ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول الزوايا المنتسبة

أهداف التعلم

1. التعرف على مفهوم الزوايا المرتبطة (الزاوية الأصلية وزواياها المشتقة مثل 180° + θ، 360° − θ، 270° ± θ، 90° ± θ).
2. استنتاج قيم الدوال المثلثية للزوايا المرتبطة باستخدام خواص الانعكاس حول الأصل، محور السينات، ومحور الصادات.
3. تطبيق جداول العلاقات بين الدوال المثلثية للزوايا المرتبطة في حل مسائل حسابية دون الحاجة للآلة الحاسبة.
4. تمييز الزوايا التكميلية (θ و 90° − θ) والزاوية المكملة (θ و 180° − θ) واستخدام علاقاتها.
5. حل مسائل تطبيقية تشمل إيجاد قيم sin، cos، tan، sec، csc، cot لزوايا مختلفة (مثلاً 225°, 210°, 600°, 315° …).
6. تجنب الأخطاء الشائعة عند التعامل مع الإشارات السالبة للزوايا وتحديد موقع الزاوية في الوضع القياسي.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الزاوية المرتبطة: زوايا لها قياس يختلف عن الزاوية الأصلية بزيادة أو نقصان ثابت (مثل 180° + θ أو 360° − θ).
• الزاوية التكميلية: زوج زوايا مجموعهما 90° (θ و 90° − θ).
• الزاوية المكملة: زوج زوايا مجموعهما 180° (θ و 180° − θ).
• الزاوية المرتبطة بالانعكاس حول الأصل: إذا انعكست نقطة B(x, y) حول الأصل نحصل على B'(−x, −y).
• الزاوية المرتبطة بالانعكاس حول محور السينات: انعكاس B(x, y) حول محور السينات يعطي B'(x, −y).
• الزاوية المرتبطة بالانعكاس حول محور الصادات: انعكاس B(x, y) حول محور الصادات يعطي B'(−x, y).
• دوال الزوايا السالبة: الدوال المثلثية للزاوية (−θ) تساوي قيم الدوال للزاوية (360° − θ).

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (180° + θ)

sin(180°+θ) = -sinθ
csc(180°+θ) = -cscθ
cos(180°+θ) = -cosθ
sec(180°+θ) = -secθ
tan(180°+θ) =  tanθ
cot(180°+θ) =  cotθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية قياسية.
ملاحظة: الإشارة السالبة تظهر فقط في الدوال ذات قيمة إشارة (sin, csc, cos, sec).

2. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (360° − θ)

sin(360°-θ) = -sinθ
csc(360°-θ) = -cscθ
cos(360°-θ) =  cosθ
sec(360°-θ) =  secθ
tan(360°-θ) = -tanθ
cot(360°-θ) = -cotθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية قياسية.
ملاحظة: الدوال الزوجية (cos, sec) لا تغير إشارة.

3. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (270° − θ)

sin(270°-θ) = -cosθ
csc(270°-θ) = -secθ
cos(270°-θ) = -sinθ
sec(270°-θ) = -cscθ
tan(270°-θ) =  cotθ
cot(270°-θ) =  tanθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية قياسية.
ملاحظة: يتحول sin إلى cos والعكس مع إشارة سالبة.

4. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (270° + θ)

sin(270°+θ) = -cosθ
csc(270°+θ) = -secθ
cos(270°+θ) =  sinθ
sec(270°+θ) =  cscθ
tan(270°+θ) = -cotθ
cot(270°+θ) = -tanθ

شرط التطبيق: θ أي زاوية قياسية.

5. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (90° − θ) (زاوية تكميلية)

sin(90°-θ) =  cosθ
cos(90°-θ) =  sinθ
tan(90°-θ) =  cotθ
cot(90°-θ) =  tanθ
sec(90°-θ) =  cscθ
csc(90°-θ) =  secθ

شرط التطبيق: θ قياسها أصغر من 90°.

6. علاقات الدوال المثلثية للزاوية (90° + θ)

sin(90°+θ) =  cosθ
csc(90°+θ) =  secθ
cos(90°+θ) = -sinθ
sec(90°+θ) = -cscθ
tan(90°+θ) = -cotθ
cot(90°+θ) = -tanθ

شرط التطبيق: θ قياسها أصغر من 90°.

7. علاقة الزوايا السالبة

sin(-θ) = -sinθ   (تساوي sin(360°-θ))
cos(-θ) =  cosθ   (تساوي cos(360°-θ))
tan(-θ) = -tanθ   (تساوي tan(360°-θ))

ملاحظة: يمكن دائمًا تحويل الزاوية السالبة إلى مكافئها في [0°,360°] باستخدام (360°-θ).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب sin 225° و cos 210°.

الحل:

• 225° = 180° + 45° → sin 225° = -sin 45° = -√2⁄2.
• 210° = 180° + 30° → cos 210° = -cos 30° = -√3⁄2.

النتيجة:

• sin 225° = -½√2
• cos 210° = -√3⁄2

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: احسب sec 600° و cot 225°.

الخطوات:

1. 600° = 360° + 240° → 600° = 360° + (180° + 60°).

2. باستخدام قاعدة (180° + θ) للـ sec: sec (180°+60°) = -sec 60° = -2⁄√3 = -2√3⁄3.

3. إذن sec 600° = sec 240° = -2√3⁄3.

4. 225° = 180° + 45° → cot 225° = cot 45° = 1 (حسب قاعدة (180°+θ) حيث لا تغير إشارة cot).

النتيجة:

• sec 600° = -2√3⁄3
• cot 225° = 1

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: إذا كان الطرف النهائي للزاوية θ يمر بالنقطة $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ (أي θ = 30°)، احسب القيم التالية:

$$\cos(270°-\theta),; \cot(270°-\theta),; \tan(270°-\theta),; \csc(270°-\theta)$$

الحل:

• من المعطى: sin θ = ½ ، cos θ = √3⁄2.

• باستخدام قاعدة (270° − θ):

  • $\cos(270°-\theta) = -\sinθ = -½$.
  • $\cot(270°-\theta) = \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ} = \frac{½}{√3⁄2} = \frac{1}{√3}$.
  • $\tan(270°-\theta) = \cotθ = \frac{\cosθ}{\sinθ} = \frac{√3⁄2}{½} = √3$.
  • $\csc(270°-\theta) = -\secθ = -\frac{1}{\cosθ} = -\frac{2}{√3} = -\frac{2√3}{3}$.

النتيجة:

• $\cos(270°-\theta) = -½$
• $\cot(270°-\theta) = \frac{1}{√3}$
• $\tan(270°-\theta) = √3$
• $\csc(270°-\theta) = -\frac{2√3}{3}$

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الإشارات: عند استعمال قاعدة (180° + θ) لا تُغيّر إشارة tan و cot، بينما تُغيّر إشارة sin, cos, sec, csc.
• نسيان تحويل الزوايا السالبة: يجب دائمًا تحويل (−θ) إلى (360° − θ) قبل استعمال القواعد.
• استخدام الجذر غير المبسط: يُستحب تبسيط الجذور (مثلاً √2⁄2 بدلاً من √(2)/2).
• الخلط بين الزوايا التكميلية والزاوية المكملة: تذكر أن (90° − θ) تُعطي علاقات sin↔cos، بينما (180° − θ) تُعطي sin↔sin، cos↔−cos.
• إهمال أن الزوايا التي تتجاوز 360° يمكن تقليلها: 600° = 600° − 360° = 240° قبل تطبيق القواعد.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت قياس الزاوية الأصلية θ؟
2. هل حولت الزاوية إلى ما بين 0° و 360° إذا كانت أكبر أو سالبة؟
3. هل حددت نوع العلاقة المطلوبة (180° + θ، 360° − θ، 270° ± θ، 90° ± θ)؟
4. هل طبقت قاعدة الإشارة الصحيحة (إشارة سالبة أو لا) حسب الدالة؟
5. هل استخدمت قيم الزوايا المميزة (30°, 45°, 60°) عندما تكون متاحة؟
6. هل تبسطت الجذور والكسر قبل كتابة النتيجة النهائية؟
7. هل راجعت أن tan و cot لا تغير إشارة في قاعدة (180° + θ)؟
8. هل تأكدت من أن cos و sec لا تغير إشارة في قاعدة (360° − θ)؟
9. هل استخدمت العلاقة التكميلية عندما يكون السؤال عن (90° − θ) أو (90° + θ)؟
10. هل تحققت من أن sin(−θ) = −sinθ و cos(−θ) = cosθ؟
11. هل راجعت أن الزوايا المرتبطة بالانعكاس حول المحاور تعطي إحداثيات (x',y') المناسبة؟
12. هل أجبت على جميع أجزاء السؤال (مثلاً طلب sin و cot في نفس السؤال)؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sin(180°+θ) = -sinθ
csc(180°+θ) = -cscθ
cos(180°+θ) = -cosθ
sec(180°+θ) = -secθ
tan(180°+θ) =  tanθ
cot(180°+θ) =  cotθ

sin(360°-θ) = -sinθ
csc(360°-θ) = -cscθ
cos(360°-θ) =  cosθ
sec(360°-θ) =  secθ
tan(360°-θ) = -tanθ
cot(360°-θ) = -cotθ

sin(270°-θ) = -cosθ
csc(270°-θ) = -secθ
cos(270°-θ) = -sinθ
sec(270°-θ) = -cscθ
tan(270°-θ) =  cotθ
cot(270°-θ) =  tanθ

sin(270°+θ) = -cosθ
csc(270°+θ) = -secθ
cos(270°+θ) =  sinθ
sec(270°+θ) =  cscθ
tan(270°+θ) = -cotθ
cot(270°+θ) = -tanθ

sin(90°-θ) =  cosθ
cos(90°-θ) =  sinθ
tan(90°-θ) =  cotθ
cot(90°-θ) =  tanθ
sec(90°-θ) =  cscθ
csc(90°-θ) =  secθ

sin(90°+θ) =  cosθ
csc(90°+θ) =  secθ
cos(90°+θ) = -sinθ
sec(90°+θ) = -cscθ
tan(90°+θ) = -cotθ
cot(90°+θ) = -tanθ

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) =  cosθ
tan(-θ) = -tanθ
cot(-θ) = -cotθ
csc(-θ) = -cscθ
sec(-θ) =  secθ

بالتوفيق في امتحاناتك!