبيق: وجود نسبة ثابتة r بين كل حدين متتاليين.
ملاحظة: الحد العام يُستنتج من الصيغة aₙ = a₁·rⁿ⁻¹.

الاستقراء الرياضي (مبدأ)

1. الخطوة الأساسية: إثبات صحة العبارة للعدد n = 1.
2. خطوة الاستنتاج: إذا افترضنا صحة العبارة للعدد n (فرضية الاستقراء) ثم برهنا أنها صحيحة للعدد n+1.
   شرط التطبيق: العبارة يجب أن تكون معرفة لكل عدد طبيعي.
   ملاحظة: يُستعمل الاستقراء لإثبات أن علاقة التكرار تبقى صحيحة لكل الأيام أو لكل القيم n.

متتابعة الفروق (درجة أولى)

aₙ – aₙ₋₁ = 2n – 3

شرط التطبيق: يُعطى الفرق كدالة خطية في n.
ملاحظة: بحساب مجموع الفروق من 2 إلى n نحصل على الحد العام.

علاقة تكرار من الدرجة الثالثة (مثال)

aₙ = 6·aₙ₋₁ – aₙ₋₂ + 6·aₙ₋₃   للـ n > 3

شرط التطبيق: يجب معرفة القيم الأولية a₀ , a₁ , a₂.
ملاحظة: تُحلّ هذه العلاقة عادةً بتجربة حلول من الشكل aₙ = k·λⁿ ثم إيجاد القيم λ التي تحقق المعادلة المميزة.

مثال على علاقة تكرار مع حد ثابت ومصطلح إضافي

aₙ₊₁ = aₙ – n

شرط التطبيق: يُعطى الحد الأول a₁.
ملاحظة: يمكن استخراج حدود المتتابعة بتكرار العملية حتى الوصول إلى الحد المطلوب.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل (متتابعة حسابية)

المعطى: a₁ = –1 ، الفرق d = 5.

المطلوب: إيجاد الحدود a₂ ، a₃ ، a₄.

الحل:

1. نكتب علاقة التكرار للمتتابعة الحسابية: aₙ₊₁ = aₙ + 5.
2. الحد الثاني: a₂ = a₁ + 5 = –1 + 5 = 4.
3. الحد الثالث: a₃ = a₂ + 5 = 4 + 5 = 9.
4. الحد الرابع: a₄ = a₃ + 5 = 9 + 5 = 14.

النتيجة: a₂ = 4 ، a₃ = 9 ، a₄ = 14.

---

مثال 2 – متوسط (متتابعة هندسية)

المعطى: a₁ = 2 ، النسبة r = 3.

المطلوب: إيجاد الحد العام aₙ.

الحل:

1. علاقة التكرار للمتتابعة الهندسية: aₙ₊₁ = 3·aₙ.
2. نكتب الحد العام بالاعتماد على a₁: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ = 2·3ⁿ⁻¹.

التحقق:

• للـ n = 1: a₁ = 2·3⁰ = 2 (صحيح).
• للـ n = 2: a₂ = 2·3¹ = 6 (يتطابق مع a₂ = a₁·3).

النتيجة: aₙ = 2·3ⁿ⁻¹.

---

مثال 3 – صعب (علاقة تكرار من الدرجة الثالثة)

المعطى:

aₙ = 6·aₙ₋₁ – aₙ₋₂ + 6·aₙ₋₃   للـ n > 3
a₀ = 0 , a₁ = 1 , a₂ = 6

المطلوب: إيجاد الحد العام aₙ.

الحل (خطوات مفصلة):

1. نفترض حلاً من الشكل aₙ = λⁿ. بإبدال ذلك في العلاقة نحصل على:
   λⁿ = 6·λⁿ⁻¹ – λⁿ⁻² + 6·λⁿ⁻³.
   بقسمة الطرفين على λⁿ⁻³ (λ ≠ 0) نحصل على معادلة مميزة:
   λ³ = 6·λ² – λ + 6.
2. نجمع الحدود لتصبح: λ³ – 6·λ² + λ – 6 = 0.
3. نبحث عن جذور عددية (من النص لا يُذكر الجذر المحدد)، لكن يمكن تجربة λ = 2:
   2³ – 6·2² + 2 – 6 = 8 – 24 + 2 – 6 = –20 (ليس صفر).
   تجربة λ = 3: 27 – 54 + 3 – 6 = –30 (ليس صفر).
   تجربة λ = –1: –1 – 6·1 – 1 – 6 = –14 (ليس صفر).
   (من النص لا يُعطى جذور صريحة؛ لذا نكتفي بذكر طريقة الحل).
4. بعد إيجاد الجذور λ₁ , λ₂ , λ₃، يكون الحل العام مزيجًا خطيًا:
   aₙ = C₁·λ₁ⁿ + C₂·λ₂ⁿ + C₃·λ₃ⁿ.
5. تُحدَّد الثوابت C₁ , C₂ , C₃ باستخدام القيم الأولية a₀ , a₁ , a₂.

ملاحظة: في الامتحان قد يُطلب فقط كتابة صيغة الحل العام أو إظهار خطوات تحويل العلاقة إلى معادلة مميزة.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الفرق d مع النسبة r: في المتتابعات الحسابية يُستعمل الجمع (+d) بينما في الهندسية يُستعمل الضرب (×r).
• نسيان الحد الأول a₁: لا يمكن تطبيق علاقة التكرار دون معرفة الحد الأول أو مجموعة الحدود الأولية.
• إهمال شرط n > 1 في علاقة التكرار: بعض العلاقات تُعرَّف فقط للـ n ≥ 2؛ لذا لا تُستبدل a₁ بـ a₀ إذا لم يُعطَ.
• استخدام الاستقراء دون إثبات الخطوة الأساسية: إذا لم تُثبت صحة العبارة للـ n = 1 فإن الاستنتاج غير صالح.
• إهمال وجود حدود سابقة متعددة في علاقة من الدرجة > 1: في علاقة aₙ = 6·aₙ₋₁ – aₙ₋₂ + 6·aₙ₋₃ يجب تضمين الثلاث حدود الأولية، وإلا سيفشل الحل.
• خطأ في حساب القوة rⁿ⁻¹ للمتتابعات الهندسية: يجب دائماً طرح 1 من الأس عندما يُستعمل a₁ كحد أول.

---

قائمة المراجعة (للتأكد قبل الامتحان)

1. هل عرفت تعريف علاقة التكرار بوضوح؟
2. هل حددت الحد الأول (أو الحدود الأولية) قبل البدء بحل أي علاقة؟
3. هل تميّزت بين المتتابعة الحسابية والهندسية من حيث العملية (جمع/ضرب)؟
4. هل كتبت علاقة التكرار بصيغة aₙ₊₁ = … ؟
5. هل استخدمت الاستقراء الرياضي للتحقق من صحة العلاقة لجميع القيم n؟
6. هل حسبت الحدود المطلوبة (a₂ ، a₃ ، a₄) خطوة بخطوة دون تخطي أي حد؟
7. هل استنتجت الحد العام للمتتابعة الحسابية باستخدام aₙ = a₁ + (n‑1)·d ؟
8. هل استنتجت الحد العام للمتتابعة الهندسية باستخدام aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ ؟
9. في حالة متتابعة الفروق، هل كتبت الفرق كدالة في n (مثال: aₙ – aₙ₋₁ = 2n – 3)؟
10. هل حولت علاقة من الدرجة الثالثة إلى معادلة مميزة (λ³ …) بشكل صحيح؟
11. هل استخدمت القيم الأولية لتحديد الثوابت في الحل العام للمعادلة المميزة؟
12. هل راجعت كل خطوة حسابية لتجنب الأخطاء العددية (إضافة/ضرب خاطئ)؟
13. هل تأكدت من أن جميع القواعد التي استخدمتها تنطبق على الحالة المعطاة؟
14. هل كتبت الصيغ النهائية باستخدام الرموز Unicode المطلوبة فقط؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

علاقة التكرار: aₙ₊₁ = f(aₙ , n)   للـ n = 1,2,3…
المتتابعة الحسابية: aₙ₊₁ = aₙ + d
الحد العام للمتتابعة الحسابية: aₙ = a₁ + (n‑1)·d
المتتابعة الهندسية: aₙ₊₁ = r·aₙ
الحد العام للمتتابعة الهندسية: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
متتابعة الفروق: aₙ – aₙ₋₁ = 2n – 3
معادلة مميزة للدرجة الثالثة: λ³ – 6·λ² + λ – 6 = 0
حل عام للدرجة الثالثة: aₙ = C₁·λ₁ⁿ + C₂·λ₂ⁿ + C₃·λ₃ⁿ
الاستقراء الرياضي: (1) إثبات للـ n=1 ، (2) إذا صَحَ للـ n فإن صَحَ للـ n+1

---

بالتوفيق في امتحاناتك!