ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول العلاقة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين

أهداف التعلم

1. تعريف مفهوم التشابه بين مضلعين وتحديد نسبة التشابه (عامل المقياس).
2. إظهار أن نسبة محيطات مضلعين متشابهين تساوي نسبة التشابه.
3. إثبات (بدون برهان) أن نسبة مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه.
4. تطبيق النظرية على مثلثات داخلية ومضلعين خماسيين لتحديد مساحات غير مباشرة.
5. استعمال النسبة بين المساحات لحساب مساحات حقيقية من خريطة ذات مقياس معروف.
6. التعرف على الأخطاء الشائعة في التعامل مع نسب التشابه والمساحات.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• مضلع متشابه: مضلعان يُقال عنهما متشابهان إذا كان هناك تطابق بين أضلاعهما وزواياهما بحيث تكون كل زاوية في أحدهما مساوية للزاوية المقابلة في الآخر، وتكون أضلاعهما في نسب ثابتة تُسمى نسبة التشابه أو عامل المقياس.
• نسبة التشابه (Scale factor): النسبة الثابتة التي تُحول طول أي ضلع في المضلع الأصغر إلى طول الضلع المقابل في المضلع الأكبر. نرمز لها بـ k.
• نسبة المحيط: إذا كان $P_1$ و $P_2$ محيطا المضلعين المتشابهين، فإن $\dfrac{P_1}{P_2}=k$.
• نسبة المساحة: إذا كان $A_1$ و $A_2$ مساحتا المضلعين المتشابهين، فإن $\dfrac{A_1}{A_2}=k^{2}$.
• الضلع المقابل: الضلع في أحد المضلعين الذي يقابل ضلعاً في المضلع الآخر وفقاً لتطابق التشابه.
• الارتفاع المقابل: الارتفاع في أحد المثلثات المتشابهين الذي يقابل ارتفاعاً في المثلث الآخر؛ نسبة الارتفاعات أيضاً تساوي k، وبالتالي نسبة المساحات تساوي مربع نسبة الارتفاعات.
• تقسيم المضلع إلى مثلثات: أي مضلع ذي n أضلاع يمكن تقسيمه إلى $(n-2)$ مثلثات بربط أحد رؤوسه ببقية الرؤوس؛ إذا كان المضلعان متشابهين فإن كل مثلث في أحدهما متشابه مع المثلث المقابل في الآخر.

---

القوانين والنظريات والقواعد

نظرية نسبة المساحات للمضلعات المتشابهة

إذا كان المضلع ABCDE متشابهاً مع المضلع A'B'C'D'E' فإن
    a(ABCDE) / a(A'B'C'D'E') = (AB / A'B')²

شرط التطبيق: يجب أن يكون هناك تشابه كامل بين المضلعين (جميع الزوايا متساوية وجميع الأضلاع في نسب ثابتة).
ملاحظة: يمكن اختيار أي ضلعين متناظرين؛ النتيجة نفسها لأن جميع النسب المتناظرة متساوية.

قاعدة نسبة المحيط

P1 / P2 = k   حيث k = نسبة التشابه

شرط التطبيق: المضلعان متشابهان.
ملاحظة: لا يلزم معرفة عدد الأضلاع؛ النسبة ثابتة مهما كان عدد الأضلاع.

قاعدة نسبة المساحات للمثلثات المتشابهة

a(Δ1) / a(Δ2) = (الضلع المقابل في Δ1 / الضلع المقابل في Δ2)²

شرط التطبيق: المثلثان متشابهان (تطابق الزوايا وتناسب الأضلاع).
ملاحظة: يمكن استعمال الارتفاعات بدلاً من الأضلاع لأن نسبة الارتفاعات تساوي k.

قاعدة تقسيم المضلع إلى مثلثات

إذا كان المضلع n‑ضلعيًا متشابهاً مع مضلع n‑ضلعي آخر،
فإن كل من (n‑2) مثلثات الناتجة من تقسيمهما تكون متشابهةً مع نظيرتها.

شرط التطبيق: اختيار نفس الرأس لتقسيم كلا المضلعين.
ملاحظة: هذه القاعدة تُستَخدم لتبرير أن مجموع نسب المساحات للمثلثات يساوي نسبة المساحات للمضلعين.

قاعدة تحويل المساحة من خريطة إلى الواقع

المساحة الحقيقية = (مساحة الخريطة) × (مقياس الخريطة)²

شرط التطبيق: المقياس يُعطى بوحدة طول واحدة على الخريطة تمثل مسافة معينة في الواقع (مثلاً 1 سم = 10 كم).
ملاحظة: يجب تحويل المقياس إلى نفس وحدة المساحة (مثلاً كيلومتر²) قبل الضرب.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: المثلثان $\triangle ABC$ و$\triangle XYC$ متشابهان، نسبة التشابه $k = \dfrac{AX}{AB}= \dfrac{3}{5}$.
المطلوب: حساب نسبة مساحتي المثلثين.

الحل:
نسبة المساحات = $k^{2}= \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}= \dfrac{9}{25}$.
إذن $\dfrac{a(\triangle XYC)}{a(\triangle ABC)} = \dfrac{9}{25}$.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: مضلع خماسي $ABCDE$ متشابه مع مضلع $A'B'C'D'E'$. طول الضلع المقابل $AB = 8$ سم، $A'B' = 4$ سم. مساحة المضلع الأصغر $a(A'B'C'D'E') = 36$ سم².
المطلوب: إيجاد مساحة المضلع الأكبر.

الحل:
نسبة التشابه $k = \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{8}{4}=2$.
نسبة المساحات = $k^{2}=4$.
إذن مساحة المضلع الأكبر $a(ABCDE)=4 \times 36 = 144$ سم².

---

مثال 3 – صعب

المعطى: على خريطة، يمثل المثلث $\triangle ABC$ مساحة 6.4 سم². مقياس الخريطة هو 1 سم = 10 كم.
المطلوب: حساب المساحة الحقيقية للمثلث إلى أقرب كيلومتر مربع.

الحل:
مقياس الخريطة = 10 كم = 10 000 م. لذا مقياس الطول = $10,000$ م.
مقياس المساحة = $(10,000)^{2}= 100,000,000$ م² = $100$ كم² لكل سم² على الخريطة.
المساحة الحقيقية = $6.4 \times 100 = 640$ كم².
إلى أقرب كيلومتر مربع: 640 كم².

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط نسبة التشابه مع نسبة المساحات: كثيرًا ما يُخطئ الطالب في اعتبار $\dfrac{A_1}{A_2}=k$ بدلاً من $k^{2}$.
• استخدام أضلاع غير متناظرة: يجب اختيار أضلاع متناظرة؛ اختيار ضلع غير متناظر يؤدي إلى نسبة غير صحيحة.
• نسيان تحويل الوحدات عند حساب المساحة من خريطة: يجب تحويل مقياس الطول إلى مقياس المساحة قبل الضرب.
• إهمال أن جميع الأضلاع في المضلع المتشابه تتناسب بنفس النسبة: إذا كان أحد الأضلاع لا يتناسب، فالمضلعات غير متشابهة.
• الافتراض الخاطئ أن نصف المحيط يساوي نصف المساحة: لا علاقة بين نصف المحيط ونصف المساحة؛ العلاقة هي بين النسب الكلية.

---

قائمة المراجعة

1. تأكد من أن جميع الزوايا في المضلعين متساوية.
2. تحقق من أن جميع أضلاع المضلعين في نسب ثابتة (نسبة التشابه).
3. احسب نسبة التشابه $k$ باستخدام أي ضلعين متناظرين.
4. استخدم قاعدة $\dfrac{P_1}{P_2}=k$ لحساب نسب المحيطات.
5. استخدم قاعدة $\dfrac{A_1}{A_2}=k^{2}$ لحساب نسب المساحات.
6. إذا كان المطلوب ارتفاعًا، احسب نسبة الارتفاعات (تساوي $k$).
7. عند تقسيم مضلع إلى مثلثات، تأكد من أن كل مثلث في أحد المضلعين متشابه مع نظيره.
8. جمع مساحات المثلثات المتطابقة للحصول على مساحة المضلع الكامل.
9. عند العمل على خريطة، حول مقياس الطول إلى مقياس المساحة قبل الضرب.
10. راجع الوحدات (سم²، كم²، …) وتأكد من توافقها.
11. تحقق من أن النسبة التي حصلت عليها لا تتجاوز 1 إذا كان المضلع الأصغر هو المرجع.
12. في الأسئلة التي تتضمن نقاطًا وسطية أو قطاعات، استخدم خاصية تماثل النقاط المتوسطة (النقطة المتوسطة في أحد الأضلاع تقابل نقطة متوسطة في الضلع المقابل).

---

جميع القوانين دفعة واحدة

نسبة التشابه k = (الضلع المقابل في المضلع الأكبر) / (الضلع المقابل في المضلع الأصغر)

نسبة المحيط:      P1 / P2 = k
نسبة المساحة:    A1 / A2 = k²
نسبة الارتفاع:    h1 / h2 = k
مساحة المضلع المتشابه = (k²) × مساحة المضلع الأصغر
مساحة الخريطة إلى الواقع:   المساحة الحقيقية = (مساحة الخريطة) × (مقياس الطول)²
تقسيم المضلع إلى مثلثات:   كل مثلث في المضلع الأكبر متشابه مع نظيره في المضلع الأصغر

بالتوفيق في امتحاناتك!