ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول تطبيقات التشابه في الدائرة

أهداف التعلم

1. فهم علاقة التشابه بين المثلثات المستخرجة من الأشكال داخل الدائرة.
2. إثبات قاعدة تقاطع الأوتار (قانون القوة للنقطة) واستخدامها في تحديد ما إذا كانت نقاط معينة تقع على دائرة واحدة.
3. استنتاج علاقة القطعة المماسية بطول جزئي للقطعة القاطعة (القطعة المستقيمة) من نقطة خارج الدائرة.
4. تمييز الحالات الخاصة: تقاطع الأوتار داخل الدائرة، تقاطعها خارج الدائرة، والقطعة المماسية المشتركة.
5. تطبيق مبدأ التشابه لحل مسائل هندسية تتضمن أطوالاً معطاة وإيجاد أطوال غير معروفة.
6. تطوير مهارة التحليل المنطقي لتبرير صحة النتائج باستخدام تعريفات ومبرهنات معروفة.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة تقاطع الأوتار (قانون القوة للنقطة)

EA × EB = EC × ED

شرط التطبيق: يجب أن تكون AB وCD قطعتان (أو وتران) تقع على نفس الدائرة، وأن يتقاطع امتدادهما في نقطة E خارج أو داخل الدائرة.
ملاحظة: إذا تحقق هذا الشرط فإن النقاط A,B,C,D تقع على دائرة واحدة (العكس).

قاعدة القطعة المماسية – القطعة القاطعة

EA² = EB × EC

شرط التطبيق: EA يجب أن تكون مماساً للدائرة عند A، وEB, EC هما جزئيّا القطعة القاطعة التي تمر عبر النقطة E وتقطع الدائرة في نقطتي B وC.
ملاحظة: تُستعمل هذه القاعدة لإيجاد طول المماس عندما تُعطى أطوال الجزأين القاطعين.

مبرهنة التشابه (AA)

إذا كان زوايا مثلثين متقابلة متساوية، فإن المثلثين متشابهان.

شرط التطبيق: وجود زوايا متساوية في المثلثين، عادةً عبر تقاطع الأوتار أو المماس.
ملاحظة: من التشابه نستنتج نسب الأضلاع المتقابلة، مثل EA/EC = ED/EB.

مبرهنة التشابه (SSS)

إذا كانت نسب أضلاع ثلاثة أضلاع في مثلثين متساوية، فإن المثلثين متشابهان.

شرط التطبيق: معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة وإثبات تساوي النسب.

قاعدة القطعة القاطعة المشتركة مع المماس (قانون القوة الموسع)

EA × EB = EC × ED   (عند تقاطع قطعتين)
EA² = EB × EC        (عند وجود مماس)

ملاحظة: يمكن دمج القاعدتين عندما تكون إحدى القطعتين مماساً للدوائر الأخرى.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – تطبيق قاعدة تقاطع الأوتار (سهل)

المعطى: في الشكل، تقاطع الوترين AB وCD في النقطة E بحيث EA = 4 سم، EB = 3 سم، EC = 9 سم. أوجد طول ED.

الحل:

1. نطبق قاعدة القوة للنقطة:
   EA × EB = EC × ED → 4 × 3 = 9 × ED.
2. نحسب: 12 = 9 × ED → ED = 12 ÷ 9 = 4/3 سم.

النتيجة: ED = 1.33 سم (تقريباً).

---

مثال 2 – إثبات رباعي دوري (متوسط)

المعطى: في مثلث ABC، AB = 15 سم، AC = 12 سم. النقطة D على AB بحيث AD = 4 سم، والنقطة E على AC بحيث AE = 5 سم. أظهر أن الرباعية DBCE دائرة.

الحل:

1. نحسب حاصل ضرب كل زوج من الأضلاع المتقابلة:
   AD × AB = 4 × 15 = 60.
   AE × AC = 5 × 12 = 60.
2. بما أن AD × AB = AE × AC، فإن الشرط EA × EB = EC × ED يتحقق عندما نضع E كنقطة تقاطع امتدادي القطعتين BD وCE.
3. وفقاً للعكس لقاعدة القوة، فإن النقاط D, B, C, E تقع على دائرة واحدة.

النتيجة: الشكل DBCE هو رباعي دوري.

---

مثال 3 – إيجاد طول المماس من نقطة خارج الدائرة (صعب)

المعطى: في الشكل، EA مماس للدائرة عند A. القطعة القاطعة EC تقطع الدائرة في نقطتي D وC بحيث ED = 4 سم و CD = 5 سم. أوجد طول EA.

الحل:

1. نعلم أن EC = ED + DC = 4 سم + 5 سم = 9 سم.
2. نطبق قاعدة المماس‑القاطعة:
   EA² = ED × EC.
3. نحسب: EA² = 4 × 9 = 36.
4. إذن EA = √36 = 6 سم.

النتيجة: طول المماس EA يساوي 6 سم.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط داخل/خارج الدائرة: قاعدة القوة تنطبق سواء تقاطع الأوتار داخل الدائرة أو خارجها، لكن يجب التأكد من أن النقطة E ليست إحدى نقاط القطعتين.
• نسيان ترتيب الضرب: يجب كتابة EA × EB وليس EB × EA فقط لتجنب الخلط في تطبيق القاعدة على الشكل الصحيح.
• استخدام قاعدة المماس عندما لا تكون EA مماساً: إذا لم يكن الخط يلامس الدائرة في نقطة واحدة، لا يمكن استعمال EA² = EB × EC.
• إهمال شرط التشابه (AA أو SSS): لا يمكن استنتاج التشابه من مجرد وجود أضلاع متساوية دون إثبات تساوي الزوايا أو النسب.
• الخطأ في حساب النسب: عند استنتاج EA/EC = ED/EB من قاعدة القوة، يجب الحفاظ على نفس الترتيب للضرب لتجنب الحصول على علاقة عكسية.

---

قائمة المراجعة

1. هل تم تحديد نقطة التقاطع E بوضوح؟
2. هل تم التأكد من أن AB وCD هما أضلاع أو أوتار على نفس الدائرة؟
3. هل تم تطبيق قاعدة القوة بدقة (EA × EB = EC × ED)?
4. إذا كان هناك مماس، هل تم التحقق من أن الخط يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط؟
5. هل تم حساب حاصل الضرب أو الجذر التربيعي بدقة؟
6. هل تم توثيق خطوة استنتاج التشابه (AA أو SSS)؟
7. هل تم ذكر الشرط اللازم لكل قاعدة (مثلاً وجود زوايا متساوية)؟
8. هل تم توضيح ما إذا كان E داخل الدائرة أم خارجها؟
9. هل تم التحقق من أن جميع الأطوال المستخدمة في المثال معطاة بوحدات متساوية؟
10. هل تم كتابة النتيجة النهائية بصورة واضحة (مثلاً ED = 4/3 سم)؟
11. هل تم مراجعة الحسابات العددية لتجنب الأخطاء العشرية؟
12. هل تم ربط النتيجة بالقاعدة أو المبرهنة المستخدمة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

EA × EB = EC × ED                     (قوة النقطة)
EA² = EB × EC                         (مماس‑قاطع)
إذا كان زوايا مثلثين متقابلة متساوية → المثلثان متشابهان (AA)
إذا كانت نسب أضلاع ثلاثة أضلاع متساوية → المثلثان متشابهان (SSS)
إذا تحقق EA × EB = EC × ED → A,B,C,D على دائرة واحدة (عكس القوة)
إذا كان EA مماساً → EA² = EB × EC (قانون المماس)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!