باختصار
«إيجاد قياس زاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية» (الفصل 15) من منهج الرياضيات للصف الأول الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- تحديد قيمة الزاوية عندما تُعطى إحدى الدوال المثلثية (sin, cos, tan, cot, sec, csc).
- استخدام الآلة الحاسبة العلمية لإيجاد القيم العكسية للدوال المثلثية (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ …).
- معرفة علاقة إشارة الدالة المثلثية بموقع الزاوية في الأرباع الأربعة.
- تحويل الزاوية من الدرجات إلى الدقائق والثواني والعكس.
- تطبيق المفاهيم على مسائل واقعية (سقوف، منحدرات، سلالم، إحداثيات).
- تمييز الأخطاء الشائعة عند استعمال الدوال العكسية وتحديد القيم المسموح بها.
المفاهيم والتعريفات الرياضية
| المصطلح | التعريف |
|---|---|
| دالة مثلثية | علاقة تربط زاوية θ بأحد النسب بين أضلاع المثلث القائم: sinθ, cosθ, tanθ, cotθ, secθ, cscθ. |
| الزاوية القياسية | الزاوية التي تُقاس من المحور الموجب x باتجاه عكس عقارب الساعة وتُعطى بالدرجات (0° ≤ θ < 360°). |
| الربع | أحد الأرباع الأربعة التي تقسم دائرة الوحدة حسب إشارة الدوال المثلثية: <br>‑ الربع الأول (0°‑90°): sin>0, cos>0, tan>0. <br>‑ الربع الثاني (90°‑180°): sin>0, cos<0, tan<0. <br>‑ الربع الثالث (180°‑270°): sin<0, cos<0, tan>0. <br>‑ الربع الرابع (270°‑360°): sin<0, cos>0, tan<0. |
| الدالة العكسية | الدالة التي تعيد الزاوية من قيمة النسبة المثلثية، مثال sin⁻¹(y) أو tan⁻¹(x). تُستعمل الآلة الحاسبة للعثور على القيمة الأولية في الربع الأول، ثم تُعدّل حسب إشارة النسبة. |
| الدقائق والثواني | 1° = 60′ (دقيقة)، 1′ = 60″ (ثانية). تُستعمل لتقريب الزوايا إلى الشكل D° M′ S″. |
| المنحدر | علاقة بين الارتفاع (h) والطول المائل (l) تُعطى بـ sinθ = h / l أو tanθ = h / (المسافة الأفقية). |
| زاوية الانحدار | الزاوية التي يصنعها المنحدر مع الأفق، تُحسب باستخدام الدوال المثلثية أو العكسية. |
القوانين والنظريات والقواعد
قاعدة 1 – إيجاد الزاوية من قيمة sinθ
θ = sin⁻¹(sinθ) (قيمة أولية في الربع الأول)
شرط التطبيق: -1 ≤ sinθ ≤ 1.
ملاحظة: إذا كان sinθ > 0 فإن الزاوية تقع في الربع الأول أو الثاني؛ إذا كان sinθ < 0 فإنها تقع في الربع الثالث أو الرابع. للحصول على الزاوية في الربع الثاني تُستعمل: θ₂ = 180° – θ₁. للربع الثالث: θ₃ = 180° + θ₁. للربع الرابع: θ₄ = 360° – θ₁.
قاعدة 2 – إيجاد الزاوية من قيمة cosθ
θ = cos⁻¹(cosθ) (قيمة أولية في الربع الأول)
شرط التطبيق: -1 ≤ cosθ ≤ 1.
ملاحظة: إذا كان cosθ > 0 فإن الزاوية في الربع الأول أو الرابع؛ إذا كان cosθ < 0 فإنها في الربع الثاني أو الثالث. للربع الثاني: θ₂ = 180° – θ₁. للربع الثالث: θ₃ = 180° + θ₁. للربع الرابع: θ₄ = 360° – θ₁.
قاعدة 3 – إيجاد الزاوية من قيمة tanθ
θ = tan⁻¹(tanθ) (قيمة أولية في الربع الأول)
شرط التطبيق: لا حدود على tanθ (يمكن أن تكون أي قيمة حقيقية).
ملاحظة: إشارة tanθ تحدد الربع: إذا كان tanθ > 0 → الربع الأول أو الثالث؛ إذا كان tanθ < 0 → الربع الثاني أو الرابع. للربع الثاني: θ₂ = 180° – θ₁. للربع الثالث: θ₃ = 180° + θ₁. للربع الرابع: θ₄ = 360° – θ₁.
قاعدة 4 – تحويل الدرجات إلى دقائق وثواني
θ° = D + M/60 + S/3600
حيث D = عدد الدرجات، M = عدد الدقائق، S = عدد الثواني.
قاعدة 5 – علاقة النسب المثلثية الأساسية
sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ
cotθ = 1 / tanθ
secθ = 1 / cosθ
cscθ = 1 / sinθ
شرط التطبيق: لا يجوز القسمة على صفر؛ لذا يجب أن تكون القيم في المقام غير صفرية.
قاعدة 6 – حساب الزاوية من أبعاد منحدر (ارتفاع/طول)
sinθ = الارتفاع / الطول المائل
θ = sin⁻¹(الارتفاع / الطول المائل)
أو
tanθ = الارتفاع / القاعدة الأفقية
θ = tan⁻¹(الارتفاع / القاعدة الأفقية)
شرط التطبيق: الارتفاع والقاعدة يجب أن تكون موجبة.
أمثلة محلولة
مثال 1 – سهل
المطلوب: أوجد الزاوية θ (0° < θ < 360°) بحيث sinθ = 0.6325.
الحل خطوة بخطوة:
- استخدم الآلة الحاسبة: اضغط
SHIFT→sin⁻¹→ أدخل 0.6325 →=→ تحصل على قيمة أولية في الربع الأول:
θ₁ = 39° 14′ 6″. - بما أن sinθ > 0 فإن الزاوية قد تكون في الربع الأول أو الثاني.
- للربع الثاني: θ₂ = 180° – θ₁ = 180° – 39° 14′ 6″ = 140° 45′ 54″.
الإجابة: θ = 39° 14′ 6″ (الربع الأول) أو θ = 140° 45′ 54″ (الربع الثاني).
مثال 2 – متوسط
المطلوب: أوجد الزاوية θ (0° < θ < 360°) بحيث cotθ = –1.6204.
الحل خطوة بخطوة:
- نعلم أن cotθ = 1 / tanθ ⇒ tanθ = –1 / 1.6204 ≈ –0.6170.
- استخدم الآلة الحاسبة:
SHIFT→tan⁻¹→ أدخل 0.6170 → اضغطx⁻¹(لتحويل إلى الزاوية المكملة) → تحصل على الزاوية الأولية في الربع الأول:
α = 31° 40′ 48″. - إشارة cotθ سلبية ⇒ tanθ سلبية ⇒ الزاوية في الربع الثاني أو الرابع.
- للربع الثاني: θ₂ = 180° – α = 148° 19′ 12″.
- للربع الرابع: θ₄ = 360° – α = 328° 19′ 12″.
الإجابة: θ = 148° 19′ 12″ (الربع الثاني) أو θ = 328° 19′ 12″ (الربع الرابع).
مثال 3 – صعب (مسألة تطبيقية)
المطلوب: في متنزه ترفيهي، ارتفاع الزلاجة 10 م، وطول المنحدر 16 م. اكتب دالة مثلثية مناسبة لإيجاد زاوية الانحدار θ، ثم احسب θ إلى أقرب ألف درجة.
الحل خطوة بخطوة:
- نختار الدالة التي تربط الارتفاع بالمنحدر مباشرة:
$$\sinθ = \frac{\text{الارتفاع}}{\text{الطول المائل}} = \frac{10}{16}=0.625$$
- استخدم الآلة الحاسبة:
SHIFT→sin⁻¹→ أدخل 0.625 →=→ نحصل على:
θ₁ = 38° 41′ 24″ (الربع الأول). - بما أن sinθ موجبة، الزاوية قد تكون في الربع الأول أو الثاني. للربع الثاني:
θ₂ = 180° – 38° 41′ 24″ = 141° 18′ 36″. - عادةً يُختار الزاوية الأصغر في مسائل الانحدار، لذا نأخذ θ ≈ 38.690° (≈ 38° 41′ 24″).
الإجابة: الدالة المستخدمة هي sinθ = 10/16؛ قياس الزاوية θ ≈ 38° 41′ 24″ (أقرب ألف درجة).
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- خطأ 1 – نسيان تعديل الزاوية حسب الربع: بعد حساب القيمة الأولية بـ sin⁻¹ أو tan⁻¹ يجب دائمًا فحص إشارة النسبة لتحديد ما إذا كانت الزاوية في الربع الأول فقط أم تحتاج إلى إكمال (180° – θ أو 360° – θ).
- خطأ 2 – إدخال القيمة العكسية للـ tan⁻¹: عند إعطاء cotθ يجب أولاً تحويلها إلى tanθ (tanθ = 1 / cotθ) قبل استعمال tan⁻¹.
- خطأ 3 – القسمة على صفر: لا يجوز حساب secθ أو cscθ إذا كان cosθ أو sinθ يساوي صفرًا؛ وهذا يحدث عند الزوايا 0°, 90°, 180°, 270°.
- خطأ 4 – إهمال الدقائق والثواني: عند تحويل الزاوية إلى الشكل D° M′ S″ يجب الحفاظ على الدقة؛ عدم تقريب الزاوية إلى أقرب درجة قد يسبب فرقًا كبيرًا في التطبيقات الهندسية.
- حالة خاصة – الزوايا الحادة فقط: إذا طُلب أن تكون الزاوية حادة (0° < θ < 90°) فإننا نختار دائمًا القيمة الأولية في الربع الأول ولا نضيف أي تعديل.
قائمة المراجعة
- هل تم تحديد الدالة المثلثية المعطاة (sin, cos, tan, …)؟
- هل تم التأكد من أن القيمة تقع ضمن المجال المسموح للدالة (–1 ≤ قيمة ≤ 1 للـ sin و cos)؟
- هل استُخدمت الآلة الحاسبة للحصول على القيمة الأولية في الربع الأول؟
- هل تم فحص إشارة النسبة لتحديد الربع المناسب؟
- هل تم تطبيق القاعدة المناسبة (180° – θ أو 360° – θ) إذا لزم الأمر؟
- هل تم تحويل النتيجة إلى الدرجات، الدقائق، والثواني بدقة؟
- هل تم التحقق من عدم وجود قسمة على صفر عند حساب sec أو csc؟
- هل تم توثيق جميع الخطوات في الحل لتكون واضحة للمعلم؟
- هل تم اختبار النتيجة بإعادة حساب النسبة المثلثية للزاوية المستخرجة؟
- هل تم كتابة الإجابة النهائية بالوحدات المطلوبة (درجة، دقيقة، ثانية أو راديان)؟
- هل تم مراجعة الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟
- هل تم حفظ القوانين الأساسية في الذاكرة للرجوع السريع؟
جميع القوانين دفعة واحدة
sinθ = المقابل / الوتر
cosθ = المجاور / الوتر
tanθ = المقابل / المجاور
cotθ = 1 / tanθ = المجاور / المقابل
secθ = 1 / cosθ = الوتر / المجاور
cscθ = 1 / sinθ = الوتر / المقابل
sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ
cotθ = 1 / tanθ
θ = sin⁻¹(sinθ) (ثم تعديل حسب الربع)
θ = cos⁻¹(cosθ) (ثم تعديل حسب الربع)
θ = tan⁻¹(tanθ) (ثم تعديل حسب الربع)
θ (درجة) = D + M/60 + S/3600
θ (دقائق) = (θ° – D) × 60
θ (ثواني) = (θ′ – M) × 60
sinθ = الارتفاع / الطول المائل
θ = sin⁻¹(الارتفاع / الطول المائل)
tanθ = الارتفاع / القاعدة الأفقية
θ = tan⁻¹(الارتفاع / القاعدة الأفقية)
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.