ملخص رياضيات أولى ثانوي الترم الأول: تشابه المثلثات

باختصار

«تشابه المثلثات» (الفصل 5) من منهج الرياضيات للصف الأول الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.

أهداف التعلم

التعرف على مسلمة (مبدأ) تشابه المثلثين بتطابق زاويتين (مسلمة الزاويتين المتطابقتين).
معرفة الشروط التي تجعل المثلثات المتساوية الأضلاع، المتساوية الساقين، والقائمة الزاوية متشابهة.
تطبيق قاعدة التوازي لإثبات تشابه مثلث داخل مثلث أكبر.
استعمال النسب المتناسبة بين أضلاع المثلثات المتشابهة لحساب الأطوال المجهولة.
فهم علاقة الارتفاع إلى الوتر في المثلث القائم وكيفية استنتاج تشابه المثلثات الناتجة.
تجنّب الأخطاء الشائعة في استنتاج التشابه واستخدام القواعد بصورة صحيحة.

المفاهيم والتعريفات الرياضية

التشابه: يُقال إن مثلثين متشابهين إذا كان لهما نفس الشكل ولكن قد يختلف حجمهما. أي أن زواياهما متطابقة وتتناسب أضلاعهما. يرمز إلى ذلك بـ  △ABC ∼ △DEF.
مسلمة (مبدأ) تشابه مثلثين بتطابق زاويتين: إذا طابقت زاويتان في مثلث ما مع زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهين.
المثلث المتساوي الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية، وبالتالي جميع زواياه متساوية؛ وهو متشابه مع أي مثلث متساوي الأضلاع آخر.
المثلث المتساوي الساقين: له ساقان متساويتان. يتشابه مع مثلث متساوي الساقين آخر إذا طابقت إحداها إما إحدى زوايا القاعدة أو زاوية الرأس.
المثلث القائم الزاوية: له زاوية قائمة واحدة. يتشابه مع مثلث قائم آخر إذا طابقت إحدى الزاويتين الحادتين.
النسبة المتناسبة: إذا كان △1 ∼ △2، فإن أضلاعهما المتقابلة تكون في نسب متساوية:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

(يُكتب في الملخص كـ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂).

قانون التوازي (Corollary): إذا رُسم خط يوازي أحد أضلاع المثلث ويقاطع الضلعين الآخرين، فإن المثلث الصغير المتكوّن يكون متشابهًا مع المثلث الأصلي.
الارتفاع إلى الوتر في المثلث القائم: في أي مثلث قائم، الارتفاع من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يقسم المثلث إلى مثلثين كلٌ منهما متشابه مع المثلث الأصلي ومع الآخر.
الوسيط المتناسب (Mean proportional): في مثلث قائم، إذا كان AD هو الارتفاع إلى الوتر، فإن AD² = BD × CD.

القوانين والنظريات والقواعد

مسلمة الزاويتين المتطابقتين (AA similarity postulate)

إذا كان في مثلثين زاويتان متطابقتان، فإن المثلثين متشابهين.

شرط التطبيق: وجود زاويتين متطابقتين في المثلثين.
ملاحظة: لا يلزم معرفة أطوال الأضلاع لتطبيق هذه المسلمة.

قاعدة أضلاع المثلثات المتشابهة (Corresponding sides are proportional)

إذا كان △1 ∼ △2، فإن a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.

شرط التطبيق: إثبات التشابه أولاً (مثلاً باستخدام مسلمة الزاويتين).
ملاحظة: يجب مطابقة الأضلاع المتقابلة وفق ترتيب الزوايا المتطابقة.

قاعدة التوازي داخل المثلث (Parallel line corollary)

إذا كان DE ∥ BC في △ABC، فإن △ADE ∼ △ABC.

شرط التطبيق: الخط DE يجب أن يكون موازًا لواحد من أضلاع المثلث الأصلي ويقاطع الضلعين الآخرين.
ملاحظة: الزاوية المشتركة A تُستعمل لتأكيد التشابه.

قاعدة المثلثات القائمية المتشابهة (Right‑triangle similarity)

في مثلثين قائمين، إذا طابقت إحدى الزاويتين الحادتين، فإن المثلثين متشابهان.

شرط التطبيق: وجود زاوية قائمة في كل من المثلثين وتطابق إحدى الزوايا الحادة.

قاعدة الارتفاع إلى الوتر (Altitude to hypotenuse)

في △ABC قائم عند A، إذا AD ⟂ BC، فإن △ABD ∼ △ADC ∼ △ABC.

شرط التطبيق: AD يجب أن يكون الارتفاع من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر.

قاعدة المتوسط المتناسب (Mean proportional)

في △ABC قائم عند A، إذا AD ⟂ BC، فإن AD² = BD × CD.

شرط التطبيق: يجب أن يكون AD هو الارتفاع إلى الوتر.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل) – إثبات التشابه وحساب الأطوال

المعطيات: في △ABC، D ∈ AB، E ∈ AC، DE ∥ BC.
BD = 1.2 سم، AE = 3 سم، AC = 4 سم، DE = 4.2 سم.

الخطوة (أ) – إثبات التشابه:

بما أن DE ∥ BC، فإن الزاوية ∠ADE تساوي ∠ABC (زاوية متقابلة).
الزاوية ∠A مشتركة في المثلثين.
إذن وفق مسلمة الزاويتين المتطابقتين، △ADE ∼ △ABC.

الخطوة (ب) – حساب AD و BC:
من قاعدة أضلاع المثلثات المتشابهة:
AD/AB = AE/AC = DE/BC.

نكتب AB = AD + BD = AD + 1.2.

إذن:
AD/(AD + 1.2) = 3/4 = 4.2/BC.

نحل المعادلة الأولى:
4·AD = 3·(AD + 1.2) → 4AD = 3AD + 3.6 → AD = 3.6 سم.

نستبدل في المعادلة الأخيرة:
3·BC = 4.2·4 → BC = (4.2·4)/3 = 5.6 سم.

النتيجة: AD = 3.6 سم، BC = 5.6 سم.

مثال 2 (متوسط) – تشابه مثلثين قائمين باستخدام الزوايا الحادة

المعطيات: في △ABC قائم عند A، ∠B = 50°؛ في △DEF قائم عند D، ∠E = 50°.

الخطوة 1 – مطابقة الزوايا:

الزاوية القائمة في كل من المثلثين متطابقة (90°).
الزاوية الحادة ∠B = ∠E = 50°.

الخطوة 2 – تطبيق مسلمة الزاويتين المتطابقتين:
△ABC ∼ △DEF.

الخطوة 3 – استنتاج النسب:
إذا كان AB = 4 سم، DE = 5 سم (مثال من النص)، فإن النسبة المتناسبة هي:
AB/DE = BC/EF = AC/DF.

يمكن للطالب قياس الأطوال المتبقية (BC, EF, DF) ثم التحقق من تساوي النسب.

مثال 3 (صعب) – الارتفاع إلى الوتر وإثبات المتوسط المتناسب

المعطيات: في △ABC قائم عند A، AD ⟂ BC.

الخطوة 1 – إثبات التشابه:

∠ADB = 90° = ∠DAC (كلاهما قائم).
∠ABD = ∠ACD (زاوية حادة مشتركة).
إذن △ABD ∼ △ADC (مسلمة الزاويتين المتطابقتين).

الخطوة 2 – استنتاج المتوسط المتناسب:
من التشابه نحصل على النسبة:
AB/AD = AD/AC.

نضرب الطرفين: AB·AC = AD² → AD² = BD·CD (لأن AB = BD + AD و AC = CD + AD، وتبسيط يعطي BD·CD).

الخطوة 3 – تطبيق عملي:
إذا كان BD = 3 سم و CD = 6 سم، فإن AD = √(3·6) = √18 ≈ 4.24 سم.

هذا يوضح كيف يمكن للارتفاع إلى الوتر أن يُستعمل لحساب أطوال غير معروفة في المثلث القائم.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

خطأ 1: افتراض التشابه بمجرد تطابق زاوية واحدة. يجب وجود زاويتين متطابقتين أو إثبات النسب بين الأضلاع.
خطأ 2: خلط ترتيب الأضلاع المتقابلة؛ مثال: ربط AB مع AC بدلاً من AB مع DE في مثال 1.
خطأ 3: إهمال شرط التوازي؛ إذا لم يكن DE فعلاً موازياً لـ BC، لا يمكن استعمال قاعدة التوازي.
خطأ 4: في المثلث القائم، اعتبار أي ارتفاع كوسيط متناسب؛ يجب أن يكون الارتفاع إلى الوتر بالضبط.
خطأ 5: في المثلث المتساوي الساقين، الاعتماد على تطابق زاوية القاعدة فقط دون التحقق من أن الزاوية الأخرى (زاوية الرأس) متطابقة إذا كان ذلك هو الشرط المستعمل.
حالة خاصة: جميع المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة بغض النظر عن حجمها؛ لا حاجة لإثبات أي نسبة.

قائمة المراجعة

هل تم تحديد الزوايا المتطابقة بين المثلثين؟
هل تم التأكد من وجود خط موازٍ إذا استُخدمت قاعدة التوازي؟
هل تم ترتيب الأضلاع المتقابلة وفق ترتيب الزوايا المتطابقة؟
هل تم كتابة النسب المتناسبة بصيغة a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂؟
هل تم حساب الأطوال المجهولة باستخدام المعادلة المناسبة (مثلاً AD/(AD+BD) = ... )؟
هل تم التحقق من أن المثلث القائم يحتوي على ارتفاع إلى الوتر قبل استعمال قاعدة المتوسط المتناسب؟
هل تم استبدال القيم العددية بشكل صحيح في المعادلات؟
هل تم تبسيط الكسور وإزالة الوحدات غير الضرورية عند الحاجة؟
هل تم مراجعة أن جميع الزوايا في المثلث القائم مجموعها 180° (90° + زاويتان حادتان)؟
هل تم التأكد من أن جميع القواعد المستعملة تنطبق على الشكل الهندسي المعطى؟
هل تم توثيق كل خطوة بالسبب (مسلمة، قاعدة، أو خاصية)؟
هل تم مراجعة الأجوبة النهائية للتأكد من وحدات القياس (سم) وصحة الأرقام؟

جميع القوانين دفعة واحدة

1. AA similarity postulate: إذا طابقت زاويتان في مثلثين، فهما متشابهان.
2. Corresponding sides proportional: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
3. Parallel line corollary: إذا DE ∥ BC في △ABC → △ADE ∼ △ABC.
4. Right‑triangle similarity: إذا طابقت إحدى الزاويتين الحادتين في مثلثين قائمين → متشابهان.
5. Altitude to hypotenuse: في △قائم، AD ⟂ BC → △ABD ∼ △ADC ∼ △ABC.
6. Mean proportional: في △قائم، AD² = BD × CD.
7. Equilateral triangles similarity: كل مثلثين متساويي الأضلاع متشابهان.
8. Isosceles triangles similarity: إذا طابقت إحداها إما زاوية قاعدة أو زاوية رأس → متشابهان.
9. Right‑triangle altitude ratio: AD/AB = AD/AC = BD/BC = CD/BC.

بالتوفيق في امتحاناتك!

الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.

ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول تشابه المثلثات