ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المتتابعات الحسابية

أهداف التعلم

1. تعريف المتتابعة وتحديد حدودها وأسلوب ترقيمها.
2. استخراج الحدّ العام (الصيغة العامة) لأي متتابعة من خلال ملاحظة النمط.
3. تعريف المتتابعة الحسابية وتحديد الفرق المشترك $d$.
4. كتابة صيغة الحدّ العام للمتتابعة الحسابية $a_n = a_1 + (n-1)d$.
5. استعمال الصيغة العامة لإيجاد حدود معينة (مثل الحدّ الثالث أو العشرين).
6. التمييز بين المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة أو المتتابعات الكسرية وتطبيق القواعد المناسبة لاشتقاق حدها العام.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتتابعة (Sequence): قائمة مرتبة من الأعداد تُكتب على شكل صف، كل عدد يُسمّى حدًّا.
• الحدّ الأول: يُرمز له بـ $a_1$.
• الحدّ الثاني، الثالث … الحدّ الـ$n$: يُرمز له بـ $a_2, a_3, \dots , a_n$.
• الحدّ العام (General Term): تعبير جبري يربط الحدّ $a_n$ بالرقم $n$. عندما يُستبدل $n$ بـ $1,2,3,\dots$ نحصل على حدود المتتابعة. مثال: $a_n = -2n + 7$.
• المتتابعة الحسابية (Arithmetic Sequence): متتابعة يُحصل على كل حدّ فيها بإضافة عدد ثابت يُسمّى الفرق المشترك $d$ إلى الحدّ السابق.
• الفرق المشترك $d$: العدد الثابت الذي يُضاف لكل حد للحصول على الحدّ التالي. إذا كان $a_{k+1} - a_k = d$ لجميع $k$ فإن المتتابعة حسابية.
• الصيغة العامة للمتتابعة الحسابية:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

حيث $a_1$ هو الحدّ الأول و$d$ هو الفرق المشترك.

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف المتتابعة العامة

a_n = تعبير بدلالة n

شرط التطبيق: يجب أن يكون التعبير يحدد قيمة كل حد عندما يُستبدل n بأعداد صحيحة موجبة متتالية.
ملاحظة: إذا كان التعبير غير واضح (مثلاً يحتوي على جذر أو كسر)، يلزم فحص نمط البسط والمقام أو الإشارة بصورة منفصلة.

قاعدة المتتابعة الحسابية

a_n = a_1 + (n-1)d

شرط التطبيق: المتتابعة يجب أن تكون ذات فرق ثابت بين حدين متتاليين.
ملاحظة: إذا كان الفرق سالبًا فإن المتتابعة تتناقص؛ إذا كان صفرًا فإن جميع الحدود متساوية.

استخراج الفرق المشترك من المتتابعة

d = a_{k+1} - a_k   (لأي k)

شرط التطبيق: يجب معرفة حدين متتاليين على الأقل.
ملاحظة: في المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة قد يكون الفرق المشترك سالبًا أو موجبًا حسب اتجاه التناوب.

صيغة المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة

a_n = (-1)^{n-1} × (قيمة عددية)

شرط التطبيق: الإشارة تتناوب بانتظام، والقيمة العددية تُحدّد بنمط ثابت (مثلاً $2n$).
ملاحظة: إذا كان الحدّ الأول سالبًا فإن الصيغة تصبح $(-1)^n$ بدلاً من $(-1)^{n-1}$.

صيغة المتتابعات الكسرية (مثال من النص)

$$a_n = \frac{n}{2n-1}$$

شرط التطبيق: يجب أن يكون نمط البسط هو $n$ والنمط للمقام هو $2n-1$.
ملاحظة: تحقق من صحة الصيغة بتعويض أول ثلاثة قيم لـ$n$ ومقارنة النتائج مع المتتابعة المعطاة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: إذا كان الحدّ العام للمتتابعة هو $a_n = -2n + 7$، أوجد الحدّ الأول، الثاني، والثالث.

الحل:

1. نعوّض $n = 1$: $a_1 = -2(1) + 7 = 5$.
2. نعوّض $n = 2$: $a_2 = -2(2) + 7 = 3$.
3. نعوّض $n = 3$: $a_3 = -2(3) + 7 = 1$.

النتيجة: المتتابعة تبدأ بـ $5, 3, 1, \dots$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: استنتج الحدّ العام للمتتابعة التالية: $2, -4, 6, -8, \dots$ ثم احسب الحدّ العاشر.

الحل:

1. نلاحظ أن القيم المطلقة تتبع النمط $2n$ (حيث $n = 1,2,3,\dots$).
2. الإشارة تتناوب، والحدّ الأول موجب، لذا نستخدم $(-1)^{n-1}$.
3. الصيغة العامة تصبح:

$$a_n = (-1)^{,n-1} \times 2n$$

4. لحساب الحدّ العاشر ($n = 10$):

$$a_{10} = (-1)^{9} \times 2 \times 10 = (-1) \times 20 = -20$$

النتيجة: الحدّ العام هو $a_n = (-1)^{n-1} 2n$ والحدّ العاشر يساوي $-20$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: المتتابعة الحسابية لها الحدّ الأول $a_1 = 8$ والفرق المشترك $d = -6$.
أ) اكتب الصيغة العامة.
ب) احسب الحدّ العشرين.

الحل:

1. باستخدام قاعدة المتتابعة الحسابية:

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 8 + (n-1)(-6)$$

2. نبسط الصيغة:

$$a_n = 8 - 6(n-1) = 8 - 6n + 6 = 14 - 6n$$

3. لحساب الحدّ العشرين ($n = 20$):

$$a_{20} = 14 - 6 \times 20 = 14 - 120 = -106$$

النتيجة: الصيغة العامة هي $a_n = 14 - 6n$ والحدّ العشرين يساوي $-106$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خطأ 1: إهمال أن الفرق المشترك يُضرب في $(n-1)$ وليس في $n$. يؤدي ذلك إلى قيمة حدّ غير صحيحة.
• خطأ 2: الخلط بين الحدّ الأول $a_1$ والحدّ الصفري $a_0$. في المنهج المصري لا يُستعمل الحدّ الصفري إلا إذا عُرّف صراحةً.
• خطأ 3: في المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة ننسى تعديل القوة في $(-1)^{n-1}$ عندما يكون الحدّ الأول سالبًا.
• خطأ 4: عند استخراج الصيغة للمتتابعات الكسرية نغفل أن البسط قد يتبع نمطًا مختلفًا عن المقام؛ يجب فحص كل منهما على حدة.
• خطأ 5: اعتبار أي متتابعة حسابية إذا كان الفرق بين حدين غير متتاليين ثابتًا؛ يجب أن يكون الفرق ثابتًا بين كل حدين متتاليين.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت ما هي المتتابعة وما هو الحدّ الأول؟
2. هل حدّدت الفرق المشترك $d$ إذا كانت المتتابعة حسابية؟
3. هل كتبت الصيغة العامة للمتتابعة بدلالة $n$؟
4. هل تحقق من صحة الصيغة بتعويض القيم $n = 1,2,3$ ومقارنة النتائج مع الحدود المعطاة؟
5. في المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة: هل استخدمت $(-1)^{n-1}$ أو $(-1)^n$ حسب إشارة الحدّ الأول؟
6. في المتتابعات الكسرية: هل حددت نمط البسط والمقام بصورة منفصلة؟
7. هل استبدلت $n$ بالقيمة المطلوبة (مثلاً 10 أو 20) لحساب الحدّ المطلوب؟
8. هل راجعت حساب الفرق المشترك إذا كان غير واضح من البداية؟
9. هل تأكدت من أن الفرق المشترك ثابت عبر جميع الحدود المتتالية؟
10. هل استخدمت الصيغة العامة للمتتابعة الحسابية فقط عندما يكون الفرق ثابتًا؟
11. هل كتبت جميع الخطوات بوضوح لتجنب الأخطاء الحسابية؟
12. هل راجعت النتيجة النهائية للتأكد من عدم وجود إشارة خاطئة أو قيمة غير منطقية؟
13. هل حفظت الصيغ الأساسية للمتتابعات الحسابية لتسريع الحل في الامتحان؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

a_n = تعبير بدلالة n                     // الحدّ العام لأي متتابعة
d   = a_{k+1} - a_k                       // الفرق المشترك للمتتابعة الحسابية
a_n = a_1 + (n-1)d                        // الصيغة العامة للمتتابعة الحسابية
a_n = (-1)^{n-1} × (قيمة عددية)          // المتتابعات ذات الإشارات المتناوبة
a_n = n / (2n-1)                          // مثال على المتتابعة الكسرية

---

بالتوفيق في امتحاناتك!