ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول رمز التجميع (المجموع)

أهداف التعلم

1. تعريف رمز التجميع Σ واستخدامه لكتابة مجموع حدود المتتابعات.
2. استخراج الحد العام $a_k$ من المتتابعة وتحويله إلى صيغة Σ.
3. حساب مجموع المتتابعات الحسابية (خطية) والهندسية (متسلسلة نسبية).
4. تطبيق خواص التجميع لتبسيط عمليات الجمع والطرح والضرب داخل المجاميع.
5. كتابة صيغ مغلقة (قوانين) للمجاميع الشائعة مثل $\sum k$ و $\sum k^2$.
6. حل مسائل تطبيقية تتضمن نماذج واقعية (مثال: زراعة شتلات، تركيب ألواح شمسية).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قاعدة التجميع للثابت

∑_{k=1}^{n} c = n·c          (c ثابت لا يعتمد على k)

شرط التطبيق: يجب أن يكون الحد ثابتاً تماماً.
ملاحظة: إذا كان الثابت سالباً أو كسرًا فإن النتيجة تكون سالباً أو كسرًا على التوالي.

2. قاعدة جمع الأعداد الطبيعية

∑_{k=1}^{n} k = n·(n+1) / 2

شرط التطبيق: المتتابعة هي 1,2,3,…,n.
ملاحظة: تُستعمل كثيرًا في حساب مجموع المتتابعات الخطية.

3. قاعدة جمع مربعات الأعداد الطبيعية

∑_{k=1}^{n} k² = n·(n+1)·(2n+1) / 6

شرط التطبيق: المتتابعة هي 1²,2²,3²,…,n².
ملاحظة: تُستعمل في حساب متوسط القيم وتطبيقات الهندسة التحليلية.

4. خاصية التوزيع على الثابت

∑_{k=1}^{n} (c·a_k) = c·∑_{k=1}^{n} a_k

شرط التطبيق: الثابت $c$ لا يعتمد على $k$.
ملاحظة: تُسهل تحويل المجاميع التي تحتوي على معاملات.

5. خاصية الجمع والطرح داخل المجاميع

∑_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = ∑_{k=1}^{n} a_k + ∑_{k=1}^{n} b_k
∑_{k=1}^{n} (a_k - b_k) = ∑_{k=1}^{n} a_k - ∑_{k=1}^{n} b_k

شرط التطبيق: لا توجد علاقة اعتماد بين $a_k$ و$b_k$ غير موجودة في المؤشر.
ملاحظة: تُستعمل لتفكيك المجاميع المعقدة إلى أجزاء أبسط.

6. مثال على تطبيق خاصية التوزيع

∑_{k=1}^{n} (2k - 3) = 2·∑_{k=1}^{n} k - ∑_{k=1}^{n} 3
                     = 2·[n·(n+1)/2] - 3·n
                     = n·(n+1) - 3n
                     = n² - 2n

شرط التطبيق: استخدم القاعدتين (2) و (1).

7. صيغة المتتابعة الحسابية العامة

a_k = a_1 + (k-1)·d

شرط التطبيق: المتتابعة ذات فرق ثابت $d$.

8. صيغة المتتابعة الهندسية العامة

a_k = a_1·r^{k-1}

شرط التطبيق: المتتابعة ذات نسبة ثابتة $r$.

9. مجموع المتتابعة الهندسية (نهاية محدودة)

S_n = a_1·(1 - r^{n}) / (1 - r)      (r ≠ 1)

شرط التطبيق: المتتابعة الهندسية ذات نسبة $r$ لا تساوي 1.
ملاحظة: إذا كان $0 < r < 1$ فإن المجموع يقترب من حد نهائي عندما يزداد $n$.

10. مجموع المتتابعة الحسابية (نهاية محدودة)

S_n = n·(a_1 + a_n) / 2

أو بدلالة الفرق $d$:

S_n = n·[2·a_1 + (n-1)·d] / 2

شرط التطبيق: المتتابعة ذات فرق ثابت $d$.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المسألة: احسب $\displaystyle \sum_{k=1}^{4} 2k$.

الحل خطوة بخطوة:

1. كتابة الحد العام: $a_k = 2k$.
2. تطبيق خاصية التوزيع على الثابت: $\displaystyle \sum_{k=1}^{4} 2k = 2·\sum_{k=1}^{4} k$.
3. استعمال قاعدة جمع الأعداد الطبيعية: $\displaystyle \sum_{k=1}^{4} k = 4·5/2 = 10$.
4. إذن $\displaystyle 2·10 = 20$.

النتيجة: 20.

---

مثال 2 – متوسط

المسألة: احسب مجموع المتتابعة الهندسية التي يبدأ حدها بـ 200 وتتناقص بنسبة 0.6 لكل سنة، لمدة 10 سنوات.

الحل:

1. الحد العام: $a_k = 200·0.6^{,k-1}$.
2. عدد الحدود $n = 10$، النسبة $r = 0.6$.
3. استعمال صيغة مجموع المتتابعة الهندسية:

$$S_{10} = 200·\frac{1 - 0.6^{10}}{1 - 0.6}$$

4. حساب $0.6^{10} ≈ 0.0060466$.
5. إذن $S_{10} = 200·\frac{1 - 0.0060466}{0.4} = 200·\frac{0.9939534}{0.4} ≈ 200·2.4848835 ≈ 496.98$.

النتيجة: تقريبًا 497 شجرة صالحة بعد عشر سنوات.

---

مثال 3 – صعب

المسألة: شركة تقنية خضراء تركّب ألواح شمسية وفق المتتابعة $a_n = 3n - 2$ (الأسبوع الأول 1 لوح، الأسبوع الثاني 4 ألواح، …). صِغ التعبير باستخدام Σ واحسب مجموع الألواح المثبتة خلال 12 أسبوعًا.

الحل:

1. التعبير باستخدام Σ: $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} (3k - 2)$.
2. تفكيك المجاميع: $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} 3k - \sum_{k=1}^{12} 2$.
3. تطبيق خاصية التوزيع: $3·\sum_{k=1}^{12} k - 2·12$.
4. حساب $\sum_{k=1}^{12} k = 12·13/2 = 78$.
5. إذن $3·78 - 24 = 234 - 24 = 210$.

النتيجة: تم تركيب 210 لوحًا شمسياً خلال 12 أسبوعًا.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط مؤشر الحد مع عدد الحدود: يجب أن يكون الحد الأخير مكتوبًا كـ $k = n$ داخل Σ، وليس كـ $k = \text{عدد الحدود}$ مباشرةً.
• نسيان تحويل الحد الأخير إلى المتغير $k$: عندما يُعطى الحد الأخير على صورة دالة في $n$ (مثلاً $a_n = 2n+5$) يجب استبدال $n$ بـ $k$ داخل Σ.
• استخدام قاعدة $\sum k^2$ عندما لا تكون المتتابعة مربعات: القاعدة مخصصة فقط للمربعات، ولا تُستعمل للحدود من الشكل $k^2 + 3k$ دون تفكيكها أولاً.
• إهمال شرط $r \neq 1$ في صيغة المتتابعة الهندسية: إذا كان $r = 1$ فإن الصيغة السابقة تُصبح غير معرفة ويجب استعمال الصيغة البسيطة $S_n = n·a_1$.
• الخلط بين المتتابعة الحسابية والهندسية في تطبيق القواعد: لا يجوز استعمال صيغة المتتابعة الهندسية على متتابعة ذات فرق ثابت، والعكس.

---

قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)

1. هل عرفت رمز التجميع Σ وشكل الكتابة الصحيح $\sum_{k=1}^{n} a_k$؟
2. هل حددت الحد العام $a_k$ لكل متتابعة تُعطى؟
3. هل حولت أي حد يُعطى بدلالة $n$ إلى بدلالة $k$ داخل Σ؟
4. هل استخدمت قاعدة الثابت عندما يكون الحد ثابتًا؟
5. هل طبقت قاعدة جمع الأعداد الطبيعية عندما يكون الحد $k$ فقط؟
6. هل طبقت قاعدة جمع مربعات الأعداد عندما يكون الحد $k^2$؟
7. هل استخدمت خاصية التوزيع على الثابت قبل حساب المجاميع؟
8. هل فككت المجاميع التي تحتوي على جمع أو طرح داخل القوس؟
9. هل تحققت من شرط $r \neq 1$ قبل استعمال صيغة المتتابعة الهندسية؟
10. هل استخدمت صيغة المتتابعة الحسابية عندما يكون الفرق ثابتًا؟
11. هل حسبت عدد الحدود $n$ بدقة في المسائل التطبيقية (مثل عدد السنوات أو الأسابيع)؟
12. هل راجعت النتيجة النهائية للتأكد من عدم وجود أخطاء حسابية (مثل إهمال إشارة سالبة)؟
13. هل استبدلت القيم العددية في الصيغ النهائية لتبسيط النتيجة إذا طُلب ذلك؟
14. هل كتبت جميع الخطوات بوضوح لتسهيل المتابعة أثناء الامتحان؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

∑_{k=1}^{n} c               = n·c
∑_{k=1}^{n} k               = n·(n+1) / 2
∑_{k=1}^{n} k²              = n·(n+1)·(2n+1) / 6
∑_{k=1}^{n} (c·a_k)         = c·∑_{k=1}^{n} a_k
∑_{k=1}^{n} (a_k + b_k)     = ∑_{k=1}^{n} a_k + ∑_{k=1}^{n} b_k
∑_{k=1}^{n} (a_k - b_k)     = ∑_{k=1}^{n} a_k - ∑_{k=1}^{n} b_k
a_k (متتابعة حسابية)        = a_1 + (k-1)·d
S_n (متتابعة حسابية)        = n·(a_1 + a_n) / 2
a_k (متتابعة هندسية)        = a_1·r^{k-1}
S_n (متتابعة هندسية)        = a_1·(1 - r^{n}) / (1 - r)   (r ≠ 1)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!