باختصار
«المتباينات» (الفصل 5) من منهج الرياضيات للصف الثاني الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- فهم مفهوم المتباينة وتحديد متى تكون المتباينة صحيحة أو خاطئة.
- إتقان طريقة إثبات المتباينات عبر حساب الفرق $LHS - RHS$ وإظهار إيجابيته.
- استخدام تحويل الشرط إلى فرق (مثلاً $a>b \Rightarrow a-b>0$) في البراهين.
- تطبيق قاعدة إكمال المربع لإثبات متباينات على جميع الأعداد الحقيقية.
- استعمال قاعدة الضرب الإيجابي ($a>0,,b>0 \Rightarrow ab>0$).
- التعرف على متباينات خاصة مثل متباينة المتوسط الحسابي‑المتوسط الهندسي (AM‑GM) ومتباينة إعادة الترتيب.
المفاهيم والتعريفات الرياضية
| المصطلح | التعريف |
|---|---|
| متباينة | علاقة بين عددين أو تعبيرين رياضيين تُظهر أن أحدهما أكبر أو أصغر من الآخر ( $>$، $<$، $\ge$، $\le$ ). |
| الطرف الأيسر (LHS) | التعبير الموجود على يسار علامة المتباينة. |
| الطرف الأيمن (RHS) | التعبير الموجود على يمين علامة المتباينة. |
| إثبات المتباينة | إظهار أن الفرق $LHS - RHS$ موجب (أو سالب) باستخدام خصائص الأعداد. |
| شرط المساواة | الحالة التي يصبح فيها الفرق صفرًا؛ تُذكر لتحديد متى تتحقق المتباينة كـ “$=$”. |
| متباينة AM‑GM | قانون عالمي يربط المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي للأعداد الموجبة: $\displaystyle \frac{a_1+\dots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$. |
| متباينة إعادة الترتيب | إذا كان $a>b>c>0$ و$x>y>z>0$ فإن $\displaystyle ax+by+cz > ay+bz+cx$. |
القوانين والنظريات والقواعد
قاعدة الفرق الإيجابي
إذا كان LHS - RHS > 0 فإن LHS > RHS.
شرط التطبيق: يجب حساب الفرق بدقة وإظهار أنه موجب.
ملاحظة: يمكن استعمال عوامل مشتركة لتبسيط الفرق.
قاعدة تحويل الشرط إلى فرق
إذا كان a > b فإن a - b > 0.
شرط التطبيق: الشرط الأصلي يجب أن يكون واضحًا.
ملاحظة: تُستَخدم هذه القاعدة لتضمين الشرط داخل البرهان.
قاعدة الضرب الإيجابي
إذا كان a > 0 و b > 0 فإن a·b > 0.
شرط التطبيق: كلا العاملين يجب أن يكونا موجبين.
ملاحظة: تُستَخدم عندما يُظهر الفرق عوامل من الشكل (a‑b)(x‑y).
قاعدة إكمال المربع
a² + 4b² - 4ab = (a - 2b)² ≥ 0.
شرط التطبيق: تُستَخدم لتبيان أن مجموع مربعات عددين غير سالب.
ملاحظة: المساواة تتحقق عندما يكون (a‑2b)=0 أي a = 2b.
قاعدة إكمال المربع للمتباينات ذات متغيرين
x² + y² - 2(x - y - 1) = (x-1)² + (y+1)² ≥ 0.
شرط التطبيق: المتباينة تُطبق على جميع القيم الحقيقية لـ x و y.
ملاحظة: المساواة تتحقق عندما x = 1 و y = -1.
قاعدة إعادة الترتيب (Rearrangement)
إذا كان a > b > c > 0 و x > y > z > 0 فإن
ax + by + cz > ay + bz + cx.
شرط التطبيق: جميع المتغيرات موجبة ومتسلسلة ترتيبًا تنازليًا.
ملاحظة: تُظهر أن الترتيب المتطابق للمتسلسلات يعطي أكبر مجموع.
أمثلة محلولة
مثال 1 – سهل
المطلوب: إذا كان $a > b$ و$x > y$ أثبت أن
$2(ax + by) > (a + b)(x + y)$.
الحل:
- اكتب الفرق:
$$LHS - RHS = 2(ax + by) - (a+b)(x+y)$$
- بسط الطرف الأيمن:
$$= 2ax + 2by - ax - ay - bx - by = a(x-y) - b(x-y) = (a-b)(x-y)$$
- بما أن $a>b$ فإن $a-b>0$ وبما أن $x>y$ فإن $x-y>0$.
- حاصل ضرب عددين موجبين موجب: $(a-b)(x-y) > 0$.
- إذًا $LHS - RHS > 0$ ⇒ $2(ax+by) > (a+b)(x+y)$.
مثال 2 – متوسط
المطلوب: إذا كان $x > 3$ و$y > -5$ أثبت أن
$xy + 5x > 3y + 15$.
الحل:
- فرق الطرفين:
$$LHS - RHS = xy + 5x - 3y - 15$$
- جمع الحدود المتشابهة:
$$= x(y+5) - 3(y+5) = (x-3)(y+5)$$
- من الشرط $x>3$ ⇒ $x-3>0$؛ ومن الشرط $y>-5$ ⇒ $y+5>0$.
- إذًا $(x-3)(y+5) > 0$ ⇒ الفرق موجب.
- النتيجة: $xy + 5x > 3y + 15$.
مثال 3 – صعب (إعادة ترتيب)
المطلوب: إذا كان $a > b > c > 0$ و$x > y > z > 0$ أثبت أن
$ax + by + cz > ay + bz + cx$.
الحل:
- اكتب الفرق:
$$LHS - RHS = (ax + by + cz) - (ay + bz + cx) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x)$$
- أعد تجميع الحدود:
$$= (a-b)(x-y) + (b-c)(y-z)$$
(لأن $c(z-x) = -c(x-z) = -c[(x-y)+(y-z)]$ ثم جمع مع الحدود السابقة).
3. بما أن $a>b>c$ ⇒ $a-b>0$ و$b-c>0$.
كذلك $x>y>z$ ⇒ $x-y>0$ و$y-z>0$.
4. حاصل جمع حاصلين موجبين موجب: $(a-b)(x-y) + (b-c)(y-z) > 0$.
5. إذًا الفرق موجب ⇒ المتباينة صحيحة.
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- خلط إشارة الفرق: كتابة $LHS - RHS < 0$ بدلاً من $>0$ يؤدي إلى استنتاج عكسي.
- إهمال شرط المساواة: عند إكمال المربع يجب ذكر متى يصبح الفرق صفرًا؛ عدم ذلك يترك الطالب غير واضح حول حالة التساوي.
- عدم استخراج العامل المشترك: في كثير من المتباينات (مثل المثال 2) يلزم استخراج $(x-3)(y+5)$؛ إهمال ذلك يجعل البرهان غير مختصر وربما غير صحيح.
- استخدام قاعدة الضرب الإيجابي على أعداد غير موجبة: يجب التأكد من إشارة كل عامل قبل تطبيق القاعدة.
- خلط ترتيب المتسلسلات في قاعدة إعادة الترتيب: إذا كان أحد المتسلسلات غير مرتبة تنازليًا فإن النتيجة قد تنقلب.
قائمة المراجعة
- هل عرفت المتباينة المطلوبة ($>$ أو $<$ أو $\ge$ أو $\le$)؟
- هل كتبت الفرق $LHS - RHS$ بصورة صحيحة؟
- هل بسطت الفرق إلى عوامل مشتركة أو إلى شكل مربع كامل؟
- هل حولت جميع الشروط إلى فروق موجبة (مثلاً $a>b \Rightarrow a-b>0$)؟
- هل استخدمت قاعدة الضرب الإيجابي عندما يكون كلا العاملين موجبًا؟
- هل تحققت من شرط المساواة (متى يصبح الفرق صفرًا)؟
- هل استُخدمت قاعدة إكمال المربع عندما تكون المتباينة على جميع الأعداد الحقيقية؟
- هل تأكدت من ترتيب المتسلسلات في قاعدة إعادة الترتيب؟
- هل راجعت كل خطوة لتجنب الأخطاء الحسابية؟
- هل استخدمت الرموز الرياضية وفقًا للمعايير (Unicode أو LaTeX حسب التعقيد)؟
- هل كتبت النتيجة النهائية بوضوح (مثلاً $LHS > RHS$)؟
- هل أعدت كتابة الشرط الأصلي إذا كان مطلوبًا في البرهان؟
جميع القوانين دفعة واحدة
1. إذا كان LHS - RHS > 0 فإن LHS > RHS.
2. إذا كان a > b فإن a - b > 0.
3. إذا كان a > 0 و b > 0 فإن a·b > 0.
4. a² + 4b² - 4ab = (a - 2b)² ≥ 0 (المساواة عندما a = 2b)
5. x² + y² - 2(x - y - 1) = (x-1)² + (y+1)² ≥ 0 (المساواة عندما x = 1, y = -1)
6. (a+b)/n ≥ √[n]{a·b·…·} (متباينة AM‑GM للأعداد الموجبة)
7. إذا كان a > b > c > 0 و x > y > z > 0 فإن ax + by + cz > ay + bz + cx.
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.