باختصار
«إشارة الدالة ومتباينات الدرجة الثانية» (الفصل 3) من منهج الرياضيات للصف الأول الثانوي، الترم الأول. الملخص مقسّم لـ: أهداف التعلم، المفاهيم والتعريفات الرياضية، القوانين والنظريات والقواعد، أمثلة محلولة، أخطاء شائعة وحالات خاصة.
أهداف التعلم
- تحديد إشارة الدوال الثابتة، الخطية، والتربيعية على كامل مجموعة الأعداد الحقيقية.
- حساب المميز Δ للمعادلة التربيعية واستخدامه لتصنيف عدد الجذور (صفر، واحد، أو اثنين).
- رسم خط الأعداد لتوضيح الفترات التي تكون فيها الدالة موجبة، سالبة أو صفرية.
- حل المتباينات من الدرجة الثانية بالاعتماد على إشارة الدالة.
- تمثيل بياني للدوال التربيعية وربط موقع الجذور مع إشارة الدالة.
- استعمال الآلة الحاسبة العلمية للتحقق من القيم العددية للمميز والجذور.
المفاهيم والتعريفات الرياضية
- الدالة: علاقة تربط كل عنصر من المجال (مجموعة القيم الممكنة للمتغيّر) بعنصر واحد من المدى. يكتب عادةً f(x).
- الدالة الثابتة: f(x)=c حيث c ثابت لا يساوي الصفر.
- الدالة الخطية (دالة من الدرجة الأولى): f(x)=bx+c مع b≠0.
- الدالة التربيعية (دالة من الدرجة الثانية): f(x)=ax²+bx+c مع a≠0.
- المميز (Δ): Δ = b² − 4ac. يحدد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة ax²+bx+c=0.
- الجذر (الحل): قيمة x تجعل f(x)=0. يرمز للجذور بـ L و M (أو L فقط إذا كان الجذر مزدوجاً).
- العدد الحقيقي (ℝ): مجموعة الأعداد التي تشمل الأعداد النقطية، الكسور، السالبة والموجبة.
- الفترة: مجموعة من القيم على خط الأعداد تُكتب على شكل ]a,b[ أو ]−∞,a[ أو ]b,∞[.
- إشارة الدالة: تصف ما إذا كانت قيم الدالة موجبة (>0)، سالبة (<0) أو صفر (=0) على فترات معينة.
القوانين والنظريات والقواعد
إشارة الدالة الثابتة
f(x)=c (c≠0) → إشارة f(x) هي نفس إشارة c لكل x∈ℝ
شرط التطبيق: c ثابت غير صفر.
ملاحظة: إذا كان c>0 فالدالة موجبة على كامل ℝ؛ إذا كان c<0 فالدالة سالبة على كامل ℝ.
إشارة الدالة الخطية
f(x)=bx+c (b≠0)
الجذر: x₀ = -c/b
إشارة f(x):
إذا b>0 : f(x)>0 عندما x>x₀ ، f(x)<0 عندما x<x₀
إذا b<0 : f(x)>0 عندما x<x₀ ، f(x)<0 عندما x>x₀
شرط التطبيق: b لا يساوي صفر.
ملاحظة: إشارة الدالة الخطية عكس إشارة معامل x عندما نتجاوز الجذر.
إشارة الدالة التربيعية (حالة Δ>0)
f(x)=ax²+bx+c (a≠0)
Δ = b² - 4ac > 0 → جذران حقيقيان L<M
إشارة f(x):
على الفترة ]−∞,L[: إشارة f = إشارة a
على الفترة ]L,M[: إشارة f = عكس إشارة a
على الفترة ]M,∞[: إشارة f = إشارة a
شرط التطبيق: Δ موجب، a≠0.
ملاحظة: إذا كان a>0 فإن المنحنى يفتح للأعلى؛ إذا a<0 يفتح للأسفل.
إشارة الدالة التربيعية (حالة Δ=0)
Δ = 0 → جذران متساويان L (=M)
إشارة f(x):
إذا a>0 : f(x)>0 عندما x≠L ، f(L)=0
إذا a<0 : f(x)<0 عندما x≠L ، f(L)=0
شرط التطبيق: Δ يساوي صفر.
ملاحظة: المنحنى يلامس محور السينات في نقطة واحدة.
إشارة الدالة التربيعية (حالة Δ<0)
Δ < 0 → لا جذور حقيقية
إشارة f(x) هي إشارة a على كل ℝ
شرط التطبيق: Δ سالب.
ملاحظة: لا يتقاطع المنحنى مع محور السينات أبداً.
حل المتباينات من الدرجة الثانية باستخدام إشارة الدالة
ax²+bx+c > 0 → استخدم إشارة الدالة لتحديد الفترات التي تكون فيها موجبة
ax²+bx+c < 0 → استخدم إشارة الدالة لتحديد الفترات التي تكون فيها سالبة
ax²+bx+c = 0 → حلول المتباينة هي الجذور (L و M) إذا وجدت
شرط التطبيق: يجب حساب Δ أولاً لتحديد عدد الجذور.
ملاحظة: إذا كان Δ<0 فالمتباينة >0 أو <0 تكون ثابتة على كامل ℝ بحسب إشارة a.
أمثلة محلولة
مثال 1 (سهل)
المسألة: حدد إشارة الدالة f(x)=x²−2x−3.
الحل:
- نكتب المعادلة f(x)=0 → x²−2x−3=0.
- نحل بالتحليل: (x−3)(x+1)=0 → الجذران L=−1 ، M=3.
- a=1>0، وبالتالي نطبق قاعدة Δ>0:
- على ]−∞,−1[ إشارة f = إشارة a = موجبة.
- على ]−1,3[ إشارة f = عكس إشارة a = سالبة.
- على ]3,∞[ إشارة f = موجبة.
- نستنتج:
- f(x)>0 عندما x∈ℝ[-1,3] (خارج الفاصل).
- f(x)<0 عندما x∈]−1,3[.
- f(x)=0 عندما x=−1 أو x=3.
مثال 2 (متوسط)
المسألة: حدد إشارة الدالة f(x)=x²−4x+5.
الحل:
- حساب المميز: Δ = (−4)² − 4·1·5 = 16 − 20 = −4 < 0.
- لا توجد جذور حقيقية، لذا إشارة الدالة هي إشارة a على كل ℝ.
- a=1>0 → f(x)>0 لكل x∈ℝ.
- لا توجد قيم تجعل f(x)=0 أو f(x)<0.
مثال 3 (صعب)
المسألة: برهن أن المعادلة 2x² − kx + k − 3 = 0 لها جذوراً حقيقية مختلفة لكل k∈ℝ.
الحل:
- احسب المميز: Δ = k² − 8k + 24.
- نحتاج إلى Δ>0 لكل k. ندرس المتباينة k² − 8k + 24 > 0.
- المميز للمتباينة هو (−8)² − 4·1·24 = 64 − 96 = −32 < 0؛ لذا لا توجد جذور حقيقية للمعادلة k² − 8k + 24 = 0.
- بما أن القطع المكافئ k² − 8k + 24 يفتح للأعلى ولا يقطع محور k، فإن قيمته دائمًا موجبة لكل k.
- إذن Δ>0 لكل k، وبالتالي للمعادلة الأصلية جذور حقيقية ومختلفة دائمًا.
أخطاء شائعة وحالات خاصة
- خطأ في حساب Δ: إغفال إشارة −4ac قد يعطي قيمة موجبة خاطئة أو سلبية.
- خلط إشارة a مع الفترات: عند Δ>0 يجب تذكر أن الفترات الخارجية تتبع إشارة a، بينما الفترة الداخلية تعاكسها.
- نسيان حالة Δ=0: في هذه الحالة يكون للمنحنى نقطة تماس مع محور السينات؛ لا توجد فترتين مختلفتين للإشارة.
- استخدام الجذر المكرر كجذرين مختلفين: عندما Δ=0 لا يُحسب L و M كقيمتين مختلفتين.
- إهمال إشارة الثابت c في الدالة الخطية: إذا كان c=0 فإن الجذر يكون x=0 مباشرةً.
- الخلط بين المتباينات المفتوحة والمغلقة: يجب كتابة الفترات بدقة باستخدام ] و [ حسب ما إذا كان المتباين يشمل الجذر أم لا.
قائمة المراجعة
- [ ] حساب المميز Δ بدقة.
- [ ] تحديد عدد الجذور (0، 1، 2) بناءً على Δ.
- [ ] ترتيب الجذور L<M إذا وجدت.
- [ ] معرفة إشارة معامل a.
- [ ] تطبيق قاعدة إشارة الدالة التربيعية حسب حالة Δ.
- [ ] كتابة الفترات على خط الأعداد بشكل صحيح.
- [ ] التحقق من القيم الحدية (عند الجذور) حيث f(x)=0.
- [ ] حل المتباينات باستخدام الفترات المستخرجة.
- [ ] تمثيل بياني بسيط لتأكيد الفهم.
- [ ] مراجعة الأخطاء الشائعة وتجنبها.
- [ ] استخدام الآلة الحاسبة العلمية للتحقق من القيم العددية.
- [ ] مراجعة جميع القواعد قبل الامتحان.
جميع القوانين دفعة واحدة
f(x)=c (c≠0) → إشارة f = إشارة c
Δ = b² - 4ac
Δ>0 → جذران حقيقيان L<M
Δ=0 → جذران متساويان L
Δ<0 → لا جذور حقيقية
f(x)=ax²+bx+c (a≠0)
Δ>0:
]−∞,L[ : إشارة f = إشارة a
]L,M[ : إشارة f = عكس إشارة a
]M,∞[ : إشارة f = إشارة a
Δ=0:
x≠L → إشارة f = إشارة a
x=L → f=0
Δ<0:
إشارة f = إشارة a لكل ℝ
f(x)=bx+c (b≠0)
x₀ = -c/b
b>0 → x>x₀ ⇒ f>0 ; x<x₀ ⇒ f<0
b<0 → x<x₀ ⇒ f>0 ; x>x₀ ⇒ f<0
بالتوفيق في امتحاناتك!
الملخص ده مكتوب بالذكاء الاصطناعي من نص الفصل في الكتاب المدرسي، وآخر تحديث ليه كان 7 أكتوبر 2026. لقيت فيه غلطة؟ ابعتهالنا على واتساب ونصلّحها. إزاي بنكتب الملخصات.