ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول الزاوية الموجهة

أهداف التعلم

1. التعرف على مفهوم الزاوية الموجهة وتمييزها عن الزاوية العادية.
2. معرفة الوضع القياسي للزاوية الموجهة وتحديد متى تكون في هذا الوضع.
3. فهم القياس الموجب والقياس السالب للزاوية الموجهة وربطهما باتجاه عقارب الساعة.
4. تحويل القياسات بين الدرجة والراديان واستخدام العلاقة ‎$180° = π$ راديان.
5. تحديد إشارات الدوال المثلثية (sin, cos, tan, csc, sec, cot) في الأرباع الأربعة للمستوى الإحداثي.
6. استنتاج الزوايا المكافئة التي لها نفس القيم المثلثية واستخدامها في حل المعادلات المثلثية.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قاعدة الاتجاه الموجب والسالب للزاوية الموجهة

إذا كان الاتجاه من OA إلى OB عكس عقارب الساعة → قياس موجب
إذا كان الاتجاه من OA إلى OB مع عقارب الساعة → قياس سالب

شرط التطبيق: يجب أن يكون الرأس O هو نقطة التقاء الشعاعين.
ملاحظة: لا يجوز الخلط بين الاتجاه الموجب للزاوية العادية (التي لا تُعطى اتجاهًا) والاتجاه الموجب للزاوية الموجهة.

2. مجموع الزوايا المتجمعة حول نقطة

مجموع قياسات جميع الزوايا الموجهة المتجمعة حول نقطة = 360°

شرط التطبيق: الزوايا يجب أن تكون متجاورة وتغطي كامل الدائرة.
ملاحظة: إذا كان أحد القياسات سالبًا، يُضاف قيمته السالبة إلى المجموع.

3. التحويل بين الدرجة والراديان

° → راديان :   rad = deg × π ÷ 180
راديان → ° :   deg = rad × 180 ÷ π

شرط التطبيق: يجب استعمال قيمة π ≈ 3.14159 عند الحساب.
ملاحظة: في الاختبارات يُستحب ترك النتيجة على شكل كسر بسيط إذا كان ذلك ممكنًا (مثلاً 30° = π/6 راديان).

4. إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة

الربع الأول (0° – 90°)   : sin > 0 , cos > 0 , tan > 0
الربع الثاني (90° – 180°): sin > 0 , cos < 0 , tan < 0
الربع الثالث (180° – 270°): sin < 0 , cos < 0 , tan > 0
الربع الرابع (270° – 360°): sin < 0 , cos > 0 , tan < 0

شرط التطبيق: يجب معرفة الربع الذي تقع فيه الزاوية.
ملاحظة: الدوال المتممة (csc, sec, cot) تتبع نفس إشارات الدوال الأساسية.

5. الزوايا المكافئة

θ₁ ≡ θ₂  إذا كان  θ₁ = θ₂ + k·360°   أو   θ₁ = θ₂ + k·2π   (k عدد صحيح)

شرط التطبيق: يمكن إضافة أو طرح أي عدد صحيح من الدورات الكاملة.
ملاحظة: تُستعمل هذه القاعدة لتبسيط الزوايا قبل حساب القيم المثلثية أو حل المعادلات.

6. القيم المثلثية للزوايا الخاصة (30°, 45°, 60°)

sin 30° = ½          cos 30° = √3 ÷ 2          tan 30° = 1 ÷ √3
sin 45° = √2 ÷ 2     cos 45° = √2 ÷ 2         tan 45° = 1
sin 60° = √3 ÷ 2     cos 60° = ½              tan 60° = √3

شرط التطبيق: تُستعمل عندما تكون الزاوية مساوية أو مكافئة لتلك القيم.
ملاحظة: يمكن تحويل القيم إلى راديان إذا استُدعي ذلك في السؤال.

7. الحل العام للمعادلات المثلثية

sin (A·x) = cos (B·x)   →   A·x = 90° – B·x + k·360°
tan (A·x) = cot (B·x)   →   A·x = 90° – B·x + k·180°
sec (A·x) = csc (B·x)   →   A·x = 90° – B·x + k·360°

شرط التطبيق: يجب أن تكون جميع المتغيرات في نفس وحدة القياس.
ملاحظة: بعد إيجاد الحلول العامة، يُستحب تقليلها إلى قيم داخل الفترة المطلوبة (عادةً $[0°,360°)$ أو $[0,2π)$).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب قياس الزاوية الموجهة $\theta$ في الشكل (أ) إذا كان قياس الزاوية الموجبة هو $55°$ واتجاهها عكس عقارب الساعة.

الحل:

1. بما أن الاتجاه عكس عقارب الساعة فالقياس موجب.
2. الزاوية المتجمعة حول النقطة تساوي $360°$. لذا

$$\theta = -(360° - 55°) = -305°$$

3. إذا أردنا قياسًا ضمن $[0°,360°)$ نضيف $360°$:

$$\theta = 55°$$

النتيجة: $\theta = -305°$ أو مكافئها $55°$.

مثال 2 – متوسط

المطلوب: في المستوى الإحداثي، الزاوية الموجهة $\alpha$ لها الضلع الابتدائي على المحور الموجب $x$ والضلع النهائي يمر بالنقطة $(-3,4)$. احسب قياس $\alpha$ بالدرجات.

الحل:

1. إحداثيات النقطة $(-3,4)$ تقع في الربع الثاني.
2. الزاوية المرجعية مع المحور الموجب $x$ هي $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) ≈ 53.13°$.
3. بما أن النقطة في الربع الثاني، فإن قياس الزاوية الموجهة هو

$$\alpha = 180° - 53.13° = 126.87°$$

4. الاتجاه من المحور الموجب إلى النقطة هو عكس عقارب الساعة → قياس موجب.
   النتيجة: $\alpha ≈ 126.9°$.

مثال 3 – صعب

المطلوب: حل المعادلة $\sin (2x) = \cos (x)$ للمتغير $x$ بحيث $0° ≤ x < 360°$.

الحل:

1. نكتب $\cos (x) = \sin (90° - x)$.
2. إذن المعادلة تصبح $\sin (2x) = \sin (90° - x)$.
3. مساواة الزوايا داخل الدالة $\sin$ تعطي حالتين:
   • الحالة الأولى: $2x = 90° - x + k·360°$

$$3x = 90° + k·360° \Rightarrow x = 30° + k·120°$$

• الحالة الثانية: $2x = 180° - (90° - x) + k·360° = 90° + x + k·360°$

$$x = 90° + k·360°$$

4. نختار القيم داخل الفترة المطلوبة:

   • من الحالة الأولى:
     $k=0 → x = 30°$
     $k=1 → x = 150°$
     $k=2 → x = 270°$
   • من الحالة الثانية:
     $k=0 → x = 90°$

5. إذن حلول المعادلة هي $x = 30°, 90°, 150°, 270°$.

النتيجة: $x ∈ {30°, 90°, 150°, 270°}$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الاتجاه الموجب والسالب: كثيرًا ما يُخطئ الطالب في تحديد ما إذا كان الدوران عكس أو مع عقارب الساعة، خاصةً عندما تكون الزاوية موصوفة بعبارة “زاوية موجهة سالب”.
• نسيان أن الزاوية الموجهة هي زوج مرتب: لا يجوز تبديل موضع الضلع الابتدائي بالنهائي؛ $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) ≠ (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})$.
• استخدام وحدة قياس غير متطابقة: عند تحويل أو حل معادلات، يجب أن تكون جميع القيم إما بالدرجات أو بالراديان، ولا يجوز خلطهما.
• إهمال الزوايا المكافئة: عند حساب القيم المثلثية، يجب تقليل الزاوية إلى المجال الأساسي $[0°,360°)$ أو $[0,2π)$ لتجنب الأخطاء.
• خطأ في إشارة الدوال بالمربعات: كثيرًا ما يُخطئ الطالب في تحديد إشارة $\tan$ في الربع الرابع، حيث تكون سالبة رغم أن $\sin$ سالب و$\cos$ موجب.
• نسيان أن الزوايا الربعية لا تملك قيم مثلثية معرفة للجيب أو جيب التمام (مثلاً $\tan 90°$ غير معرف).
• إهمال القاعدة “مجموع الزوايا المتجمعة = 360°” عند حساب قياس زاوية موجهة سالب أو إيجاد الزاوية المكملة.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت الزوج المرتب $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ للزاوية الموجهة؟
2. هل حددت ما إذا كان الاتجاه عكس أم مع عقارب الساعة؟
3. هل حسبت قياس الزاوية باستخدام قاعدة $360°$ إذا لزم الأمر؟
4. هل حولت الوحدات بين الدرجة والراديان بشكل صحيح؟
5. هل عرفت موقع الزاوية في أحد الأرباع الأربعة للمستوى الإحداثي؟
6. هل طبقت إشارات الدوال المثلثية وفقًا للربع؟
7. هل استخدمت الزوايا المكافئة لتبسيط القيم أو حل المعادلات؟
8. هل تذكرت القيم المثلثية للزوايا الخاصة (30°,45°,60°) عند الحاجة؟
9. هل تحققت من أن الزاوية ليست إحدى الزوايا الربعية قبل حساب $\tan$ أو $\cot$؟
10. هل استخدمت الصيغة العامة لحل المعادلات $\sin A x = \cos B x$ أو $\tan A x = \cot B x$ بشكل صحيح؟
11. هل أعدت كتابة الحلول في المجال المطلوب $[0°,360°)$ أو $[0,2π)$؟
12. هل راجعت خطوات التحويل بين الوحدات قبل إدخال القيم في الآلة الحاسبة العلمية؟
13. هل تأكدت من أن القيم المدخلة للآلة الحاسبة في الوضع “درجة” أو “راديان” حسب المطلوب؟
14. هل استخدمت الرسم البياني للدوال المثلثية لتفسير سلوك القيم؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

الزاوية الموجهة: (OA,OB)   →   قياس موجب إذا كان الاتجاه عكس عقارب الساعة
القياس السالب: إذا كان الاتجاه مع عقارب الساعة
مجموع الزوايا المتجمعة حول نقطة = 360°
تحويل: rad = deg × π ÷ 180   ;   deg = rad × 180 ÷ π
إشارات الدوال:
   Q1: sin>0, cos>0, tan>0
   Q2: sin>0, cos<0, tan<0
   Q3: sin<0, cos<0, tan>0
   Q4: sin<0, cos>0, tan<0
الزوايا المكافئة: θ₁ = θ₂ + k·360°  أو  θ₁ = θ₂ + k·2π
قيم خاصة:
   sin30°=½ , cos30°=√3÷2 , tan30°=1÷√3
   sin45°=√2÷2 , cos45°=√2÷2 , tan45°=1
   sin60°=√3÷2 , cos60°=½ , tan60°=√3
حل المعادلات العامة:
   sin(Ax)=cos(Bx) → Ax = 90° – Bx + k·360°
   tan(Ax)=cot(Bx) → Ax = 90° – Bx + k·180°
   sec(Ax)=csc(Bx) → Ax = 90° – Bx + k·360°

---

بالتوفيق في امتحاناتك!