ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

أهداف التعلم

1. التعرف على مبرهنة ثاليس (Thales) وصياغتها بدقة.
2. استيعاب مبرهنة المستقيم المتوازي مع مبرهنة العكسية وتطبيقهما على مسائل التناسب.
3. فهم مبرهنة قاطع الزاوية الداخلية (المنصف الداخلي) ومبرهنة المنصف الخارجي وتطبيقهما على حساب أطوال الأضلاع.
4. استعمال مفهوم النقطة القوية بالنسبة إلى الدائرة (القطعات والقطعات المماسية) في حساب الأطوال.
5. استخراج قياسات الزوايا الناتجة عن تقاطع الأوتار والماسّات في الدائرة.
6. ربط المفاهيم الهندسية بالواقع (تخطيط الطرق، الزراعة، الهندسة المعمارية).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

مبرهنة ثاليس (Thales)

إذا كان DE // BC في المثلث ABC، فإن:
AB / AD = AC / AE

شرط التطبيق: يجب أن يكون DE موازياً لأحد أضلاع المثلث (BC) ويقاطع الضلعين الآخرين (AB, AC) في نقطتي D وE.
ملاحظة: يمكن كتابة النسب بصورة معكوسة $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ أو $\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE}$ حسب الحاجة.

مبرهنة المستقيم المتوازي (Parallel Proportionality)

إذا قطعت عدة خطوط مستقيمة متوازية قطعتين متقاطعتين (قاطعين) فإن النسب بين الفواصل المتقابلة متساوية.

شرط التطبيق: وجود أكثر من مستقيم موازٍ واحدًا على الأقل، مع وجود قطعتين متقاطعتين (مثلاً AB وAC).
ملاحظة: هذه المبرهنة هي أساس مبرهنة ثاليس وتستعمل في كثير من المسائل الهندسية.

مبرهنة المنصف الداخلي للزاوية

منصف الزاوية الداخلية في المثلث يقسم الضلع المقابل إلى جزأين يتناسبان مع طولي الضلعين المجاورين.

شرط التطبيق: المنصف يجب أن يمر برأس الزاوية داخل المثلث ويقابل الضلع المقابل في نقطة تقسمه.
ملاحظة: إذا كان المنصف يمر عبر رأس الزاوية A في المثلث ABC، فإن $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

مبرهنة المنصف الخارجي للزاوية

منصف الزاوية الخارجية يقطع الضلع المقابل خارجيًا بحيث:
\frac{BD}{DC} = -\frac{AB}{AC}

شرط التطبيق: المنصف يمر برأس الزاوية خارج المثلث ويقابل امتداد الضلع المقابل.
ملاحظة: العلامة السالبة تدل على أن أحد الجزأين يقع خارج الضلع الأصلي.

مبرهنة القوة للنقطة (Power of a Point)

إذا كانت القطعة DE تمر بنقطة P خارج دائرة وتقطعها في نقطتي A وB، فإن:
PA·PB = (نقطة القوة) = PT²   (حيث PT هي المماس من P إلى الدائرة)

شرط التطبيق: يجب أن تكون P خارج الدائرة، وأن تكون القطعة إما قاطعة أو مماسية.
ملاحظة: تُستعمل هذه المبرهنة لحساب أطوال غير معروفة في مسائل القطعات والماسّات.

مبرهنة قياس الزوايا الناتجة عن تقاطع الأوتار والماسّات

زاوية بين وترين = نصف قياس القوس المتقابل.
زاوية بين ماسّ ووتر = نصف قياس القوس المتقابل.

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزوايا في دائرة.
ملاحظة: تُستعمل لتحديد قياسات الزوايا في مسائل الدائرة.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: في المثلث $ABC$ رسم خط $DE$ موازٍ للضلع $BC$ ويقاطع $AB$ في $D$ و$AC$ في $E$. أعطى $AB = 6$ سم، $AC = 5$ سم، $AD = 12$ سم. احسب $AE$.

الحل:

1. من مبرهنة ثاليس: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
2. نعوض القيم: $\frac{12}{6} = \frac{AE}{5}$.
3. نحسب: $AE = 5 × 2 = 10$ سم.

النتيجة: $AE = 10$ سم.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: في الشكل نفسه، يوجد الخط $SH$ موازٍ للخط $DE$ (وبالتالي موازٍ للـ$BC$). معطى $AD = 12$ سم، $AE = 10$ سم (من المثال السابق)، و$EH = 4$ سم. احسب طول $DS$.

الحل:

1. في المثلث $ADE$ يكون $SH // DE$ ⇒ $\frac{AD}{DS} = \frac{AE}{EH}$ (نسبة القطع المتقابلة).
2. نعوض: $\frac{12}{DS} = \frac{10}{4}$.
3. نحسب: $DS = \frac{12 × 4}{10} = 4.8$ سم.

النتيجة: $DS = 4.8$ سم.

---

مثال 3 – صعب

المعطى: في مثلث $ABC$ مع $DE // AC$ و$AE$ يلتقي بـ$CD$ في النقطة $B$. المعطيات:

• (أ) $AB = 8$ سم، $BC = 9$ سم، $BE = 12$ سم. احسب $BD$.
• (ب) $AB = 6$ سم، $BE = 9$ سم، $CD = 18$ سم. احسب $BC$.

الحل (أ):

1. من مبرهنة ثاليس على المثلث $ABC$ مع الخط $DE // AC$: $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$.
2. نحتاج إلى علاقة أخرى؛ نستخدم أن $BE$ هو مجموع $BD + DE$ (لكن $DE$ غير معروف). نستبدل بـ$BE = BD + DE$.
3. نلاحظ أن $DE // AC$ ⇒ $\frac{BD}{BE} = \frac{BC}{BA}$ (نسبة القطع المتقابلة).
4. نعوض: $\frac{BD}{12} = \frac{9}{8}$ ⇒ $BD = 12 × \frac{9}{8} = 13.5$ سم.

الحل (ب):

1. نطبق مبرهنة ثاليس على المثلث $ABC$ مع الخط $DE // AC$: $\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{EC}$.
2. نعلم أن $BE = BD + DE$ و$DE // AC$ ⇒ $\frac{BD}{BE} = \frac{BC}{BA}$.
3. نعوض القيم: $\frac{BD}{9} = \frac{BC}{6}$ ⇒ $BD = \frac{9·BC}{6} = 1.5·BC$.
4. من المعطى $BE = 9$ سم ⇒ $9 = BD + DE$. لكن $DE$ يساوي $\frac{BC}{AB}·BD$ (من التناسب). بعد تبسيط نحصل على $BC = 12$ سم.

النتيجة: (أ) $BD = 13.5$ سم، (ب) $BC = 12$ سم.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الاتجاهات في النسب: يجب الحفاظ على ترتيب الأضلاع المقابلة (مثلاً $AB/AD$ وليس $AD/AB$ إذا استخدمنا صيغة مبرهنة ثاليس).
• نسيان أن الخط الموازٍ يجب أن يكون خارج أو داخل المثلث: إذا كان الخط داخل المثلث، فإن النسب لا تزال صحيحة لكن يجب التأكد من أن النقاط تقسم الأضلاع داخلها.
• إهمال وجود نقاط المنتصف: عند استعمال المنصف المتوسط، يجب التأكد أن النقطة هي منتصف الضلع فعلاً.
• الخلط بين المنصف الداخلي والخارجي: المنصف الداخلي يقسم الضلع داخل المثلث، بينما الخارجي يقسمه خارجًا؛ النسبة تختلف بإشارة سالبة في الحالة الخارجية.
• استخدام مبرهنة القوة دون التحقق من موقع النقطة: إذا كانت النقطة داخل الدائرة، لا يمكن تطبيق مبرهنة القوة بنفس الصيغة.

---

قائمة المراجعة

1. هل حددت أي ضلع من أضلاع المثلث هو الموازى للخط المرسوم؟
2. هل تأكدت من أن الخط المرسوم يقطع الضلعين الآخرين في نقطتين محددتين؟
3. هل استخدمت صيغة مبرهنة ثاليس بالترتيب الصحيح للأضلاع؟
4. هل تحقق من أن النسب المتساوية تعطي معادلات يمكن حلها بسهولة؟
5. هل طبقت مبرهنة المنصف الداخلي عندما يُطلب حساب أطوال على الضلع المقابل؟
6. هل تميزت بين المنصف الداخلي والخارجي في المسائل؟
7. هل استخدمت مبرهنة القوة فقط عندما تكون النقطة خارج الدائرة؟
8. هل حسبت قياسات الزوايا في الدائرة باستخدام نصف القوس المناسب؟
9. هل راعت أن جميع القواعد الهندسية تستند إلى بديهيات إقليدس (خاصة مبدأ التوازي)؟
10. هل تحققت من أن جميع القيم المستعملة في النسب ذات وحدة قياس واحدة؟
11. هل راجعت خطوات الحل للتأكد من عدم وجود اختصارات غير مبررة؟
12. هل قمت برسم مخطط توضيحي (حتى لو كان يدويًا) لتأكيد العلاقات المكانية؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

AB / AD = AC / AE                     (مبرهنة ثاليس)
AD / AB = AE / AC                     (مكافئ لمبرهنة ثاليس)
AD / BD = AE / CE                     (نسبة القطع المتقابلة)
BD / DC = AB / AC                     (منصف الزاوية الداخلية)
BD / DC = -AB / AC                    (منصف الزاوية الخارجية)
PA·PB = PT²                           (قوة النقطة)
زاوية بين وترين = نصف قياس القوس المتقابل
زاوية بين ماسّ ووتر = نصف قياس القوس المتقابل

بالتوفيق في امتحاناتك!