ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول المقادير النسبية

أهداف التعلم

1. فهم مفهوم المقادير النسبية وتمييزها عن الكسور العددية.
2. إجراء عمليات الضرب والقسمة على المقادير النسبية بصورة صحيحة.
3. إيجاد المقام المشترك وإجراء الجمع والطرح بين مقادير نسبية ذات مقامات مختلفة.
4. اختزال المقادير النسبية وتحديد ما إذا كانت غير قابلة للاختصار (غير قابلة للاختزال).
5. استخدام التحليل إلى عوامل لتبسيط المقادير النسبية قبل الاختزال أو الجمع.
6. التعرف على الأخطاء الشائعة وتجنّبها أثناء التعامل مع المقادير النسبية.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قاعدة الاختصار

إذا كان (P/Q) = (P ÷ g) / (Q ÷ g) حيث g هو العامل المشترك الأكبر بين P و Q.

شرط التطبيق: يجب أن يكون $g$ عاملاً مشتركاً غير ثابت.
ملاحظة: بعد الاختصار يجب التحقق من عدم وجود عوامل أخرى يمكن اختصارها مرة أخرى.

2. قاعدة الضرب في المقادير النسبية

(P/Q) × (R/S) = (P·R) / (Q·S)

شرط التطبيق: لا يلزم وجود مقامات متساوية؛ يُضرب البسطين معاً والمقامين معاً مباشرةً.
ملاحظة: يفضَّل تحليل كل من $P, Q, R, S$ إلى عوامل قبل الضرب لتسهيل الاختصار لاحقاً.

3. قاعدة القسمة في المقادير النسبية

(P/Q) ÷ (R/S) = (P/Q) × (S/R) = (P·S) / (Q·R)

شرط التطبيق: يجب أن يكون المقسوم عليه غير صفر.
ملاحظة: بعد الضرب بالمقلوب يُستَخدم نفس قاعدة الاختصار لتبسيط النتيجة.

4. قاعدة إيجاد المقام المشترك للجمع أو الطرح

لجمع (P1/Q1) + (P2/Q2) → المقام المشترك = LCM(Q1, Q2)  
نكتب: (P1·(LCM/Q1) + P2·(LCM/Q2)) / LCM

شرط التطبيق: يجب أولاً تحليل Q1 و Q2 إلى عوامل لتحديد الـ LCM (أصغر مضاعف مشترك).
ملاحظة: لا يُوسّع المقام بعد إيجاد الـ LCM؛ يبقى على صورة حاصل ضرب العوامل.

5. قاعدة الجمع والطرح بعد توحيد المقام

(P1/Q) ± (P2/Q) = (P1 ± P2) / Q

شرط التطبيق: يجب أن يكون المقام موحداً تماماً بين الحدين.
ملاحظة: بعد الجمع أو الطرح يُفحص الناتج إذا كان قابلاً للاختصار.

6. قاعدة التحليل إلى عوامل لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية

ax² + bx + c = (mx + n)(px + q)   حيث m·p = a ، n·q = c ، m·q + n·p = b

شرط التطبيق: يجب أن تكون القيم صحيحة أو قابلة للتقسيم بسهولة.
ملاحظة: تُستَخدم هذه القاعدة كثيراً لاختصار المقادير النسبية وإيجاد المقام المشترك.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: بسط $\displaystyle \frac{12أب^{5}}{9أ^{3}ب^{2}}$.

الحل:

1. تحليل الأعداد: $12 = 3·4$ ، $9 = 3·3$.
2. اختصار العامل المشترك $3أ^{3}ب^{2}$:

$$\frac{12أب^{5}}{9أ^{3}ب^{2}} = \frac{(3·4)أب^{5}}{(3·3)أ^{3}ب^{2}} = \frac{4ب^{3}}{3أ^{2}}.$$

النتيجة: $\displaystyle \frac{4ب^{3}}{3أ^{2}}$.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: احسب $\displaystyle \frac{س^{2}-4س-5}{2س^{2}+5س+2} \div \frac{س^{2}-س-20}{2س^{2}-5س-3}$.

الحل:

1. تحويل القسمة إلى ضرب بالمقلوب:

$$\frac{س^{2}-4س-5}{2س^{2}+5س+2} \times \frac{2س^{2}-5س-3}{س^{2}-س-20}.$$

2. تحليل كل كثير حدود إلى عوامل:

$$\begin{aligned} س^{2}-4س-5 &= (س+1)(س-5),\ 2س^{2}+5س+2 &= (2س+1)(س+2),\ س^{2}-س-20 &= (س-5)(س+4),\ 2س^{2}-5س-3 &= (2س+1)(س-3). \end{aligned}$$

3. استبدال التحليلات في العبارة:

$$\frac{(س+1)(س-5)}{(2س+1)(س+2)} \times \frac{(2س+1)(س-3)}{(س-5)(س+4)}.$$

4. إلغاء العوامل المشتركة $(س-5)$ و $(2س+1)$ (دون فك الأقواس):

$$\frac{(س+1)(س-3)}{(س+2)(س+4)}.$$

النتيجة: $\displaystyle \frac{(س+1)(س-3)}{(س+2)(س+4)}$.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: إذا كان $س = \sqrt{123}$ احسب

$$\frac{س^{3}+8}{س^{2}-س-6} \times \frac{س^{2}-6س+9}{س^{2}-2س+4} \div \frac{2س-6}{س^{5}-1}.$$

الحل:

1. تحويل القسمة إلى ضرب بالمقلوب:

$$\frac{س^{3}+8}{س^{2}-س-6} \times \frac{س^{2}-6س+9}{س^{2}-2س+4} \times \frac{s^{5}-1}{2س-6}.$$

2. تحليل كل تعبير جبري (ملاحظة أن $س$ غير عدد صحيح، لكن التحليل يبقى صيغياً):

$$\begin{aligned} س^{3}+8 &= (س+2)(س^{2}-2س+4),\ س^{2}-س-6 &= (س-3)(س+2),\ س^{2}-6س+9 &= (س-3)^{2},\ س^{2}-2س+4 &= \text{غير قابل للتحليل إلى عوامل صحيحة},\ s^{5}-1 &= (س-1)(س^{4}+س^{3}+س^{2}+س+1),\ 2س-6 &= 2(s-3). \end{aligned}$$

3. استبدال التحليلات وإلغاء العوامل المشتركة:

$$\frac{(س+2)(س^{2}-2س+4)}{(س-3)(س+2)} \times \frac{(س-3)^{2}}{س^{2}-2س+4} \times \frac{(س-1)(س^{4}+س^{3}+س^{2}+س+1)}{2(s-3)}.$$

إلغاء $(س+2)$، $(س^{2}-2س+4)$ و أحد $(س-3)$ يعطي:

$$\frac{(س-3)}{1} \times \frac{(س-1)(س^{4}+س^{3}+س^{2}+س+1)}{2(s-3)} = \frac{(س-1)(س^{4}+س^{3}+س^{2}+س+1)}{2}.$$

4. استبدال $س = \sqrt{123}$ (القيمة عددية غير ضرورية للخطوات الجبرية).

النتيجة النهائية: $\displaystyle \frac{(\sqrt{123}-1)\bigl(\sqrt{123}^{4}+\sqrt{123}^{3}+\sqrt{123}^{2}+\sqrt{123}+1\bigr)}{2}$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خطأ 1: شطب المتغيّرات أو الأعداد المتطابقة في البسط والمقام عندما تكون بينها إشارة جمع أو طرح. القاعدة تسمح بالاختصار فقط إذا كان العامل المشترك مضروباً في كل من البسط والمقام دون أي إشارة أخرى.
• خطأ 2: عدم تحليل المقامات إلى عوامل قبل البحث عن المقام المشترك؛ يؤدي ذلك إلى اختيار مقام غير أصغر ويصعب الاختصار.
• خطأ 3: توسيع المقام بعد إيجاد المقام المشترك؛ يجب ترك المقام على صورة حاصل ضرب العوامل لتسهيل الاختصار لاحقاً.
• خطأ 4: نسيان تحويل القسمة إلى ضرب بالمقلوب قبل المتابعة.
• خطأ 5: إلغاء عوامل غير مشتركة بسبب خطأ في ترتيب الأقواس؛ يجب الحفاظ على بنية العوامل وعدم فك الأقواس قبل الإلغاء.

---

قائمة المراجعة

1. هل تم تعريف كل مقدار نسبي بوضوح؟
2. هل تم تحليل كل كثير حدود إلى عوامل قبل أي عملية؟
3. هل تم إيجاد العامل المشترك الأكبر بين البسط والمقام للاختصار؟
4. هل تم تحويل القسمة إلى ضرب بالمقلوب قبل المتابعة؟
5. هل تم اختيار المقام المشترك الأصغر (LCM) عند الجمع أو الطرح؟
6. هل تم توحيد المقامات قبل جمع أو طرح البسطين؟
7. هل تم إلغاء جميع العوامل المشتركة بعد الضرب أو القسمة؟
8. هل تم فحص النتيجة النهائية إذا كانت قابلة للاختصار مرة أخرى؟
9. هل تم تجنّب شطب المتغيّرات التي تفصلها إشارة جمع أو طرح؟
10. هل تم الحفاظ على ترتيب الأقواس عند إلغاء العوامل؟
11. هل تم كتابة النتيجة النهائية بصيغة غير موسعة (بدون توسيع المقام)؟
12. هل تم التحقق من أن المقام غير صفر قبل أي عملية؟
13. هل تم مراجعة الخطوات للعثور على أي أخطاء حسابية أو إملائية؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

اختصار: (P/Q) = (P ÷ g) / (Q ÷ g)   حيث g = العامل المشترك الأكبر
ضرب: (P/Q) × (R/S) = (P·R) / (Q·S)
قسمة: (P/Q) ÷ (R/S) = (P·S) / (Q·R)
مقام مشترك: LCM(Q1, Q2) = أصغر مضاعف مشترك بعد تحليل العوامل
جمع/طرح بعد توحيد المقام: (P1/Q) ± (P2/Q) = (P1 ± P2) / Q
تحليل (ax²+bx+c): = (mx+n)(px+q)   مع m·p = a ، n·q = c ، m·q + n·p = b

---

بالتوفيق في امتحاناتك!