ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول نظريات كثيرات الحدود

أهداف التعلم

1. تطبيق نظرية الباقي لتقليل عمليات قسمة كثيرات الحدود وتحديد الباقي بسرعة.
2. استخدام نظرية العامل لتحديد ما إذا كان خطيًا ما هو عامل لكثير الحدود.
3. إجراء القسمة التركيبية (Synthetic Division) كطريقة سريعة لاختبار القيم وتبسيط الحسابات.
4. تحديد الباقي عند قسمة كثير الحدود على تعبير تربيعي (x‑a)(x‑b) وإيجاد معاملات الباقي.
5. حل مسائل متعددة البواقي باستخدام نظام معادلات لتحديد الباقي النهائي.
6. تمييز الأخطاء الشائعة في تطبيق النظريات وتجنب الوقوع فيها.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

نظرية الباقي (Remainder Theorem)

إذا قُسِم P(x) على (x – a) فإن الباقي = P(a)

شرط التطبيق: المقسوم عليه يجب أن يكون خطيًا من الشكل $(x-a)$.
ملاحظة: الباقي ثابت (درجة صفر).

نظرية العامل (Factor Theorem)

(x – a) عامل لـ P(x)  ⇔  P(a) = 0

شرط التطبيق: نفس شرط نظرية الباقي؛ المقسوم عليه خطي.
ملاحظة: إذا تحقق الشرط فإن $(x-a)$ يمكن اختصاره من $P(x)$.

القسمة التركيبية (Synthetic Division)

خطوات القسمة التركيبية عندما يكون المقسوم عليه $(x-a)$:

1. كتابة معاملات $P(x)$ من أعلى درجة إلى أدنى درجة.
2. وضع قيمة $a$ على اليسار.
3. إحضار أول معامل مباشرة إلى الصف السفلي.
4. ضرب هذا الرقم بـ $a$ وإضافته إلى المعامل التالي، وتكرار العملية حتى النهاية.
5. الرقم الأخير هو الباقي، والبقية تشكل معاملات القسمة $Q(x)$.

شرط التطبيق: المقسوم عليه خطي من الشكل $(x-a)$.
ملاحظة: إذا كان الباقي صفرًا فإن $(x-a)$ عامل لكثير الحدود.

باقي القسمة على مقسوم تربيعي $(x-a)(x-b)$

P(x) = (x-a)(x-b)·Q(x) + (mx + n)   حيث   m,n ثابتان

شرط التطبيق: $\deg[(x-a)(x-b)]=2$ لذا يجب أن يكون $\deg(m x + n) ≤ 1$.
طريقة الحل:

• نعوض $x=a$ في المعادلة للحصول على $P(a)=ma+n$.
• نعوض $x=b$ للحصول على $P(b)=mb+n$.
• بحل النظام نحصل على $m$ و$n$.

جمع البواقي من قواسم مختلفة

عند إعطاء باقي القسمة على $(x-a)$ و$(x-b)$ نستخدم نظام معادلات:

$$\begin{cases} P(a)=R_a\ P(b)=R_b \end{cases}$$

نستنتج من ذلك أن الباقي عند القسمة على $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$ هو خطي ويُحدد بحل النظام.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إيجاد الباقي عند قسمة
$P(x)=3x^{4}-8x^{3}-5x^{2}+12$ على $(3x-2)$.

الحل:

1. نكتب المقسوم عليه على الشكل $(x-a)$ بإيجاد الجذر: $3x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
2. نطبق نظرية الباقي: $R=P!\left(\dfrac{2}{3}\right)$.

$$\begin{aligned} P!\left(\dfrac{2}{3}\right)&=3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4} -8\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} -5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+12 \[2mm] &=3\cdot\dfrac{16}{81} -8\cdot\dfrac{8}{27} -5\cdot\dfrac{4}{9}+12 \[2mm] &=\dfrac{48}{81} -\dfrac{64}{27} -\dfrac{20}{9}+12 \[2mm] &=\dfrac{16}{27} -\dfrac{64}{27} -\dfrac{60}{27}+ \dfrac{324}{27}\[2mm] &=\dfrac{216}{27}=8 . \end{aligned}$$

النتيجة: الباقي هو $8$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: إذا كان باقي القسمة عندما يُقسم
$P(x)=x^{4}+a x^{3}+3x+1$ على $(x+3)$ يساوي $4$، أوجد قيمة $a$.

الحل:

1. نكتب المقسوم عليه $(x+3)= (x-(-3))$ لذا نحتاج $x=-3$.
2. حسب نظرية الباقي: $P(-3)=4$.

$$\begin{aligned} P(-3)&=(-3)^{4}+a(-3)^{3}+3(-3)+1\ &=81-27a-9+1\ &=73-27a . \end{aligned}$$

نساوي بـ 4: $73-27a=4 \Rightarrow 27a=69 \Rightarrow a= \dfrac{69}{27}= \dfrac{23}{9}$.

النتيجة: $a=\dfrac{23}{9}$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: إذا كان باقي القسمة عندما يُقسم كثير الحدود $P(x)$ على $(x-1)$ يساوي $3$ وعند القسمة على $(x+3)$ يساوي $-5$، أوجد باقي القسمة عندما يُقسم على $x^{2}+2x-3$.

الحل:

1. نلاحظ أن $x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3)$. لذا الباقي سيكون من الدرجة الأولى: $R(x)=mx+n$.
2. نكتب المعادلتين باستخدام قيم $x=1$ و$x=-3$:

$$\begin{cases} P(1)=m(1)+n = 3\ P(-3)=m(-3)+n = -5 \end{cases}$$

3. بحل النظام:

$$\begin{aligned} m+n &=3 \quad (1)\ -3m+n &=-5 \quad (2) \end{aligned}$$

نطرح (2) من (1): $(m+n)-(-3m+n)=3-(-5)\Rightarrow 4m=8\Rightarrow m=2$.
نعوض في (1): $2+n=3\Rightarrow n=1$.

النتيجة: باقي القسمة هو $R(x)=2x+1$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط قيمة الجذر: عند تطبيق نظرية الباقي يجب استبدال $x$ بـ القيمة التي تجعل المقسوم عليه صفرًا؛ استبدال $x=2$ بدلاً من $x=\frac{2}{3}$ في المثال الأول يؤدي إلى نتيجة خاطئة.
• استخدام مقسوم غير خطي في نظرية الباقي: لا يمكن تطبيق النظرية مباشرةً على مقسوم من الدرجة الثانية أو أعلى؛ يجب تحويله إلى عوامل خطية أو استعمال صيغة الباقي العامة.
• نسيان شرط درجة الباقي: إذا كان المقسوم عليه من الدرجة $k$ فإن الباقي لا يجوز أن يكون من درجة $k$ أو أعلى. مثال: قسمة على $(x-1)$ لا يمكن أن يكون الباقي من الدرجة الأولى.
• خطأ في القسمة التركيبية: إهمال إشارة $a$ (القيمة التي تُستبدل) أو إهمال إحضار الصفر للمعاملات غير الموجودة في كثير الحدود.
• الخلط بين باقي القسمة وعامل القسمة: وجود باقي صفر لا يعني أن المقسوم عليه هو العامل الوحيد؛ قد يكون هناك عوامل أخرى.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تعريف كثير الحدود ودرجة كل حد؟
2. هل حددت نوع المقسوم عليه (خطّي أم تربيعي)؟
3. هل استبدلت $x$ بالقيمة التي تجعل المقسوم عليه صفرًا قبل حساب الباقي؟
4. هل تأكدت أن درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه؟
5. عند القسمة على $(x-a)(x-b)$ هل كتبت نظام المعادلات الصحيح؟
6. هل حللت نظام المعادلات بدقة للحصول على معاملات الباقي؟
7. هل استخدمت القسمة التركيبية عندما يكون المقسوم عليه خطيًا لتسريع العملية؟
8. هل تحققت من أن الباقي ثابت عندما يكون المقسوم عليه خطيًا؟
9. هل راجعت حساباتك للخطوات الجبرية (توزيع، جمع، طرح)؟
10. هل تأكدت من عدم وجود معاملات مفقودة في كثير الحدود الأصلي؟
11. هل راعيت إشارة القسمة (مثلاً $(x+3)$ تعني $a=-3$ في $x-a$)؟
12. هل قمت بتطبيق نظرية العامل لتحديد ما إذا كان $(x-a)$ عاملًا حقيقيًا؟
13. هل تحققت من أن القسمة التركيبية أعطت نفس النتيجة التي تعطيها التعويض المباشر؟
14. هل كتبت النتيجة النهائية بصيغة $R(x)=\dots$ مع توضيح درجة الباقي؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

1. نظرية الباقي:   P(a) = باقي القسمة عند القسمة على (x‑a)
2. نظرية العامل:   (x‑a) عامل لـ P(x) ⇔ P(a)=0
3. القسمة التركيبية:   (خطوات جدولية) → باقي = آخر رقم
4. باقي القسمة على (x‑a)(x‑b):   P(x)= (x‑a)(x‑b)·Q(x) + (mx+n)
5. نظام البواقي:   P(a)=ma+n ,  P(b)=mb+n
6. شرط درجة الباقي:   deg(R) < deg(D)
7. إذا كان باقي القسمة على (x‑1) = 3 → P(1)=3
8. إذا كان باقي القسمة على (x+3) = –5 → P(‑3)=‑5
9. عندما يكون المقسوم عليه (x‑a) → الباقي ثابت
10. عندما يكون المقسوم عليه من الدرجة k → الباقي من الدرجة ≤ k‑1

---

بالتوفيق في امتحاناتك!