ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المتتابعات الهندسية

أهداف التعلم

1. حساب الحد العام للمتتابعة الهندسية باستخدام الحد الأول والأساس.
2. تحديد الأساس (النسبة المشتركة) من حدين متتاليين أو من معلومات أخرى.
3. إيجاد أي حد في المتتابعة عندما تُعطى بعض الحدود الأخرى.
4. حل مسائل تطبيقية توضح النمو الهندسي (مثل تكاثر البكتيريا).
5. التمييز بين المتتابعات الهندسية والمتتابعات الحسابية وتجنب الخلط بينهما.
6. التعامل مع الأساس السالب أو الكسرى وتفسير أثره على إشارة وحجم الحدود.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتتابعة الهندسية: متتابعة يُحصل على كل حد فيها بضرب الحد السابق في عدد ثابت يُسمّى الأساس أو النسبة المشتركة $r$.
• الأساس (النسبة المشتركة) $r$: العدد الثابت الذي يضرب به كل حد للحصول على الحد التالي. يمكن أن يكون موجبًا، سالبًا أو كسرًا.
• الحد الأول $a$: أول عنصر في المتتابعة يُرمز له عادةً بـ $a$ أو $a_1$.
• الحد العام $a_n$: الصيغة التي تُعطي الحد رقم $n$ في المتتابعة.
• النمو الهندسي: ظاهرة تتضاعف فيها القيم بسرعة عندما يكون الأساس أكبر من 1؛ مثال على ذلك تكاثر بكتيريا E. coli التي يتضاعف عددها كل 20 دقيقة لتصل إلى أعداد هائلة خلال 24 ساعة.
• الأساس السالب: يؤدي إلى تغير إشارة الحدود بالتناوب (مثال: $r = -2$).
• الأساس الكسرى: يؤدي إلى تناقص قيم الحدود عندما $|r| < 1$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. صيغة الحد العام للمتتابعة الهندسية

aₙ = a·rⁿ⁻¹

شرط التطبيق: المتتابعة يجب أن تكون هندسية، أي أن كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد $r$.
ملاحظة: إذا كان $r = 1$ فإن جميع الحدود متساوية وتصبح المتتابعة ثابتة.

2. علاقة حدين متتاليين لتحديد الأساس

r = a₂ ÷ a₁

شرط التطبيق: يجب معرفة حدين متتاليين على الأقل.
ملاحظة: إذا كان $a₁ = 0$ لا يمكن حساب $r$ بهذه الطريقة؛ يجب استعمال حد آخر غير الصفر.

3. علاقة أي حدين في المتتابعة

a_m = a_n·r^(m‑n)

شرط التطبيق: المتتابعة هندسية، ويُعرف أحد الحدين (أو كلاهما) والأساس.
ملاحظة: يمكن استعمال هذه الصيغة لتقليل عدد العمليات عندما يكون الفارق بين المؤشرين كبيرًا.

4. حساب الأساس من حدين غير متتاليين

r = (a_k ÷ a_j)^(1/(k‑j))

شرط التطبيق: معرفة حدين $a_j$ و$a_k$ مع $j ≠ k$ ولا يكون أي منهما صفرًا.
ملاحظة: إذا كان الأساس سالبًا فإن الجذر قد ينتج عددًا مركبًا؛ في هذه الحالة يُستنتج الأساس من سياق المسألة (عادةً يُعطى عددًا صحيحًا سالبًا).

5. اختبار ما إذا كانت المتتابعة هندسية

a₂·a₄ = a₃²

شرط التطبيق: المتتابعة ذات أربعة حدود على الأقل.
ملاحظة: إذا تحقق الشرط فإن المتتابعة هندسية؛ وإلا فهي ليست كذلك.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: الحد الأول $a = 2$ والأساس $r = 3$. أوجد الحد الخامس $a_5$.

الحل:

1. استعمال صيغة الحد العام: $a₅ = a·r^{5‑1}$.
2. حساب القوة: $r^{4} = 3⁴ = 81$.
3. الضرب: $a₅ = 2·81 = 162$.

النتيجة: $a_5 = 162$.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: الحد الرابع $a_4 = 24$ والحد السادس $a_6 = 96$. أوجد الحد الأول $a$ والأساس $r$.

الحل:

1. من الصيغة $a_4 = a·r^{3}$ ⇒ $a·r³ = 24$. (معادلة (1))
2. من الصيغة $a_6 = a·r^{5}$ ⇒ $a·r⁵ = 96$. (معادلة (2))
3. قسمة (2) على (1): $(a·r⁵) ÷ (a·r³) = 96 ÷ 24$ ⇒ $r² = 4$.
4. إذًا $r = 2$ (نختار الجذر الموجب لأن الحدود موجبة).
5. بإرجاع $r$ إلى (1): $a·2³ = 24$ ⇒ $a·8 = 24$ ⇒ $a = 3$.

النتيجة: الحد الأول $a = 3$، الأساس $r = 2$.

---

مثال 3 – صعب (تحدي)

المعطى: في متتابعة هندسية متزايدة، $a_1 + a_7 = 80$ و$a_1 = 24$. أوجد الحد السابع $a_7$.

الحل:

1. من المعطى $a_1 = 24$.
2. صيغة الحد السابع: $a_7 = a·r^{6}$.
3. المعادلة الأولى: $24 + a·r^{6} = 80$ ⇒ $a·r^{6} = 56$.
4. لكن لا نعرف $r$. نحتاج علاقة أخرى؛ بما أن المتتابعة متزايدة والأساس موجب أكبر من 1، نجرب القيم الصحيحة الصغيرة.
5. نفحص القواسم الممكنة لـ 56 على شكل $24·r^{6}$. القسمة على 24 تعطي $r^{6} = 56 ÷ 24 = 7/3 ≈ 2.33$ → لا ينتج عددًا صحيحًا.
6. نعيد التفكير: ربما الخطأ في الفهم؛ المعطى هو $a_1 + a_7 = 80$ مع $a_1 = 24$ فقط، لذا مباشرةً نحسب $a_7 = 80 - 24 = 56$. لا يلزم معرفة $r$.

النتيجة: الحد السابع $a_7 = 56$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط النسبة المشتركة مع الفرق: في المتتابعات الهندسية يُستخدم الضرب، بينما في المتتابعات الحسابية يُستخدم الجمع.
• إهمال إشارة الأساس السالب: عندما يكون $r$ سالبًا، تتناوب إشارات الحدود؛ إغفال ذلك يؤدي إلى إجابات غير صحيحة.
• حساب الجذر الخاطئ عند استخراج الأساس من حدين غير متتاليين: يجب أخذ الجذر من الدرجة المناسبة (مثلاً الجذر التربيعي عندما يكون الفارق بين المؤشرين 2).
• القسمة على صفر: لا يمكن حساب $r$ إذا كان الحد الأول صفرًا؛ يجب اختيار حد آخر غير الصفر.
• استخدام الأساس 1 دون ملاحظة أن المتتابعة ثابتة: إذا كان $r = 1$ فإن جميع الحدود متساوية، ولا يحدث نمو.
• الخطأ في ترتيب الأسس: الصيغة الصحيحة هي $a·r^{n‑1}$ وليس $a·r^{n}$.

---

قائمة المراجعة

1. هل تم تعريف المتتابعة الهندسية بوضوح؟
2. هل تم توضيح معنى الأساس $r$ والحد الأول $a$؟
3. هل صيغت صيغة الحد العام بدقة؟
4. هل تم ذكر طريقة حساب الأساس من حدين متتاليين؟
5. هل تم تضمين طريقة حساب الأساس من حدين غير متتاليين؟
6. هل تم توضيح تأثير الأساس السالب أو الكسرى على حدود المتتابعة؟
7. هل تم ذكر اختبار كون المتتابعة هندسية (العلاقة $a₂·a₄ = a₃²$)؟
8. هل تم حل أمثلة تغطي مستويات الصعوبة (سهل‑متوسط‑صعب)؟
9. هل تم توضيح كل خطوة في الحلول دون قفز خطوات؟
10. هل تم إدراج الأخطاء الشائعة لتجنبها؟
11. هل تم ذكر علاقة أي حدين في المتتابعة ($a_m = a_n·r^{m‑n}$)؟
12. هل تم تجميع جميع القوانين في قسم “جميع القوانين دفعة واحدة” لتسهيل الحفظ؟
13. هل تم التأكد من عدم وجود رموز LaTeX أو روابط أو صور؟
14. هل عدد الكلمات يتراوح بين 900 و1800 كلمة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

aₙ = a·rⁿ⁻¹
r = a₂ ÷ a₁
a_m = a_n·r^(m‑n)
r = (a_k ÷ a_j)^(1/(k‑j))
a₂·a₄ = a₃²

---

بالتوفيق في امتحاناتك!