ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول منصفا الزاوية والأجزاء المتناسبة

أهداف التعلم

1. تعريف منصف الزاوية الداخلية والخارجية في المثلث.
2. إظهار علاقة التناسب بين أطوال الأضلاع والجزء المقسوم من القاعدة عند منصف الزاوية.
3. إثبات صيغة طول منصف الزاوية الداخلية باستخدام خاصية تقاطع القطوع.
4. تطبيق قاعدة التناسب لحساب أطوال الأجزاء المقطوعة (BD, DC, BE, EC).
5. حل مسائل تطبيقية تتضمن حساب أطوال منصف الزاوية الداخلية والخارجية.
6. التعرف على الأخطاء الشائعة في استعمال خصائص منصف الزاوية وتصحيحها.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• منصف الزاوية الداخلية: الخط المستقيم الذي يمر برأس الزاوية داخل المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين متساويين، ويقاطع الضلع المقابل في نقطة داخلية تسمى نقطة التقسيم الداخلية (D).
• منصف الزاوية الخارجية: الخط المستقيم الذي يمر برأس الزاوية ويقسم الزاوية الخارجية (المكملة للزاوية الداخلية) إلى نصفين متساويين، ويقاطع امتداد الضلع المقابل في نقطة خارجية تسمى نقطة التقسيم الخارجية (E).
• خاصية التناسب للمنصف الداخلي: إذا كان AD منصفًا للزاوية A في المثلث ABC، فإن

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$$

أي أن النسبة بين الضلعين المجاورين للزاوية تساوي النسبة بين الجزأين المقسومين من الضلع المقابل.

• خاصية التناسب للمنصف الخارجي: إذا كان AE منصفًا للزاوية الخارجية عند A، فإن

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}$$

حيث BE و EC هما الجزآن المقسومان من امتداد الضلع BC خارج المثلث.

• خاصية تقاطع القطوع: عندما يقطع منصف الزاوية الداخلية AD دائرة تمر برؤوس المثلث ABC في نقطة E على AD، فإن

$$AD \times DE = BD \times DC$$

وهذا يعطينا علاقة بين أطوال القطعات المتقابلة.

• صيغة طول منصف الزاوية الداخلية: من خلال الجمع بين خاصية التناسب وخاصية تقاطع القطوع نحصل على

$$AD = \sqrt{AB \times AC - BD \times DC}$$

• تقاطع منصفي الزاوية الداخلية والخارجية: المنصفان AD و AE متعامدان (زاوية 90°) عندما يتقاطعان في نقطة داخلية وخارجية للضلع BC.
• توازي منصفي الضلعين: إذا كان DX منصفًا للزاوية D في المثلث ADB و DY منصفًا للزاوية D في المثلث ADC، فإن الخط XY يوازي الضلع BC.
• توازي القطعات: إذا كان AD منصفًا للزاوية A في المثلث ABC، فإن الخطوط المتقابلة التي تنشأ من التوازي (مثل EF // BC) تتبع نفس النسبة.

---

القوانين والنظريات والقواعد

خاصية التناسب للمنصف الداخلي

AB / AC = BD / DC

شرط التطبيق: AD يجب أن يكون منصفًا للزاوية A داخل المثلث ABC ويقاطع BC في نقطة داخلية D.
ملاحظة: إذا كان AB = AC فإن D يصبح نقطة منتصف BC (BD = DC).

خاصية التناسب للمنصف الخارجي

AB / AC = BE / EC

شرط التطبيق: AE منصف للزاوية الخارجية عند A ويقاطع امتداد BC في نقطة خارجية E.
ملاحظة: إذا كان AB > AC فإن BE > EC، والعكس صحيح.

خاصية تقاطع القطوع (منتصف القطر)

AD × DE = BD × DC

شرط التطبيق: AD يقطع دائرة تمر برؤوس المثلث ABC في نقطة E على AD.
ملاحظة: تُستعمل هذه الخاصية لاشتقاق صيغة طول المنصف.

صيغة طول منصف الزاوية الداخلية

AD = √(AB × AC - BD × DC)

شرط التطبيق: AD منصف للزاوية A داخل المثلث ABC.
ملاحظة: لا يُطلب إثبات الصيغة في الامتحان، لكن يجب معرفتها للتطبيق.

علاقة التوازي بين XY و BC

إذا كان DX منصفًا للزاوية D في ADB و DY منصفًا للزاوية D في ADC → XY // BC

شرط التطبيق: D هو نقطة تقاطع منصف الضلعين داخل المثلث.
ملاحظة: تُستعمل لتبسيط حسابات الأطوال في مسائل الهندسة.

توازي منصفي الزاوية الداخلية والخارجية

AD ⟂ AE

شرط التطبيق: AD منصف داخلي و AE منصف خارجي للزاوية نفسها.
ملاحظة: النتيجة تُستنتج من خصائص الدائرة المتقابلة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: في المثلث ABC، AB = 27 سم، AC = 15 سم، BD = 18 سم. احسب طول AD.

الحل:

1. باستخدام خاصية التناسب للمنصف الداخلي:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{27}{15} = \frac{18}{DC}$$

إذن $DC = 10$ سم.
2. تطبيق صيغة طول المنصف:

$$AD = √(AB × AC - BD × DC) = √(27 × 15 - 18 × 10) = √(225) = 15 \text{ سم}$$

النتيجة: طول AD = 15 سم.

مثال 2 – متوسط

المعطى: في المثلث ABC، AB = 8 سم، AC = 6 سم، BC = 7 سم. AD منصف للزاوية A ويقاطع BC في D. احسب BD و DC.

الحل:

1. خاصية التناسب للمنصف الداخلي:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{8}{6} = \frac{BD}{DC}$$

وبما أن $BD + DC = BC = 7$ سم، نحصل على نظام معادلتين:

$$BD = \frac{8}{6} DC \quad و \quad BD + DC = 7$$

2. بحل النظام:

$$\frac{8}{6} DC + DC = 7 \Rightarrow \frac{14}{6} DC = 7 \Rightarrow DC = 3 \text{ سم}$$

وبالتالي $BD = 4$ سم.
النتيجة: BD = 4 سم، DC = 3 سم.

مثال 3 – صعب

المعطى: في المثلث ABC، AB = 6 سم، AC = 4 سم، BC = 5 سم. AD منصف للزاوية A داخليًا، AE منصف للزاوية الخارجية عند A ويقاطع BC في E. احسب طول القطعة DE.

الحل:

1. من خاصية التناسب للمنصف الداخلي:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{6}{4} = \frac{BD}{DC}$$

مع $BD + DC = BC = 5$ سم.
بحل النظام نحصل على $BD = 3$ سم، $DC = 2$ سم.
2. من خاصية التناسب للمنصف الخارجي:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC} \Rightarrow \frac{6}{4} = \frac{BE}{EC}$$

مع $BE = BD + DC + EC = 5 + EC$. بحل المعادلة نجد $EC = 2$ سم، وبالتالي $BE = 7$ سم.
3. خاصية تقاطع القطوع تعطي:

$$AD × DE = BD × DC \Rightarrow DE = \frac{BD × DC}{AD}$$

أولاً نحسب AD باستخدام الصيغة:

$$AD = √(AB × AC - BD × DC) = √(6 × 4 - 3 × 2) = √(24 - 6) = √18 = 3√2 \text{ سم}$$

ثم:

$$DE = \frac{3 × 2}{3√2} = \frac{6}{3√2} = \frac{2}{√2} = √2 \text{ سم}$$

النتيجة: طول DE = √2 سم ≈ 1.41 سم.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط بين النسبة الداخلية والنسبة الخارجية: يجب التأكد من أن النسبة المستخدمة تتطابق مع نوع المنصف (داخلي أو خارجي).
• نسيان أن BD + DC = BC عند حساب الأطوال؛ هذا الشرط أساسي لحل نظام المعادلات.
• استخدام الصيغة العامة للمنصف دون التحقق من صحة الشرط (مثلاً، إذا كان AD لا يمر عبر رأس الزاوية أو لا يقطع الضلع المقابل).
• إهمال خاصية تقاطع القطوع عند الحاجة إلى حساب DE؛ الاعتماد فقط على التناسب قد يعطي نتيجة غير صحيحة.
• خطأ في حساب الجذر: يجب تبسيط الجذر بدقة وعدم إهمال العامل المشترك داخل الجذر.
• الافتراض الخاطئ أن منصف الزاوية الداخلية والخارجية دائماً متعامدان؛ هذا صحيح فقط عندما تكون المنصفان يمران عبر نفس الرأس ويقاطعان الضلع المقابل داخل وخارج المثلث.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت ما هو منصف الزاوية الداخلية؟
2. هل عرفت ما هو منصف الزاوية الخارجية؟
3. هل تذكر خاصية التناسب للمنصف الداخلي $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$؟
4. هل تذكر خاصية التناسب للمنصف الخارجي $\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}$؟
5. هل تتأكد من أن $BD + DC = BC$ عند حساب الأطوال؟
6. هل تستعمل خاصية تقاطع القطوع $AD × DE = BD × DC$ عندما يلزم؟
7. هل تستطيع استخراج صيغة طول المنصف الداخلي $AD = √(AB × AC - BD × DC)$؟
8. هل تعرف متى تكون منصفا الزاوية الداخلية والخارجية متعامدين؟
9. هل تستطيع تطبيق قاعدة التوازي XY // BC في مسائل المثلثات المتوسطة؟
10. هل تحسب الجذر بدقة وتبسطه إذا أمكن؟
11. هل تتحقق من أن القيم التي تحصل عليها منطقية (مثلاً، لا تكون سلبية أو أكبر من الضلع المقابل)؟
12. هل راجعت جميع الخطوات لتجنب الأخطاء الحسابية؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

AB / AC = BD / DC                     (منصف داخلي)
AB / AC = BE / EC                     (منصف خارجي)
AD × DE = BD × DC                     (تقاطع القطوع)
AD = √(AB × AC - BD × DC)             (صيغة طول المنصف الداخلي)
إذا كان AB = AC → BD = DC (نقطة منتصف)
إذا كان AB > AC → BD > DC و BE > EC
AD ⟂ AE                               (منصف داخلي وخارجي متعامدان)
DX منصف ∠D في ADB, DY منصف ∠D في ADC → XY // BC

---

بالتوفيق في امتحاناتك!