باختصار
«الدوال المثلثية» (الفصل 12) من منهج الرياضيات للصف الأول الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- تعريف دائرة الوحدة وتحديد إحداثيات نقاطها الخاصة.
- استخراج قيم الدوال المثلثية الأساسية (الجيب، جيب التمام، الظل) من إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة.
- معرفة مقلوبات الدوال المثلثية (قاطع الزاوية، قاطع تمام الزاوية، ظل تمام الزاوية) واستخدامها في الحساب.
- تعيين إشارة كل دالة مثلثية في الأرباع الأربعة للزاوية القياسية.
- حساب قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) واستخدام العلاقات بينها.
- حل مسائل تطبيقية تتطلب اختيار القاعدة المناسبة وتحديد الإشارة الصحيحة للنتيجة.
المفاهيم والتعريفات الرياضية
| المصطلح | التعريف |
|---|---|
| دائرة الوحدة | دائرة مركزها الأصل $(0,0)$ ونصف قطرها يساوي 1. تقطع محور السينات عند $A(1,0)$ و$B(-1,0)$ وتقطع محور الصادات عند $C(0,1)$ و$D(0,-1)$. لأي نقطة $(x,y)$ على الدائرة يتحقق $x^2+y^2=1$ (نظرية فيثاغورث). |
| الجيب $\sin\theta$ | إحداثي الصادي للنقطة $B(x,y)$ التي يقطعها الضلع النهائي للزاوية $\theta$ على دائرة الوحدة؛ أي $\sin\theta = y$. |
| جيب التمام $\cos\theta$ | إحداثي السينى للنقطة $B(x,y)$؛ أي $\cos\theta = x$. |
| الظل $\tan\theta$ | نسبة $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ أو $\dfrac{y}{x}$ مع شرط $\cos\theta\neq0$. |
| قاطع الزاوية $\sec\theta$ | مقلوب جيب التمام: $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} = \dfrac{1}{x}$ (مع $x\neq0$). |
| قاطع تمام الزاوية $\csc\theta$ | مقلوب الجيب: $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{1}{y}$ (مع $y\neq0$). |
| ظل تمام الزاوية $\cot\theta$ | مقلوب الظل: $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{x}{y}$ (مع $y\neq0$). |
| الإشارة في الأرباع | تُحدَّد إشارة كل دالة وفق موقع الضلع النهائي للزاوية في أحد الأرباع الأربعة. (انظر جدول “إشارات الدوال المثلثية”). |
| الزاوية الخاصة | قيم الدوال للزوايا $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ$ تُستنتج مباشرة من إحداثيات نقاط التقاطع على دائرة الوحدة. |
القوانين والنظريات والقواعد
تعريف الدوال المثلثية الأساسية
sinθ = y
cosθ = x
tanθ = y / x (x ≠ 0)
شرط التطبيق: يجب أن تكون النقطة $(x,y)$ على دائرة الوحدة (أي $x^2+y^2=1$).
ملاحظة: الزوج المرتب $(x,y)$ يُكتب دائمًا على الصورة $(\cosθ,\sinθ)$.
مقلوبات الدوال المثلثية
secθ = 1 / cosθ = 1 / x (x ≠ 0)
cscθ = 1 / sinθ = 1 / y (y ≠ 0)
cotθ = 1 / tanθ = x / y (y ≠ 0)
شرط التطبيق: لا يجوز القسمة على صفر؛ لذا يجب التحقق من عدم انعدام المقام.
علاقة فيثاغورث على دائرة الوحدة
sin²θ + cos²θ = 1
شرط التطبيق: صحيحة لكل زاوية $\theta$ في الوضع القياسي.
علاقة الظل بالجيب وجيب التمام
tanθ = sinθ / cosθ (cosθ ≠ 0)
cotθ = cosθ / sinθ (sinθ ≠ 0)
إشارات الدوال في الأرباع
| الربع | نطاق الزاوية | إشارة sin | إشارة cos | إشارة tan | إشارة sec | إشارة csc | إشارة cot |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الأول | $0^\circ<\theta<90^\circ$ | + | + | + | + | + | + |
| الثاني | $90^\circ<\theta<180^\circ$ | + | – | – | – | + | – |
| الثالث | $180^\circ<\theta<270^\circ$ | – | – | + | – | – | + |
| الرابع | $270^\circ<\theta<360^\circ$ | – | + | – | + | – | – |
ملاحظة: “+” تعني موجبة، “–” تعني سالبة.
قيم الدوال للزوايا الخاصة
θ = 0° أو 360° : cosθ = 1 , sinθ = 0 , tanθ = 0 (undef. إذا كان cosθ = 0)
θ = 90° : cosθ = 0 , sinθ = 1 , tanθ = غير معرف
θ = 180° : cosθ = –1 , sinθ = 0 , tanθ = 0
θ = 270° : cosθ = 0 , sinθ = –1 , tanθ = غير معرف
أمثلة محلولة
مثال 1 – سهل
المعطى: نقطة $C\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)$ تقع على دائرة الوحدة. احسب $\sin\theta , \cos\theta , \tan\theta$.
الحل:
- من تعريف الدوال على دائرة الوحدة: $\cos\theta = x = \dfrac{3}{5}$.
- $\sin\theta = y = \dfrac{4}{5}$.
- $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}= \dfrac{4/5}{3/5}= \dfrac{4}{3}$.
النتيجة: $\cos\theta = \dfrac{3}{5},; \sin\theta = \dfrac{4}{5},; \tan\theta = \dfrac{4}{3}$.
مثال 2 – متوسط
المعطى: الزاوية $\theta = 130^\circ$ تقع في الربع الثاني. حدد إشارة $\sin\theta , \cos\theta , \tan\theta$.
الحل:
- الربع الثاني → $\sin$ موجبة، $\cos$ سالبة، $\tan$ سالبة.
- إذن $\sin130^\circ >0$، $\cos130^\circ <0$، $\tan130^\circ <0$.
النتيجة: إشارة $\sin130^\circ$ موجبة، $\cos130^\circ$ سالبة، $\tan130^\circ$ سالبة.
مثال 3 – صعب
المعطى: الزاوية $\theta$ في الوضع القياسي تقطع دائرة الوحدة عند النقطة $B( x , y )$ حيث $x = \dfrac{5}{13}$ و$y>0$. احسب جميع الدوال المثلثية $\sin\theta , \cos\theta , \tan\theta , \sec\theta , \csc\theta , \cot\theta$.
الحل:
- $\cos\theta = x = \dfrac{5}{13}$.
- من علاقة فيثاغورث: $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta = 1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1-\dfrac{25}{169}= \dfrac{144}{169}$.
إذن $\sin\theta = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}$ (موجبة لأن $y>0$). - $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}= \dfrac{12/13}{5/13}= \dfrac{12}{5}$.
- $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}= \dfrac{13}{5}$.
- $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}= \dfrac{13}{12}$.
- $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}= \dfrac{5}{12}$.
النتيجة:
$$\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{12}{13},\quad \cos\theta = \frac{5}{13},\quad \tan\theta = \frac{12}{5},\ \sec\theta &= \frac{13}{5},\quad \csc\theta = \frac{13}{12},\quad \cot\theta = \frac{5}{12}. \end{aligned}$$
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- خلط إشارة الدوال في الربع الثالث: كثيرًا ما يُخطئ الطالب في اعتبار $\sin$ موجبة في الربع الثالث؛ الحقيقة أنها سالبة.
- قسمة على صفر عند حساب الظل أو الظل تمام: إذا كان $\cos\theta = 0$ (مثلاً $\theta = 90^\circ$ أو $270^\circ$) فإن $\tan\theta$ غير معرف؛ يجب الإشارة إلى ذلك.
- استخدام علاقة فيثاغورث قبل التأكد من أن النقطة على دائرة الوحدة: إذا كان $(x,y)$ لا يحقق $x^2+y^2=1$ فإن $\sin^2\theta+\cos^2\theta\neq1$.
- نسيان تحويل الزوايا الكبيرة إلى نطاق $[0^\circ,360^\circ)$: مثال $\theta = 650^\circ$ يجب اختصاره إلى $\theta = 290^\circ$ قبل تحديد الإشارة.
- الخلط بين القاطع (sec) والقاطع تمام (csc): القاطع هو مقلوب جيب التمام، والقاطع تمام هو مقلوب الجيب؛ لا يجوز تبادلهما.
قائمة المراجعة
- هل حددت إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة بدقة؟
- هل تحققت من أن $x^2+y^2=1$ قبل استعمال علاقة فيثاغورث؟
- هل استخدمت الصيغة $\sin\theta = y$ و$\cos\theta = x$ بشكل صحيح؟
- هل حسبت $\tan\theta$ فقط عندما يكون $\cos\theta\neq0$؟
- هل حددت إشارة كل دالة وفق الربع المناسب؟
- هل حولت الزوايا التي تتجاوز $360^\circ$ أو سالبة إلى نطاق $[0^\circ,360^\circ)$؟
- هل استخدمت القواعد الخاصة بالزوايا الخاصة (0°,90°,180°,270°,360°) عند الحاجة؟
- هل تحققت من عدم وجود قسمة على صفر عند حساب $\sec\theta , \csc\theta , \cot\theta$؟
- هل راجعت علاقة $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ بعد حساب القيم؟
- هل كتبت جميع القيم في أبسط صورة ككسر أو عدد صحيح؟
- هل استخدمت العلامة “غير معرف” (undefined) عندما يكون المقام صفرًا؟
- هل راجعت الإجابات مع الإشارات المتوقعة للربع المعطى؟
جميع القوانين دفعة واحدة
sinθ = y
cosθ = x
tanθ = y / x (x ≠ 0)
secθ = 1 / cosθ = 1 / x (x ≠ 0)
cscθ = 1 / sinθ = 1 / y (y ≠ 0)
cotθ = 1 / tanθ = x / y (y ≠ 0)
sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ (cosθ ≠ 0)
cotθ = cosθ / sinθ (sinθ ≠ 0)
إشارات الدوال:
الربع الأول (+,+,+) للـ sin, cos, tan
الربع الثاني (+,–,–)
الربع الثالث (–,–,+)
الربع الرابع (–,+,–)
قيمة الدوال للزوايا الخاصة:
θ=0° : cos=1 , sin=0 , tan=0
θ=90° : cos=0 , sin=1 , tan=غير معرف
θ=180° : cos=–1, sin=0 , tan=0
θ=270° : cos=0 , sin=–1, tan=غير معرف
θ=360° : cos=1 , sin=0 , tan=0
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.