ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول القياس الستيني والقياس الدائري لزاوية

أهداف التعلم

1. تعريف الزاوية النصف قطرية (الراديان) وفهم أصل تسميتها.
2. إتقان العلاقة بين القياس الستيني (الدرجات) والقياس الدائري (الراديان).
3. حساب طول القوس في أي دائرة باستخدام الصيغة $L = \theta \times r$ حيث $\theta$ بالراديان.
4. تحويل الزوايا بين الدرجات والراديان بدقة، مع مراعاة الدقائق والثواني.
5. تطبيق مفهوم دائرة الوحدة لاشتقاق القيم الأساسية $\pi$ و$2\pi$.
6. حل مسائل تطبيقية تتضمن حساب أطوال أقواس، إيجاد نصف القطر أو الزاوية من المعطيات.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الزاوية النصف قطرية (Radian angle): الزاوية المركزية في دائرة تحصر قوسًا طوله يساوي نصف قطر تلك الدائرة. يرمز لها بـ $(1^{c})$ وتُقرأ “واحد راديان”.
• دائرة الوحدة: دائرة نصف قطرها يساوي الوحدة (1). في هذه الدائرة يكون محيطها $2\pi$ راديان، وهو ما يساوي $360^{\circ}$ بالقياس الستيني.
• القياس الستيني: نظام قياس الزوايا بالدرجات، حيث $360^{\circ}$ يساوي دورة كاملة. كل درجة تُقسم إلى 60 دقيقة، وكل دقيقة إلى 60 ثانية.
• القياس الدائري (الرادياني): نظام قياس الزوايا يعتمد على نسبة طول القوس إلى نصف القطر. النسبة ثابتة وتُعطي قيمة الزاوية بالراديان.

---

القوانين والنظريات والقواعد

تعريف الزاوية النصف قطرية

الزاوية النصف قطرية هي الزاوية المركزية التي تحصر قوسًا طوله يساوي نصف قطر الدائرة.

شرط التطبيق: يجب أن يكون القوس المقابل للزاوية معروفًا أو يُعطى بطول نصف القطر.
ملاحظة: إذا كان نصف القطر = 1 (دائرة الوحدة) فإن طول القوس يساوي مقدار الزاوية بالراديان مباشرة.

علاقة القياس الستيني بالقياس الدائري

θ(rad) / π = x° / 180°

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاوية معطاة إما بالدرجات أو بالراديان لتطبيق العلاقة.
ملاحظة: من العلاقة نستنتج أن $\pi$ rad = 180°، وبالتالي 1 rad ≈ 57° 17′ 45″.

صيغة طول القوس

L = θ × r

حيث:

• $L$ : طول القوس.
• $\theta$ : قياس الزاوية بالراديان.
• $r$ : نصف قطر الدائرة.

شرط التطبيق: يجب أن يكون $\theta$ بالراديان؛ إذا كان بالدرجات يلزم تحويله أولًا.
ملاحظة: في دائرة الوحدة ($r = 1$) يصبح $L = \theta$.

تحويل الدرجات إلى راديان

θ(rad) = (x° × π) / 180°

شرط التطبيق: الزاوية معطاة بالدرجات (قد تشمل دقائق وثوانٍ).
ملاحظة: استخدم القيم الدقيقة للπ (3.14159…) للحصول على نتائج دقيقة.

تحويل الراديان إلى درجات

x° = (θ(rad) × 180°) / π

شرط التطبيق: الزاوية معطاة بالراديان.
ملاحظة: النتيجة قد تحتاج إلى تحويل إلى دقائق وثوانٍ إذا طُلب ذلك.

ثابت النسبة بين طول القوس ونصف القطر

θ = L / r

شرط التطبيق: يُستعمل عندما يُعطى طول القوس ونصف القطر وتُراد معرفة قياس الزاوية بالراديان.
ملاحظة: هذه الصيغة هي نفسها صيغة طول القوس مع إعادة ترتيب المتغيرات.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: دائرة نصف قطرها $8$ سم، قياس الزاوية المركزية $\theta = \dfrac{5\pi}{12}$ راديان.
المطلوب: حساب طول القوس إلى أقرب جزء من المئة.

الحل:

1. نستخدم صيغة طول القوس $L = \theta \times r$.
2. $L = \dfrac{5\pi}{12} \times 8 = \dfrac{40\pi}{12} = \dfrac{10\pi}{3}$.
3. بحساب عددياً: $\dfrac{10 \times 3.14159}{3} \approx 10.47$ سم.

النتيجة: طول القوس ≈ 10.47 سم.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: دائرة نصف قطرها $5$ سم وزاوية قياسها $90^{\circ}$.
المطلوب: حساب طول القوس إلى أقرب جزء من العشرة.

الحل:

1. تحويل الزاوية إلى راديان:

$$\theta = \frac{90^{\circ} \times \pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$

2. تطبيق صيغة القوس:

$$L = \theta \times r = \frac{\pi}{2} \times 5 = \frac{5\pi}{2}$$

3. عددياً: $\frac{5 \times 3.14159}{2} \approx 7.85$ سم.

النتيجة: طول القوس ≈ 7.9 سم.

---

مثال 3 – صعب

المعطى: دائرة نصف قطرها غير معروف، طول القوس $L = 27.3$ سم، والزاوية المركزية $\theta = 78^{\circ} 0' 24''$.
المطلوب: إيجاد نصف القطر $r$ إلى أقرب جزء من العشرة.

الحل:

1. تحويل الزاوية إلى راديان:
   • أولاً نحول الدقائق والثواني إلى جزء من الدرجة:

$$0' = 0/60^{\circ}=0^{\circ},\qquad 24'' = 24/3600^{\circ}=0.006667^{\circ}$$

• إذن $\theta = 78.006667^{\circ}$.

2. تحويل إلى راديان:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{78.006667 \times \pi}{180} \approx 1.361\ \text{rad}$$

3. من صيغة القوس $L = \theta \times r$ نحصل على:

$$r = \frac{L}{\theta} = \frac{27.3}{1.361} \approx 20.06\ \text{سم}$$

4. تقريب إلى أقرب جزء من العشرة: 20.1 سم.

النتيجة: نصف القطر ≈ 20.1 سم.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الوحدات: استخدام الزاوية بالدرجات مباشرة في صيغة $L = \theta \times r$ دون تحويلها إلى راديان يؤدي إلى نتائج خاطئة.
• إهمال الدقائق والثواني: عند تحويل الزاوية من الدرجات إلى راديان، يجب تحويل الدقائق (÷60) والثواني (÷3600) إلى جزء من الدرجة.
• نقطة الفاصلة العشرية: في حسابات الطول، يُستحسن الاحتفاظ بأكثر من منزلتين عشريتين خلال العملية ثم تقريب النتيجة النهائية فقط.
• دائرة الوحدة: في بعض الأسئلة يُفترض أن نصف القطر = 1؛ إذا لم يُذكر صراحةً يجب التحقق من النص قبل الافتراض.
• قيمة $\pi$ غير دقيقة: استخدام $\pi \approx 3$ يعطي أخطاء ملحوظة؛ يفضَّل استعمال $\pi \approx 3.14159$ أو القيمة المدمجة في الآلة الحاسبة.

---

قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)

1. هل عرفت تعريف الزاوية النصف قطرية بدقة؟
2. هل حفظت علاقة $\pi$ راديان = 180°؟
3. هل تستطيع تحويل أي زاوية من درجات إلى راديان والعكس؟
4. هل تتذكر صيغة طول القوس $L = \theta \times r$؟
5. هل تعرف كيف تُحوِّل الدقائق والثواني إلى جزء من الدرجة؟
6. هل تستطيع حساب نصف القطر إذا عُرف طول القوس والزاوية؟
7. هل تتقن تقريب النتائج إلى العدد المطلوب من المنازل (عشرية، جزء من عشرة، جزء من مئة)؟
8. هل تميز بين دائرة الوحدة (r = 1) وبين دائرة ذات نصف قطر مختلف؟
9. هل تتذكر أن النسبة $L/r$ هي قياس الزاوية بالراديان؟
10. هل تستطيع تطبيق العلاقة $\theta = L/r$ في مسائل العكس؟
11. هل تتجنب الخلط بين الراديان والدرجات في الصيغ؟
12. هل تستخدم الآلة الحاسبة العلمية في تحويل الوحدات بدقة؟
13. هل تتحقق من صحة الوحدات في النتيجة النهائية (سم، درجة، راديان)؟
14. هل تتأكد من أن الزاوية لا تتجاوز $2\pi$ راديان أو $360^{\circ}$ إذا لم يُذكر غير ذلك؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

الزاوية النصف قطرية: الزاوية التي تحصر قوسًا بطول نصف القطر.
θ(rad) / π = x° / 180°
L = θ × r
θ(rad) = (x° × π) / 180°
x° = (θ(rad) × 180°) / π
θ = L / r
π rad = 180°
1 rad ≈ 57° 17' 45"

بالتوفيق في امتحاناتك!