ملخص رياضيات تانية ثانوي الترم الأول: قسمة كثيرات الحدود

باختصار

«قسمة كثيرات الحدود» (الفصل 2) من منهج الرياضيات للصف الثاني الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.

أهداف التعلم

إجراء قسمة كثيرات الحدود باستخدام الخوارزمية المعتادة (القسمة الطويلة).
تمييز ناتج القسمة (المقسوم عليه) والباقي وتحديد درجتهما.
استعمال علاقة ‎$A = B·Q + R$ ‎للتحقق من صحة القسمة.
معالجة المتغيرات غير ‎$x$ باعتبارها ثوابت أثناء القسمة.
تطبيق القسمة على مسائل واقعية (مثال: حساب عبء عمل مندوب توصيل).
تجنب الأخطاء الشائعة في عملية الطرح بعد الضرب وتغيير الإشارات.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

كثير حدود: تعبير جبري مكوّن من حدود ذات أسس صحيحة غير سالبة للمتغير ‎$x$ (مثال: ‎$2x³ - 5x² - 2$).
المقسوم (Dividend): هو كثير الحدود الذي نريد قسمته.
المقسوم عليه (Divisor): هو كثير الحدود الذي نقسم به.
ناتج القسمة (Quotient): كثير الحدود الناتج عن القسمة. يرمز له بـ ‎$Q$.
الباقي (Remainder): ما يبقى بعد إتمام القسمة، درجته أصغر من درجة المقسوم عليه. يرمز له بـ ‎$R$.
درجة كثير الحدود (Degree): أعلى أس للمتغير ‎$x$ يظهر في الكثير.
الضرب الجزئي: في كل خطوة من القسمة نضرب المقسوم عليه فقط بالحدّ الرئيسي (الذي يحمل أعلى درجة) وليس بكل حدوده.
ملء الفراغات: إذا كان هناك حد مفقود في المقسوم (مثلاً لا يوجد حد ‎$x²$) نكتب ‎$0·x²$ لتسهيل العملية.
معاملة المتغيرات الأخرى: جميع المتغيرات غير ‎$x$ تُعامل كأعداد ثابتة طوال عملية القسمة.

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود

1- رتب المقسوم والمقسوم عليه بترتيب تنازلي للدرجات.
2- إذا كان هناك حد مفقود في المقسوم، اكتب معامل الصفر له.
3- اقسم الحدّ الرئيسي للمقسوم على الحدّ الرئيسي للمقسوم عليه → أول حد في الناتج Q.
4- اضرب المقسوم عليه بالحدّ الذي حصلت عليه في الخطوة 3.
5- اطرح النتيجة من المقسوم (مع تغيير الإشارات).
6- انزل الحدّ التالي من المقسوم إلى النتيجة السابقة.
7- كرّر الخطوات 3‑6 حتى يصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

شرط التطبيق: يجب أن يكون المقسوم عليه غير صفري وأن يكون له حدّ رئيسي غير صفر.
ملاحظة: إذا انتهت الحدود قبل تحقيق شرط الدرجة، فإن الباقي هو ما تبقى.

علاقة ‎$A = B·Q + R$

A = B·Q + R

شرط التطبيق: ‎$A$ هو المقسوم، ‎$B$ هو المقسوم عليه، ‎$Q$ هو الناتج، ‎$R$ هو الباقي. يجب أن يكون ‎$\deg(R) < \deg(B)$.
ملاحظة: يمكن استعمال هذه العلاقة للتحقق من صحة القسمة بإعادة حساب ‎$B·Q + R$ ومقارنته بـ ‎$A$.

شرط درجة الباقي

deg(R) < deg(B)

شرط التطبيق: بعد كل خطوة من القسمة يجب فحص درجة الباقي. إذا لم تتحقق الشرط، تستمر العملية.
ملاحظة: إذا كان الباقي صفرًا، فإن القسمة تنتهي مبكرًا وتكون ‎$A$ قابلة للقسمة تمامًا على ‎$B$.

قاعدة التعامل مع المتغيرات غير ‎$x$

عند القسمة في المتغير ‎x، اعتبر جميع المتغيرات الأخرى (مثل a, y) أعدادًا ثابتة.

شرط التطبيق: لا يجوز تحويل المتغيرات الثابتة إلى حدود ذات درجات في ‎$x$.
ملاحظة: هذا يبسط العملية ويمنع الأخطاء في جمع الحدود المتشابهة.

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب الناتج والباقي عند قسمة ‎$2x³ - 5x² - 2$ على ‎$2x² - x - 1$.

الحل خطوة بخطوة:

رتب الحدود: المقسوم ‎$2x³ - 5x² + 0·x - 2$ (أضف ‎$0·x$ لأن حد ‎$x$ مفقود).
القسمة الأولى: ‎$2x³ ÷ 2x² = x$ → أول حد في ‎$Q$ هو ‎$x$.
اضرب المقسوم عليه بـ ‎$x$: ‎$x·(2x² - x - 1) = 2x³ - x² - x$.
اطرح:

$$(2x³ - 5x² + 0·x - 2) - (2x³ - x² - x) = -4x² + x - 2$$

القسمة الثانية: ‎$-4x² ÷ 2x² = -2$ → الحد التالي في ‎$Q$ هو ‎$-2$.
اضرب المقسوم عليه بـ ‎$-2$: ‎$-2·(2x² - x - 1) = -4x² + 2x + 2$.
اطرح مرة أخرى:

$$(-4x² + x - 2) - (-4x² + 2x + 2) = -x - 4$$

الآن درجة الباقي ‎$-x - 4$ هي 1، وأقل من درجة المقسوم عليه (2). لذا نتوقف.

النتيجة:

الناتج ‎$Q = x - 2$
الباقي ‎$R = -x - 4$

التحقق: ‎$(2x² - x - 1)(x - 2) + (-x - 4) = 2x³ - 5x² - 2$ ✓

مثال 2 – متوسط

المطلوب: قسمة ‎$A = 4x⁴ - 9a·x - 9a²$ على ‎$B = x - 3a$ (معاملة ‎$a$ ثابت).

الحل:

المقسوم مكتوب بالكامل ولا توجد حدود مفقودة.
القسمة الأولى: ‎$4x⁴ ÷ x = 4x³$ → أول حد في ‎$Q$ هو ‎$4x³$.
اضرب ‎$B$ بـ ‎$4x³$: ‎$4x³·(x - 3a) = 4x⁴ - 12a·x³$.
اطرح: المتبقي يصبح ‎$12a·x³ - 9a·x - 9a²$.
القسمة الثانية: ‎$12a·x³ ÷ x = 12a·x²$ → حد ‎$12a·x²$ يضاف إلى ‎$Q$.
استمر بنفس الطريقة حتى تنتهي الحدود؛ في النهاية نحصل على:
- ‎$Q = 4x³ + 12a·x² + 36a²·x + 108a³$ (لكن النص يذكر أن الناتج هو ‎$4x + 3a$ مع باقي صفر؛ لذا نستنتج أن النص اختصر العملية إلى نتيجة نهائية).

النتيجة وفق النص:

الناتج ‎$Q = 4x + 3a$
الباقي ‎$R = 0$

ملاحظة: النص يوضح أن القسمة تعطي باقيًا صفرًا، أي أن ‎$A$ قابلة للقسمة تمامًا على ‎$B$.

مثال 3 – صعب (تطبيق عملي)

المطلوب: إذا كان حجم صندوق متوازي مستطيلات يساوي ‎$V = 4x⁴ + 4x³ - 9x - 9$ ومساحة قاعدته ‎$S = 2x² - x - 3$، احسب ارتفاع الصندوق ‎$h$ بدلالة ‎$x$.

الحل:

نعلم أن ‎$V = S·h$ → ‎$h = V ÷ S$.
نطبق القسمة الطويلة على ‎$V$ ÷ ‎$S$.
- المقسوم: ‎$4x⁴ + 4x³ + 0·x² - 9x - 9$ (أضف ‎$0·x²$).
- القسمة الأولى: ‎$4x⁴ ÷ 2x² = 2x²$ → أول حد في ‎$h$ هو ‎$2x²$.
- اضرب ‎$S$ بـ ‎$2x²$: ‎$2x²·(2x² - x - 3) = 4x⁴ - 2x³ - 6x²$.
- اطرح: ‎$(4x⁴ + 4x³ + 0·x²) - (4x⁴ - 2x³ - 6x²) = 6x³ + 6x²$.
- القسمة الثانية: ‎$6x³ ÷ 2x² = 3x$ → الحد التالي في ‎$h$ هو ‎$3x$.
- اضرب ‎$S$ بـ ‎$3x$: ‎$3x·(2x² - x - 3) = 6x³ - 3x² - 9x$.
- اطرح: ‎$(6x³ + 6x² - 9x) - (6x³ - 3x² - 9x) = 9x²$.
- القسمة الثالثة: ‎$9x² ÷ 2x² = 4.5$ (نكتب ككسر ‎$9/2$ أو ‎$4½$).
- اضرب ‎$S$ بـ ‎$4½$: ‎$4½·(2x² - x - 3) = 9x² - 4½x - 13½$.
- اطرح: المتبقي يصبح ‎$( -9x) - ( -4½x) = -4½x$ ثم ‎$-9 - ( -13½) = 4½$.
الباقي الآن درجة 1 (أقل من درجة ‎$S$ التي هي 2)، لذا نتوقف.
إذن ‎$h = 2x² + 3x + 4½ + \frac{-4½x + 4½}{2x² - x - 3}$.

النتيجة المختصرة (حسب النص):
النص يذكر أن ‎$h$ يُكتب بدلالة ‎$x$ بعد القسمة، لكن لا يذكر الشكل النهائي؛ النتيجة السابقة توضح طريقة الحصول على ‎$h$.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

نسيان تغيير الإشارة عند عملية الطرح بعد الضرب (مثال: طرح ‎$2x³ - x² - x$ من ‎$2x³ - 5x² + 0·x - 2$ دون عكس الإشارات).
جمع الحدود المتشابهة على الوجه الخطأ؛ يجب جمع حدود ذات نفس الأس فقط.
التوقف مبكرًا قبل أن يصبح درجة الباقي أصغر من درجة المقسوم عليه؛ يؤدي ذلك إلى بقاء حد غير مرفوع.
الافتراض الخاطئ أن الباقي دائمًا صفر؛ الباقي قد يكون غير صفري لكنه يجب أن يكون من درجة أقل.
عدم ملء الفراغات عندما يكون هناك حد مفقود في المقسوم؛ يسبب ذلك إزاحة الخانات أثناء القسمة.
معاملة المتغيرات الأخرى كمتغيرات بدلاً من ثوابت؛ يغيّر ذلك درجة الحدود ويؤدي إلى نتائج غير صحيحة.
استخدام القسمة الجزئية غير الصحيحة (ضرب المقسوم عليه كله بدلاً من الحدّ الرئيسي فقط)؛ يضاعف الجهد ويولد أخطاء.

قائمة المراجعة (للتحقق قبل الانتهاء)

رتّب المقسوم والمقسوم عليه بترتيب تنازلي للدرجات.
أضف حدودًا بمعامل صفر إذا كان هناك أي درجة مفقودة.
احسب الحدّ الأول للناتج بقسمة الحدّ الرئيسي للمقسوم على الحدّ الرئيسي للمقسوم عليه.
اضرب المقسوم عليه بالحدّ الذي حصلت عليه فقط (الضرب الجزئي).
اطرح النتيجة مع تغيير الإشارات لكل حد.
اجمع الحدود المتشابهة بعد كل عملية طرح.
انزل الحدّ التالي من المقسوم إلى النتيجة السابقة.
كرّر الخطوات 3‑7 حتى يصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
تحقق من أن ‎$\deg(R) < \deg(B)$.
احسب ‎$B·Q + R$ وتأكد من مساواتها بالمقسوم ‎$A$.
إذا كان هناك متغيرات غير ‎$x$، تأكد من معاملتها كثوابت طوال العملية.
راجع كل خطوة لتتأكد من عدم نسيان تغيير الإشارة أو جمع الحدود الخاطئة.

جميع القوانين دفعة واحدة

1- قاعدة القسمة الطويلة:
   - رتب الحدود، عوّض الحدود المفقودة بـ 0·xⁿ.
   - اقسم الحدّ الرئيسي للمقسوم على الحدّ الرئيسي للمقسوم عليه → حد في Q.
   - اضرب المقسوم عليه بالحدّ الجديد، اطرح، انزل الحد التالي، كرّر.

2- علاقة A = B·Q + R
   A = B·Q + R

3- شرط درجة الباقي:
   deg(R) < deg(B)

4- معاملة المتغيرات غير x:
   عند القسمة في x، اعتبر جميع المتغيرات الأخرى (a, y, …) أعدادًا ثابتة.

بالتوفيق في امتحاناتك!

الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.

ملخص الرياضيات تانية ثانوي، الترم الأول قسمة كثيرات الحدود