ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول التمثيل البياني للدوال المثلثية

أهداف التعلم

1. فهم تعريف الدالتين المثلثيتين sin θ (جا) و cos θ (جتا) وتحديد نطاقهما وقيمهما العظمى والصغرى.
2. إدراك خاصية التكرار (الدورية) للدالتين وتحديد فترة التكرار 2π.
3. رسم المنحنيات للدوال sin x و cos x على الفترات الأساسية [0, 2π] وتفسير الشكل الهندسي للمنحنى.
4. تطبيق الدوال المثلثية على مسائل واقعية (مثال حركة المد والجزر) وحساب عدد المرات التي يتحقق فيها شرط معين.
5. استخدام الجداول لتحديد نقاط المنحنى، وإيجاد القيم المتقابلة (العكس الجمعي) ورسم المنحنى من خلال ربط النقاط.
6. تمييز القيم العظمى والصغرى وتحديد المجال والمدى (range) لكل دالة مثل sin x، 3 sin x، 2 cos x، 4 sin x … إلخ.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. تعريف دالة الجيب (sin)

sin θ = المقابل / الوتر

شرط التطبيق: الزاوية θ يجب أن تكون معرفة في دائرة الوحدة.
ملاحظة: القيم تتراوح بين –1 و 1.

2. تعريف دالة جيب التمام (cos)

cos θ = المجاور / الوتر

شرط التطبيق: الزاوية θ يجب أن تكون معرفة في دائرة الوحدة.
ملاحظة: القيم تتراوح بين –1 و 1.

3. القيم العظمى والصغرى للجيب

max sin θ = 1   عند θ = 2nπ
min sin θ = –1  عند θ = π + 2nπ

شرط التطبيق: n ∈ ℤ.

4. القيم العظمى والصغرى للجيب التمام

max cos θ = 1   عند θ = 0 + 2nπ
min cos θ = –1  عند θ = π + 2nπ

شرط التطبيق: n ∈ ℤ.

5. الدورية (Periodicity)

sin(θ + 2π) = sin θ
cos(θ + 2π) = cos θ

شرط التطبيق: θ ∈ ℝ.

6. تحويل الزاوية من درجات إلى راديان (للتطبيقات)

θ(rad) = θ(°) × π / 180

ملاحظة: في مثال المد والجزر الزاوية تُعطى بالدرجات مباشرة داخل الدالة sin.

7. علاقة الجيب بالجيب التمام (هوية فيثاغورس)

sin²θ + cos²θ = 1

شرط التطبيق: أي زاوية θ.

8. معادلة حركة المد والجزر (من النص)

d = 6 sin(15 n)° + 10

حيث d بالمتر، n بالساعة بعد منتصف الليل.

9. حساب عدد حلول المعادلة d = 10

10 = 6 sin(15 n)° + 10  →  sin(15 n)° = 0

الحلول: 15 n = k·180° → n = k·12 (k عدد صحيح). ضمن 0 ≤ n ≤ 24 نحصل على n = 0, 12, 24.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل (رسم دالة sin)

المطلوب: ارسم منحنى الدالة y = 3 sin x على الفترة [0, 2π].

الخطوات:

1. تحديد السعة: السعة = 3 (القيمة العظمى = 3، الصغرى = –3).
2. تحديد نقاط المميز:
   • x = 0 → sin 0 = 0 → y = 0.
   • x = π/2 → sin π/2 = 1 → y = 3.
   • x = π → sin π = 0 → y = 0.
   • x = 3π/2 → sin 3π/2 = –1 → y = –3.
   • x = 2π → sin 2π = 0 → y = 0.
3. رسم النقاط على نظام إحداثي وربطها بمنحنى متموج يبدأ من الصفر، يرتفع إلى 3 عند π/2، يعود إلى الصفر عند π، ينخفض إلى –3 عند 3π/2، ثم يعود إلى الصفر عند 2π.

مثال 2 – متوسط (مسألة المد والجزر)

المطلوب:
أ) احسب عدد المرات التي يصبح فيها عمق المياه 10 مترًا تمامًا خلال اليوم.
ب) ارسم مخططًا يوضح تغير العمق d مع الزمن n من 0 إلى 24 ساعة.

الخطوات:

1. المعادلة: d = 6 sin(15 n)° + 10.
2. إيجاد حلول d = 10:
   • 10 = 6 sin(15 n)° + 10 → sin(15 n)° = 0.
   • sin α = 0 عندما α = k·180° (k عدد صحيح).
   • إذن 15 n = k·180 → n = k·12.
3. القيم داخل الفترة [0, 24]:
   • k = 0 → n = 0.
   • k = 1 → n = 12.
   • k = 2 → n = 24.
     → عدد المرات = 3.
4. رسم المنحنى: استخدم جدول القيم (كما في النص) لتحديد نقاط (n, d):
   • (0, 10)، (6, 16)، (12, 10)، (18, 4)، (24, 10).
   • ارسم المنحنى على محور الزمن (0‑24) ومحور العمق (4‑16). المنحنى شكل جيبي يبدأ من 10، يرتفع إلى 16 عند 6 س، يعود إلى 10 عند 12 س، ينخفض إلى 4 عند 18 س، ثم يعود إلى 10 عند 24 س.

مثال 3 – صعب (إيجاد القيم العظمى والصغرى والمدى لدوال مركبة)

المطلوب: احسب القيم العظمى، الصغرى، والمدى للوظائف التالية:

• (أ) y = sin θ
• (ب) y = 3 cos θ

الخطوات:

1. y = sin θ

   • القيم الممكنة من قاعدة النطاق: [-1, 1].
   • القيمة العظمى = 1 (عند θ = 2nπ).
   • القيمة الصغرى = –1 (عند θ = π + 2nπ).
   • المدى = [-1, 1].

2. y = 3 cos θ

   • السعة = 3، لذا القيم الممكنة = 3 × [-1, 1] = [-3, 3].
   • القيمة العظمى = 3 (عند θ = 0 + 2nπ).
   • القيمة الصغرى = –3 (عند θ = π + 2nπ).
   • المدى = [-3, 3].

ملخص النتيجة:

• لأي دالة من الشكل A·sin θ أو A·cos θ (حيث A ثابت)، القيم العظمى = A، الصغرى = –A، والمدى = [‑A, A].

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الدرجات والراديان: في معادلة المد والجزر الزاوية تُعطى بالدرجات؛ لا تُحول إلى راديان إلا إذا استُخدم برنامج يتطلب راديان.
• نسيان إضافة الثابت (+10) في معادلة العمق: يؤدي إلى حساب قيم غير صحيحة للعمق.
• إهمال الدورية: عند حساب حلول sin α = 0 يجب أخذ جميع القيم k·π (أو k·180°) داخل الفترة المطلوبة.
• خطأ في تحديد نقطة العظمى للجيب التمام: العظمى لا تحدث عند π/2 بل عند 0 + 2nπ.
• استخدام السعة كقيمة عظمى مباشرة دون ضرب الثابت: مثال y = 4 sin x → العظمى = 4، الصغرى = –4، وليس 1.
• رسم المنحنى بدون مراعاة النقاط المتقابلة (العكس الجمعي): عند بناء جدول نقاط يجب إضافة النقاط السالبة للـ x للحصول على الشكل الكامل للمنحنى.

---

قائمة المراجعة (Checklist)

1. هل عرفت تعريف sin θ و cos θ؟
2. هل حددت نطاق (Domain) كل دالة؟
3. هل عرفت المدى (Range) لكل دالة؟
4. هل حددت القيم العظمى والصغرى للجيب والجيب التمام؟
5. هل تستطيع كتابة صيغة الدورية 2π؟
6. هل تستطيع تحويل زاوية من درجات إلى راديان إذا لزم الأمر؟
7. هل تستطيع رسم منحنى sin x على [0, 2π] مع تحديد النقاط المميزة؟
8. هل تستطيع رسم منحنى cos x على [0, 2π] مع تحديد النقاط المميزة؟
9. هل تستطيع بناء جدول قيم (x, y) لدالة جيبية أو جيب تمامية؟
10. هل تستطيع حساب عدد حلول المعادلة sin α = 0 داخل فترة معينة؟
11. هل تستطيع استخراج قيمة العمق d من معادلة المد والجزر وتحديد أوقات الوصول إلى 10 متر؟
12. هل تعرف كيف تستنتج المدى للدوال من الشكل A·sin θ أو A·cos θ؟
13. هل تتجنب الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟
14. هل تستطيع شرح لماذا المنحنى الجيبي يمر عبر الصفر كل نصف دورة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

sin θ = المقابل / الوتر
cos θ = المجاور / الوتر
sin²θ + cos²θ = 1
max sin θ = 1   (θ = 2nπ)
min sin θ = –1  (θ = π + 2nπ)
max cos θ = 1   (θ = 0 + 2nπ)
min cos θ = –1  (θ = π + 2nπ)
sin(θ + 2π) = sin θ
cos(θ + 2π) = cos θ
θ(rad) = θ(°) × π / 180
d = 6 sin(15 n)° + 10
sin α = 0 → α = k·180°  (k ∈ ℤ)
y = A·sin θ → max = A , min = –A , range = [‑A, A]
y = A·cos θ → max = A , min = –A , range = [‑A, A]

---

بالتوفيق في امتحاناتك!