ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المتطابقات والبراهين

أهداف التعلم

1. تمييز المتطابقة عن المعادلة وفهم تعريف المتطابقة في المتغيّر س.
2. معرفة طريقة ترتيب الحدود حسب قوى س ومقارنة المعاملات لتحديد قيم الثوابت.
3. إتقان مسح المقامات في المتطابقات التي تحتوي على كسور نسبية.
4. تطبيق طريقة حل نظام المعادلات المتزامنة لإيجاد قيم الثوابت أ، ب، ج.
5. إثبات المتطابقات عن طريق تبسيط الطرف الأيمن (RHS) والطرف الأيسر (LHS) حتى يتطابقا.
6. تجنّب الأخطاء الشائعة في التعامل مع المتطابقات وتحديد الحالات الخاصة التي تستدعي اعتبار معامل الصفر.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتطابقة: مساواة صحيحة لكل قيمة يُستبدل بها المتغيّر س. مثال: ax² + bx + c = a' x² + b' x + c' تُعدّ متطابقة في س إذا كان معامل كل حد من نفس الدرجة متساوٍ على الطرفين.
• معامل الحد: الرقم الضارب في المتغيّر أو في قوته. في المتطابقة يجب أن تكون معاملات الحدود ذات الدرجة المتساوية متساوية.
• الدرجة: أعلى قوة للمتغيّر تظهر في الحد. تُرتّب الحدود تنازليًا حسب الدرجة قبل المقارنة.
• المقامات: في المتطابقات التي تشمل كسور نسبية يُستحسن مسح المقامات بضرب الطرفين في حاصل ضرب المقامات.
• نظام المعادلات المتزامنة: مجموعة من المعادلات تُستخرج من مقارنة المعاملات، تُحل لإيجاد قيم الثوابت المطلوبة.
• إثبات المتطابقة: عملية تبسيط كل من LHS وRHS بصورة منفصلة حتى يصبحا تعبيرًا واحدًا، مما يثبت أن المتطابقة صحيحة لكل قيم س.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة 1 – تعريف المتطابقة

إذا كان التعبيران يساويان لبعضهما لكل قيمة من قيم المتغيّر، فهما متطابقان.

شرط التطبيق: يجب أن تكون المتغيّر نفسه هو س في كلا الطرفين.
ملاحظة: لا يُطلب حل المتغيّر، وإنما إثبات التساوي البنيوي.

قاعدة 2 – ترتيب الحدود حسب القوى

رتّب كل تعبير في صورة حدود من أعلى درجة إلى أدنى درجة.

شرط التطبيق: يُطبّق على أي تعبير جبرى قبل مقارنة المعاملات.
ملاحظة: إذا غاب حد من درجة معينة، يُعامل معامل ذلك الحد كصفر.

قاعدة 3 – مقارنة المعاملات

بعد الترتيب، قارن معاملات الحدود ذات الدرجة المتساوية على الطرفين.

شرط التطبيق: يجب أن تكون المتطابقة مكتوبة بصيغة مجموع حدود فقط (بدون أقواس غير مُفككة).
ملاحظة: ينتج عن المقارنة نظام معادلات يُحل لإيجاد الثوابت.

قاعدة 4 – مسح المقامات في المتطابقات النسبية

اضرب الطرفين في حاصل ضرب جميع المقامات لتصبح المتطابقة خالية من الكسور.

شرط التطبيق: تُستعمل عندما يحتوي أحد الطرفين على كسر يحتوي على س في المقام.
ملاحظة: بعد المسح يُعاد ترتيب الحدود وتُقارن المعاملات كالمعتاد.

قاعدة 5 – حل نظام المعادلات المتزامنة

استخدم التعويض أو الحذف أو طريقة المصفوفات لحل القيم المطلوبة للثوابت.

شرط التطبيق: يجب أن يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد الثوابت غير المعروفة.
ملاحظة: إذا حصلت على معادلة متناقضة، فالمتطابقة غير صحيحة.

قاعدة 6 – إثبات المتطابقة بتبسيط الطرفين

بسط LHS حتى لا يبقى فيه سوى تعبير بسيط، ثم بسط RHS بنفس الطريقة؛ إذا تطابق التعبيران، تُثبت المتطابقة.

شرط التطبيق: لا يُسمح بإدخال قيم عددية للمتغيّر؛ يبقى التبسيط رمزيًا.
ملاحظة: يمكن استعمال خاصية توزيع الضرب على الجمع، وتطبيق صيغ المربعات الكاملة، والهوية (a+b)² - (a-b)² = 4ab.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: أوجد قيم الثوابت أ، ب، ج بحيث تكون
س² + 6 = أ(س + 1)² + ب(س + 1) + ج.

الحل:

1. فرّغ الطرف الأيمن: أ(س² + 2س + 1) + بس + ب + ج = أس² + (2أ + ب)س + (أ + ب + ج).
2. قارن المعاملات مع الطرف الأيسر س² + 0·س + 6:
   • 1 = أ
   • 0 = 2أ + ب
   • 6 = أ + ب + ج
3. حلّ النظام: من المعادلة الأولى أ = 1.
   من الثانية ب = -2.
   من الثالثة ج = 7.

النتيجة: أ = 1 ، ب = -2 ، ج = 7.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: أوجد أ وب بحيث تكون
\frac{3س + 1}{(س + 2)(س - 3)} = \frac{أ}{س + 2} + \frac{ب}{س - 3}.

الحل:

1. مسح المقامات بضرب الطرفين في (س + 2)(س - 3):
   3س + 1 = أ(س - 3) + ب(س + 2).
2. فرّغ الطرف الأيمن: أس - 3أ + بس + 2ب = (أ + ب)س + (-3أ + 2ب).
3. قارن المعاملات مع الطرف الأيسر 3س + 1:
   • 3 = أ + ب
   • 1 = -3أ + 2ب
4. حلّ النظام: من الأولى ب = 3 - أ. ضعها في الثانية:
   1 = -3أ + 2(3 - أ) = -3أ + 6 - 2أ = 6 - 5أ.
   إذًا 5أ = 5 → أ = 1. ثم ب = 2.

النتيجة: أ = 1 ، ب = 2.

---

مثال 3 – صعب (متطابقة جزئية مع كسرين جزئيين)

المطلوب: فُكّ التعبير
هـ(ن) = (22ن + 15) / (8ن² + 10ن + 3) إلى كسرين جزئيين من الشكل \frac{أ}{2ن + 1} + \frac{ب}{4ن + 3}.

الحل:

1. افترض أن
   (22ن + 15) / (8ن² + 10ن + 3) = أ/(2ن + 1) + ب/(4ن + 3).
2. مسح المقامات بضرب الطرفين في (2ن + 1)(4ن + 3):
   22ن + 15 = أ(4ن + 3) + ب(2ن + 1).
3. فرّغ الطرف الأيمن: 4أن + 3أ + 2بن + ب = (4أ + 2ب)ن + (3أ + ب).
4. قارن المعاملات مع الطرف الأيسر 22ن + 15:
   • 22 = 4أ + 2ب
   • 15 = 3أ + ب
5. حلّ النظام: من المعادلة الثانية ب = 15 - 3أ. ضعها في الأولى:
   22 = 4أ + 2(15 - 3أ) = 4أ + 30 - 6أ = 30 - 2أ.
   إذًا 2أ = 8 → أ = 4. ثم ب = 15 - 3·4 = 3.

النتيجة: أ = 4 ، ب = 3، وبالتالي
هـ(ن) = 4/(2ن + 1) + 3/(4ن + 3).

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إهمال ترتيب الحدود: إذا لم تُرتّب الحدود تنازليًا، قد تُقارن معاملات غير متطابقة وتُحصل على نظام غير صحيح.
• اعتبار معامل غير موجود كصفر: عند غياب حد من درجة معينة، يجب أن يُعامل معامل ذلك الحد كصفر؛ إغفال ذلك يؤدي إلى نقص معادلة في النظام.
• مسح المقامات بشكل غير كامل: يجب ضرب الطرفين في جميع المقامات مرة واحدة؛ إذا نُسيت أحد المقامات يبقى كسر في الطرف ويُعقّد المقارنة.
• خلط المتطابقة مع المعادلة: المتطابقة لا تتطلب إيجاد قيمة للمتغيّر، بل إثبات التساوي لكل القيم؛ محاولة حل المتغيّر يخلّ بالهدف.
• إدخال قيم عددية للمتغيّر أثناء البرهان: البرهان يجب أن يبقى رمزيًا؛ اختيار قيمة معينة لا يثبت المتطابقة عامة.
• خطأ في إشارة المعاملات: عند توسيع الأقواس، انتبه إلى إشارة كل حد (مثلاً -3أ في مثال الكسر الجزئي).

---

قائمة المراجعة

1. هل تم تعريف المتطابقة بوضوح؟
2. هل رُتّبت جميع الحدود حسب القوى من الأعلى إلى الأدنى؟
3. هل تم تحويل جميع الكسور إلى صيغة خالية من المقامات؟
4. هل عُولِجت الحدود الغائبة باعتبار معاملها صفرًا؟
5. هل تم استخراج نظام المعادلات من مقارنة المعاملات؟
6. هل عدد المعادلات يساوي عدد الثوابت غير المعروفة؟
7. هل تم حل النظام بدقة (تعويض أو حذف)؟
8. هل تم التحقق من صحة القيم المستخرجة بإرجاعها إلى المتطابقة الأصلية؟
9. هل تم تبسيط كل من LHS وRHS خطوة بخطوة في برهان المتطابقة؟
10. هل استُخدمت خاصية التوزيع أو صيغ المربعات الكاملة عند الحاجة؟
11. هل تم تجنّب إدخال قيم عددية للمتغيّر أثناء البرهان؟
12. هل تم مراجعة الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

1. تعريف المتطابقة: مساواة صحيحة لكل قيمة للمتغيّر.
2. ترتيب الحدود: من أعلى درجة إلى أدنى درجة.
3. مقارنة المعاملات: معامل كل درجة يجب أن يتساوى على الطرفين.
4. مسح المقامات: اضرب الطرفين في حاصل ضرب جميع المقامات.
5. معامل الحد الغائب = 0.
6. حل نظام المعادلات المتزامنة لإيجاد الثوابت.
7. إثبات المتطابقة: بسط LHS وRHS حتى يتطابقا.
8. (a+b)² - (a-b)² = 4ab  (هوية مفيدة في البرهان).
9. (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)²  (هوية ضرب مجموعين من المربعات).

بالتوفيق في امتحاناتك!