ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول متتابعات متقدّمة

أهداف التعلم

1. تعريف متتابعة الفروق (Difference Sequence) وتمييزها عن المتتابعات الأصلية.
2. استخراج الحد العام للمتتابعات باستخدام متتابعة الفروق.
3. التعرف على خصائص المتتابعات الحسابية والجيومترية داخل متتابعة الفروق.
4. تطبيق صيغة مجموع حدود متتابعة الفروق للحصول على الحد العام.
5. فهم مفهوم المتتابعات المجمّعة (Group Sequences) وتحليل تنظيمها.
6. حساب الحد الأول لمجموعة معينة، ومجموع حدود مجموعة، وتحديد موقع حد معين داخل التجميع.
7. تجنّب الأخطاء الشائعة في استبدال المتغيرات وتحقق من صحة الصيغ المستنتجة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• متتابعة الفروق: المتتابعة التي تُكوّن من الفروق بين الحدود المتجاورة للمتتابعة الأصلية.

$$b_n = a_{n+1} - a_n$$

• متتابعة حسابية: متتابعة يكون الفرق الثابت بين حدين متتاليين ثابتًا (d).

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

• متتابعة جيومترية: متتابعة يكون النسبة الثابتة بين حدين متتاليين ثابتة (r).

$$a_n = a_1 \times r^{,n-1}$$

• متتابعة مجمّعة: تقسيم متتابعة إلى مجموعات من عدد حدود متساوٍ أو متزايد وفق نمط معين، ثم دراسة خصائص كل مجموعة.
• الحد العام: صيغة تعطي قيمة الحد رقم $n$ لأي متتابعة.
• مجموع حدود مجموعة: مجموع جميع الحدود التي تنتمي إلى مجموعة معينة داخل المتتابعة المجمّعة.

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قاعدة تكوين متتابعة الفروق

b_n = a_{n+1} - a_n

شرط التطبيق: يجب أن تكون المتتابعة الأصلية معرفة لجميع حدودها المتتالية.
ملاحظة: إذا كانت المتتابعة الأصلية غير معروفة حدها العام، يمكن الاستفادة من متتابعة الفروق لاشتقاقه.

2. صيغة الحد العام باستخدام متتابعة الفروق

a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} b_k

شرط التطبيق: معرفة الحد الأول $a_1$ ومتتابعة الفروق ${b_k}$.
ملاحظة: إذا كانت ${b_k}$ متتابعة حسابية أو جيومترية، يمكن استبدال المجموع بصيغ مغلقة.

3. متتابعة الفروق إذا كانت حسابية

b_n = b_1 + (n-1)d

شرط التطبيق: يجب أن تكون الفروق بين حدود المتتابعة الأصلية ثابتة (دالة خطية).
ملاحظة: في هذه الحالة يصبح مجموع الفروق متسلسلة حسابية يمكن حسابه بسهولة.

4. متتابعة الفروق إذا كانت جيومترية

b_n = b_1 × r^{\,n-1}

شرط التطبيق: يجب أن تكون نسبة الفروق ثابتة.
ملاحظة: مجموع المتتابعة الجيومترية يُحسب بـ

Σ_{k=0}^{n-1} b_1 × r^{k} = b_1 (r^{n} - 1)/(r - 1)   (r ≠ 1)

5. صيغة الحد العام للمتتابعة الأصلية عندما تكون ${b_n}$ حسابية

a_n = a_1 + (n-1)b_1 + d (n-1)(n-2)/2

شرط التطبيق: ${b_n}$ حسابية بمعامل فرق $d$.
ملاحظة: يُستنتج هذا من جمع متسلسلة حسابية للـ $b_n$.

6. صيغة الحد العام للمتتابعة الأصلية عندما تكون ${b_n}$ جيومترية

a_n = a_1 + b_1 (r^{n-1} - 1)/(r - 1)

شرط التطبيق: ${b_n}$ جيومترية بمعامل نسبة $r\neq 1$.

7. تعريف المتتابعة قبل التجميع (قبل التجميع)

a_n = a_1 + (n-1)Δ   (Δ هو الفرق الثابت للمتتابعة الأصلية)

شرط التطبيق: المتتابعة الأصلية يجب أن تكون حسابية.

8. تعريف عدد الحدود في كل مجموعة (متتابعة عدد الحدود)

b_n = b_1 + (n-1)δ   (δ هو الفرق الثابت لعدد الحدود)

شرط التطبيق: عدد الحدود في كل مجموعة يتزايد بفرق ثابت.

9. حساب موقع الحد الأخير للمجموعة السابقة

موقع الحد الأخير للمجموعة k = Σ_{i=1}^{k} b_i

شرط التطبيق: معرفة متتابعة عدد الحدود ${b_i}$.

10. حساب الحد الأول للمجموعة $k+1$

الحد الأول للمجموعة (k+1) = الحد الأخير للمجموعة k + Δ

شرط التطبيق: معرفة الفرق الثابت للمتتابعة الأصلية $\Delta$.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إيجاد متتابعة الفروق للمتتابعة $10, 8, 4, -2, -10, \dots$.

الحل:

1. نحسب الفروق بين كل حدين متتاليين:
   • $b_1 = 8 - 10 = -2$
   • $b_2 = 4 - 8 = -4$
   • $b_3 = -2 - 4 = -6$
   • $b_4 = -10 - (-2) = -8$
2. إذن متتابعة الفروق هي $-2, -4, -6, -8, \dots$ وهي متتابعة حسابية بـ $b_1 = -2$ و$d = -2$.

النتيجة: ${b_n} = -2 - 2(n-1)$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: إيجاد الحد العام للمتتابعة التي حدها الأول $a_1 = 2$ وفروقها ${b_n}$ متتابعة حسابية بـ $b_1 = 3$ و$d = 4$.

الحل:

1. صيغة الفروق: $b_n = 3 + (n-1)·4 = 4n - 1$.
2. مجموع الفروق حتى الحد $(n-1)$:

$$Σ_{k=1}^{n-1} b_k = Σ_{k=1}^{n-1} (4k - 1) = 4 Σ_{k=1}^{n-1} k - (n-1)$$

$$= 4·\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 2n(n-1) - (n-1) = (n-1)(2n - 1)$$

3. باستخدام قاعدة الحد العام:

$$a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + (n-1)(2n - 1)$$

$$= 2n^{2} - 3n + 3$$

النتيجة: الحد العام هو $a_n = 2n^{2} - 3n + 3$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: في متتابعة مجمّعة حيث المتتابعة الأصلية $a_n = 2n$ (متتابعة حسابية) وعدد الحدود في كل مجموعة $b_n = 2n-1$ (متتابعة حسابية).
أ) احسب الحد الأول للمجموعة العاشرة.
ب) احسب مجموع حدود المجموعة الخامسة.
ج) حد رقم 88 يقع في أي مجموعة وأي موضع؟

الحل:

أ) الحد الأول للمجموعة العاشرة

1. عدد الحدود حتى المجموعة التاسعة:

$$Σ_{i=1}^{9} b_i = Σ_{i=1}^{9} (2i-1) = 2 Σ_{i=1}^{9} i - Σ_{i=1}^{9} 1 = 2·\frac{9·10}{2} - 9 = 90 - 9 = 81$$

2. إذن الحد الأخير للمجموعة التاسعة هو الحد رقم 81 في المتتابعة الأصلية.
3. الحد الأول للمجموعة العاشرة يساوي الحد التالي للحد 81:

$$a_{82} = 2·82 = 164$$

ب) مجموع حدود المجموعة الخامسة

1. عدد الحدود في المجموعة الخامسة: $b_5 = 2·5 - 1 = 9$.
2. موقع أول حد في المجموعة الخامسة:

$$Σ_{i=1}^{4} b_i = Σ_{i=1}^{4} (2i-1) = 2·\frac{4·5}{2} - 4 = 20 - 4 = 16$$

لذا أول حد هو الحد رقم 17.
3. آخر حد هو الحد رقم $16 + 9 = 25$.
4. مجموع الحدود من 17 إلى 25 في المتتابعة $a_n = 2n$:

$$Σ_{k=17}^{25} 2k = 2 Σ_{k=17}^{25} k = 2·\frac{(17+25)·9}{2} = (42)·9 = 378$$

ج) تحديد موقع الحد 88

1. نبحث عن مجموعة بحيث يكون مجموع حدود المجموعات السابقة < 88 ≤ مجموع حدودها.
2. مجموع الحدود حتى المجموعة $m$ هو:

$$S_m = Σ_{i=1}^{m} (2i-1) = m^{2}$$

(لأن مجموع أول $m$ أعداد فردية يساوي $m^{2}$).
3. نحتاج إلى $m$ بحيث $m^{2} ≥ 88$. أصغر مربع ≥ 88 هو $10^{2}=100$. إذن الحد 88 يقع في المجموعة العاشرة.
4. عدد الحدود قبل المجموعة العاشرة هو $9^{2}=81$. لذا موضع الحد داخل المجموعة هو $88 - 81 = 7$.

النتائج:

• الحد الأول للمجموعة العاشرة = 164.
• مجموع حدود المجموعة الخامسة = 378.
• الحد 88 في المجموعة العاشرة، الموضع السابع داخلها.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان استبدال $n$ بـ $n-1$ في صيغة مجموع الفروق؛ يؤدي إلى حد عام غير صحيح.
• عدم التحقق من صحة الصيغة عند $n=1$؛ يجب أن تُعطي الصيغة الحد الأول المعطى.
• خلط المتسلسلة الحسابية مع الجيومترية عند حساب الفروق؛ يجب التأكد من طبيعة ${b_n}$ أولاً.
• إهمال إشارة الفروق (سالب أو موجب) خاصةً في مثال الفروق المتناقص.
• استخدام صيغة مجموع المتسلسلة الجيومترية عندما $r=1$؛ في هذه الحالة يتحول إلى متسلسلة حسابية ويُستبدل بالصيغة المناسبة.
• في المتتابعات المجمّعة: عدم حساب عدد الحدود في كل مجموعة بدقة قد يسبب خطأ في تحديد موقع الحد داخل المجموعة.
• إغفال أن مجموع أول $m$ عدد فردي يساوي $m^{2}$؛ هذه خاصية مفيدة لتسريع الحسابات.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تعريف متتابعة الفروق بدقة؟
2. هل حددت إذا كانت ${b_n}$ حسابية أم جيومترية؟
3. هل حسبت الحد الأول $a_1$ للمتتابعة الأصلية؟
4. هل استخدمت صيغة الحد العام المناسبة (قواعد 5 أو 6) بحسب نوع ${b_n}$؟
5. هل تحققّت من صحة الصيغة عند $n=1$؟
6. هل استبدلت جميع حالات $n$ بـ $n-1$ في المجموع عندما يلزم؟
7. في المتتابعات المجمّعة، هل حددت صيغة عدد الحدود في كل مجموعة ${b_n}$؟
8. هل حسبت مجموع الحدود حتى مجموعة معينة باستخدام الصيغة المناسبة (مجموع أعداد فردية = مربع العدد)؟
9. هل عرفت موقع الحد الأخير للمجموعة السابقة قبل حساب الحد الأول للمجموعة التالية؟
10. هل استخدمت الفرق الثابت $\Delta$ للمتتابعة الأصلية عند الانتقال بين المجموعات؟
11. هل راجعت الإشارات (موجبة/سالبة) في الفروق قبل جمعها؟
12. هل طبقت القاعدة الخاصة بالمتسلسلة الجيومترية عندما يكون $r=1$؟
13. هل راعيت أن المتسلسلة الجيومترية تحتاج إلى شرط $r \neq 1$ في الصيغة المغلقة؟
14. هل قمت بحساب مجموع مجموعة معينة باستخدام صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية إذا كان عدد الحدود ثابتًا؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

b_n = a_{n+1} - a_n
a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} b_k
b_n = b_1 + (n-1)d                     (حسابية)
b_n = b_1 × r^{n-1}                    (جيومترية)
a_n = a_1 + (n-1)b_1 + d (n-1)(n-2)/2   (إذا b_n حسابية)
a_n = a_1 + b_1 (r^{n-1} - 1)/(r - 1)   (إذا b_n جيومترية, r≠1)
a_n = a_1 + (n-1)Δ                     (متتابعة أصلية حسابية)
b_n = b_1 + (n-1)δ                     (عدد الحدود في كل مجموعة)
موقع الحد الأخير للمجموعة k = Σ_{i=1}^{k} b_i
الحد الأول للمجموعة (k+1) = الحد الأخير للمجموعة k + Δ
Σ_{i=1}^{m} (2i-1) = m^2                (مجموع أعداد فردية)
Σ_{k=0}^{n-1} b_1 × r^{k} = b_1 (r^{n} - 1)/(r - 1)   (r≠1)

بالتوفيق في امتحاناتك!