ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول تشابه المضلعات

أهداف التعلم

1. استرجاع ما تم دراسته في مرحلة الإعداد حول مفهوم التشابه.
2. التعرف على التشابه بين مضلعين وتمييزه من خلال الزوايا المتطابقة والأطوال المتناسبة.
3. إثبات واستخدام نظريتي SAS و SSS لتحديد تشابه المثلثات.
4. حساب نسبة التشابه (عامل المقياس) بين مضلعين واستخدامها في إيجاد نسب المحيطات والمساحات.
5. تطبيق مفهوم التشابه في مسائل الدائرة (الوتر، القاطع، المماس) واستنتاج العلاقات المشتقة.
6. توظيف التشابه في حل مسائل هندسية واقعية (مثل رسم مخطط مبنى على مقياس مصغر).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المضلع المتشابه: مضلعان لهما نفس الشكل لكن أطوال أضلاعهما مختلفة؛ تكون الزوايا المتقابلة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتقابلة متناسبة.
• المثلث المتشابه: حالة خاصة من المضلعات المتشابهة حيث يكون عدد الأضلاع ثلاثة.
• الزاوية المتطابقة: زاوية في أحد المضلعات تساوي قياسها زاوية مقابلة في المضلع الآخر.
• الضلع المتقابل: ضلع في أحد المضلعات يقابل ضلعاً في المضلع الآخر وفق ترتيب الرؤوس المتطابقة.
• نسبة التشابه (عامل المقياس) $K$: النسبة الثابتة التي تربط كل ضلع من مضلع بضلعٍ مكافئ له في المضلع المتشابه. إذا كان $K>1$ فإن المضلع الثاني أكبر، وإذا كان $K<1$ فهو أصغر.
• الرمز "~": يكتب بين اسمين للمضلعات للدلالة على تشابههما، مع مراعاة ترتيب الرؤوس المتقابلة (مثال: $ABCD \sim A'B'C'D'$).
• المضلع المنتظم: مضلع له جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا الداخلية متساوية. كل المضلعن المنتظم ذات عدد أضلاع متساوٍ يمكن أن تكون متشابهة إذا كان عامل المقياس ثابتاً.
• نسبة المحيطات: في مضلعين متشابهين تكون نسبة محيط أحدهما إلى محيط الآخر مساوية لنسبة التشابه $K$.
• نسبة المساحات: في مضلعين متشابهين تكون نسبة مساحتهما مساوية لمربع نسبة التشابه $(K)^2$.
• نظرية التشابه بالضلعين والزاوية المتضمنة (SAS): إذا كان ضلعان من مثلثين متناسبين والزاوية المتضمنة بينهما متطابقة، فإن المثلثين متشابهان.
• نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS): إذا كانت أضلاع مثلثين متناسبة جميعاً، فإن المثلثين متشابهان.
• قضية القاطع المتقاطع: إذا تقاطعت وتران داخل دائرة، فإن حاصل ضرب جزئي كل وتر يساوي حاصل ضرب جزئي الوتر الآخر؛ وهذا يُستَخدم لإثبات تشابه المثلثات المتكونة.

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. تعريف التشابه بين مضلعين

مضلع A ~ مضلع B  ⇔  (∀ زاوية i)   ∠Ai = ∠Bi   وَ   (∀ ضلع i)   Ai / Bi = K ثابت

شرط التطبيق: يجب أن تكون جميع الزوايا المتقابلة متطابقة، وجميع الأضلاع المتقابلة متناسبة بنفس الثابت $K$.
ملاحظة: تحقق أحد الشرطين فقط (مثلاً فقط الزوايا) لا يكفي لتأكيد التشابه.

2. نسبة التشابه (عامل المقياس)

K = (طول الضلع المقابل في المضلع B) ÷ (طول الضلع المقابل في المضلع A)

شرط التطبيق: يجب أن تكون الأضلاع المقابلة معروفة أو يمكن حسابها.
ملاحظة: إذا كان $K = 1$ فإن المضلعين متطابقان (متطابقان تماماً).

3. نسبة المحيطات للمضلعات المتشابهة

محيط B ÷ محيط A = K

شرط التطبيق: يجب أن تكون المضلعات متشابهة وتعرف نسبة التشابه.
ملاحظة: يمكن استعمال هذه القاعدة لحساب محيط أحد المضلعات إذا عُرف محيط الآخر ونسبة التشابه.

4. نسبة المساحات للمضلعات المتشابهة

مساحة B ÷ مساحة A = K²

شرط التطبيق: المضلعات متشابهة ويُعرف عامل المقياس $K$.
ملاحظة: تُستَخدم هذه القاعدة كثيراً في مسائل الهندسة التطبيقية (مثال: حساب مساحة نموذج مصغر).

5. نظرية التشابه بالضلعين والزاوية المتضمنة (SAS)

إذا كان (AB / A'B') = (AC / A'C')  وَ  ∠BAC = ∠B'A'C'  ⇒  المثلثان متشابهان

شرط التطبيق: وجود ضلعين متناسبين والزاوية المتضمنة بينهما متطابقة.
ملاحظة: لا يلزم معرفة الضلع الثالث؛ فهو يُستنتج من التشابه.

6. نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS)

إذا كان (AB / A'B') = (BC / B'C') = (CA / C'A')  ⇒  المثلثان متشابهان

شرط التطبيق: جميع أضلاع المثلثين متناسبة بنفس النسبة.
ملاحظة: لا يلزم التحقق من الزوايا؛ التشابه يُستنتج مباشرةً.

7. قاعدة الضرب المتقاطع (Extreme–Mean)

إذا كان a/b = c/d  ⇔  a·d = b·c

شرط التطبيق: وجود نسبتين متساويتين.
ملاحظة: تُستَخدم لتأكيد صحة النسبة أو لاشتقاق قيمة مجهولة.

8. مبرهنة القاطع المتقاطع في الدائرة

إذا تقاطعت وتران AB و CD داخل دائرة عند النقطة E، فإن
AE·EB = CE·ED

شرط التطبيق: يجب أن تكون الأوتار داخل دائرة وتقطعت في نقطة واحدة.
ملاحظة: من هذه المساواة يمكن إثبات تشابه المثلثات $\triangle AEC$ و $\triangle BED$.

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: مثلثان متشابهان، أضلاع المثلث الأول $3; \text{سم}, 4; \text{سم}, 5; \text{سم}$ وأضلاع المثلث الثاني $6; \text{سم}, 8; \text{سم}, 10; \text{سم}$.

المطلوب: حساب عامل التشابه، نسبة المحيطات، ونسبة المساحات.

الحل:

1. حساب عامل التشابه باستخدام أي ضلعين متقابلين:

$$K = \frac{6}{3} = 2$$

2. نسبة المحيطات = $K = 2$.
   محيط المثلث الأول = $3+4+5 = 12; \text{سم}$.
   إذن محيط المثلث الثاني = $12 \times 2 = 24; \text{سم}$ (يتحقق).
3. نسبة المساحات = $K^{2} = 4$.
   مساحة المثلث الأول (باستخدام قاعدة فيثاغورس) = $\frac{3 \times 4}{2}=6; \text{سم}^2$.
   إذن مساحة المثلث الثاني = $6 \times 4 = 24; \text{سم}^2$.

النتيجة: عامل التشابه $K=2$، نسبة المحيطات $=2$، نسبة المساحات $=4$.

---

مثال 2 – متوسط

المعطى: مضلع رباعي $ABCD$ متشابه مع مضلع $A'B'C'D'$. أطوال أضلاع $AB=2; \text{م}, BC=3; \text{م}, CD=4; \text{م}, DA=5; \text{م}$. عامل التشابه $K=3$.

المطلوب: إيجاد أطوال أضلاع المضلع الثاني، وحساب نسبة مساحاتهما.

الحل:

1. باستخدام تعريف التشابه:

$$A'B' = K \times AB = 3 \times 2 = 6; \text{م}$$

$$B'C' = 3 \times 3 = 9; \text{م}$$

$$C'D' = 3 \times 4 = 12; \text{م}$$

$$D'A' = 3 \times 5 = 15; \text{م}$$

2. نسبة المساحات = $K^{2}=9$. إذا علمنا مساحة $ABCD$ (مثلاً 30 م²) فإن مساحة $A'B'C'D'$ = $30 \times 9 = 270; \text{م}^2$.

النتيجة: أضلاع المضلع الثاني هي $6, 9, 12, 15$ متر، ونسبة المساحات $=9$.

---

مثال 3 – صعب (استخدام مبرهنة القاطع المتقاطع)

المعطى: داخل دائرة، تقاطع وتران $AB$ و $CD$ في النقطة $E$. أطوال القطاعات المعطاة: $AE=2; \text{سم}, EB=6; \text{سم}, CE=3; \text{سم}$.

المطلوب: إثبات أن المثلثين $\triangle AEC$ و $\triangle BED$ متشابهان، ثم حساب طول $ED$.

الحل:

1. من مبرهنة القاطع المتقاطع:

$$AE \times EB = CE \times ED \quad \Rightarrow \quad 2 \times 6 = 3 \times ED$$

$$12 = 3 \times ED ;; \Rightarrow ;; ED = 4; \text{سم}$$

2. الآن نملك النسب:

$$\frac{AE}{EB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{CE}{ED} = \frac{3}{4}$$

لكن من (1) نحصل على:

$$\frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED} \quad \text{(بعد تعويض ED=4)} ;; \Rightarrow ;; \frac{2}{6} = \frac{3}{4} ; \text{خطأ}$$

لذا نحتاج إلى مقارنة الزوايا. الزاوية $\angle AEC$ و $\angle BED$ هي زوايا محصورة بين وترين متقاطعين، وبالتالي تكون متساوية (زاويتان متقابلتان في الدائرة).

3. بما أن الزاويتين المتقابلتين متساويتين، والضلعان المتقابلان (AE و CE) و (EB و ED) متناسبان (من (1) نحصل على $AE·EB = CE·ED$ ⇒ $\frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED}$)، فإننا نطبق نظرية SAS لتشابه المثلثين:

$$\frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED} \quad \text{و} \quad \angle AEC = \angle BED$$

إذن $\triangle AEC \sim \triangle BED$.

النتيجة: المثلثان متشابهان، وطول $ED = 4; \text{سم}$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين التشابه والتطابق: التطابق يعني أن جميع الأضلاع والزوايا متساوية (عامل المقياس = 1). كل متطابق متشابه، لكن ليس كل متشابه متطابق.
• الاعتماد على زاوية واحدة فقط: وجود زاوية واحدة متطابقة لا يكفي؛ يجب أن تكون جميع الزوايا المتقابلة متطابقة أو أن تكون هناك نسبة ثابتة للأضلاع.
• إهمال ترتيب الرؤوس: عند كتابة $ABCD \sim A'B'C'D'$ يجب الحفاظ على نفس الترتيب؛ خلاف ذلك سيتغير تعريف الأضلاع المتقابلة.
• استخدام نسبة غير ثابتة: إذا وجدت أن نسبة ضلعين مختلفتين (مثلاً $AB/A'B' \neq BC/B'C'$) فالمضلعات غير متشابهة.
• خطأ في حساب نسبة المساحات: يجب تربيع نسبة التشابه؛ عدم ذلك يؤدي إلى تقدير غير صحيح للمساحة.
• إغفال القاعدة المتطابقة في مبرهنة القاطع المتقاطع: لا يمكن استعمالها إذا لم تتقاطع الأوتار داخل الدائرة (مثلاً إذا تقاطعت خارج الدائرة).
• الخلط بين المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة: المضلعات المنتظمة تتشابه إذا كان عدد أضلاعها متساوٍ وعامل المقياس ثابت؛ المضلعات غير المنتظمة قد لا تكون متشابهة حتى وإن كان عدد أضلاعها متساوٍ.

---

قائمة المراجعة

1. هل تم كتابة الرمز "~" مع الحفاظ على ترتيب الرؤوس المتقابلة؟
2. هل جميع الزوايا المتقابلة متطابقة (مقارنة قياسها بدقة)؟
3. هل تم حساب نسبة التشابه $K$ من ضلعين متقابلين وتأكد من ثباتها على جميع الأضلاع؟
4. هل تم تطبيق قاعدة نسبة المحيطات $محيط_B = K \times محيط_A$ إذا طُلب ذلك؟
5. هل تم تطبيق قاعدة نسبة المساحات $(مساحة_B = K^{2} \times مساحة_A)$ عند الحاجة؟
6. في حالة المثلثات: هل تم اختيار النظرية المناسبة (SAS أو SSS) بناءً على المعطيات؟
7. هل تم التحقق من صحة الضرب المتقاطع عند التعامل مع نسبتين؟
8. عند استعمال مبرهنة القاطع المتقاطع: هل تم التأكد من أن النقطة المشتركة تقع داخل الدائرة؟
9. هل تم توثيق جميع الخطوات الحسابية دون قفزات منطقية؟
10. هل تم توضيح أي افتراضات (مثل كون الأضلاع موجبة) قبل البدء بالحساب؟
11. هل تم مراجعة النتائج للتأكد من توافقها مع الوحدات (سم، م²، …)؟
12. هل تم التحقق من أن النتيجة النهائية لا تتعارض مع القواعد العامة (مثلاً نسبة مساحة لا يمكن أن تكون أصغر من نسبة محيط إذا كان $K>1$)؟
13. هل تم كتابة جميع القوانين في القسم الأخير لتسهيل الحفظ؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DA / D'A' = K
محيط B / محيط A = K
مساحة B / مساحة A = K²
إذا كان (AB / A'B') = (AC / A'C')  وَ  ∠BAC = ∠B'A'C'  ⇒  المثلثان متشابهان (SAS)
إذا كان (AB / A'B') = (BC / B'C') = (CA / C'A')  ⇒  المثلثان متشابهان (SSS)
a / b = c / d  ⇔  a·d = b·c
AE·EB = CE·ED  (مبرهنة القاطع المتقاطع)
إذا كان K = 1  ⇒  المضلعان متطابقان

---

بالتوفيق في امتحاناتك!