ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول نوع جذري المعادلة التربيعية والعلاقة بين الجذرين والمعاملات

أهداف التعلم

1. تحديد نوع جذري المعادلة التربيعية باستخدام المميز (Discriminant) دون الحاجة إلى حل المعادلة.
2. حساب المميز $\Delta = b^{2}-4ac$ وتفسير علامته (موجب، صفر، سالب).
3. استخدام صيغة الجذرين العامة لإيجاد الجذور عندما يكون ذلك مطلوبًا.
4. إثبات علاقة مجموع الجذرين وحاصل ضربهما بمعاملات المعادلة $(a,b,c)$.
5. تمييز الحالات الخاصة (جذر مكرر، جذور مركبة مترافقة) وتطبيقها على مسائل مختلفة.
6. تطبيق القواعد على مسائل تتضمن معاملات مجهولة (مثل إيجاد قيمة $k$ التي تحقق شرطًا معينًا).

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. صيغة الجذرين العامة

x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)

شرط التطبيق: يجب أن تكون المعادلة من الدرجة الثانية مع $a\neq0$.
ملاحظة: إذا كان $\Delta<0$ فإن الجذرين يكونان مركبين غير حقيقيين.

2. حساب المميز وتحديد نوع الجذور

Δ = b² - 4ac

• إذا كان $Δ>0$ → جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا كان $Δ=0$ → جذران حقيقيان متساويان (جذر مكرر).
• إذا كان $Δ<0$ → جذران مركبان مترافقان (غير حقيقيين).

ملاحظة: لا يجوز إهمال إشارة $a$ عند حساب $\Delta$؛ فـ$a$ يشارك في الضرب داخل $4ac$.

3. علاقة مجموع الجذرين ومعاملات المعادلة

L + M = -b / a

شرط التطبيق: المعادلة يجب أن تكون مكتوبة بالصورة العامة $ax²+bx+c=0$.

4. علاقة حاصل ضرب الجذرين ومعاملات المعادلة

L · M = c / a

ملاحظة: إذا كان $c=0$ فإن أحد الجذرين يكون صفرًا.

5. صيغة الجذر المكرر (عند Δ=0)

x = -b / (2a)

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – تحديد نوع الجذور (سهل)

المعادلة: $5x^{2}+x-7=0$

1. استخراج المعاملات: $a=5,; b=1,; c=-7$.
2. حساب المميز: $\Delta = 1^{2}-4·5·(-7)=1+140=141>0$.
3. النتيجة: المميز موجب → جذران حقيقيان مختلفان.

المعادلة: $x^{2}-2x+1=0$

1. $a=1,; b=-2,; c=1$.
2. $\Delta = (-2)^{2}-4·1·1 = 4-4 = 0$.
3. النتيجة: جذر مكرر $x = -\dfrac{-2}{2·1}=1$.

المعادلة: $-x^{2}+5x-30=0$

1. $a=-1,; b=5,; c=-30$.
2. $\Delta = 5^{2}-4·(-1)·(-30)=25-120=-95<0$.
3. النتيجة: جذران مركبان غير حقيقيين.

---

مثال 2 – إيجاد الجذور المركبة (متوسط)

المعادلة: $2x^{2}-3x+2=0$

1. المعاملات: $a=2,; b=-3,; c=2$.
2. $\Delta = (-3)^{2}-4·2·2 = 9-16 = -7 < 0$.
3. استعمال الصيغة العامة:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{-7}}{2·2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$$

إذن الجذور: $\displaystyle x_{1}= \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}i$ ، $\displaystyle x_{2}= \frac{3}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}i$.

---

مثال 3 – إيجاد قيمة $k$ بحيث يكون الجذران متساويين (صعب)

المعادلة: $x^{2}+2(k-1)x+(2k+1)=0$

نحتاج $\Delta =0$.

$$\Delta = [2(k-1)]^{2}-4·1·(2k+1)=4(k-1)^{2}-8k-4$$

تبسيط:

$$\Delta =4\big[(k-1)^{2}-2k-1\big]=4\big[k^{2}-2k+1-2k-1\big]=4(k^{2}-4k)$$

$$\Delta =4k(k-4)$$

لتحقق $\Delta =0$ يجب أن يكون $k=0$ أو $k=4$.

• إذا كان $k=0$: المعادلة تصبح $x^{2}-2x+1=0$ → جذر مكرر $x=1$.
• إذا كان $k=4$: المعادلة تصبح $x^{2}+6x+9=0$ → جذر مكرر $x=-3$.

إذن القيم المطلوبة هي $k=0$ أو $k=4$.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خطأ في إشارة $c$ داخل $\Delta$: نسيان أن $4ac$ يحمل إشارة $c$ كما هي؛ مثال: في المعادلة $-x^{2}+5x-30$ يجب حساب $\Delta =5^{2}-4·(-1)·(-30)$ وليس $-4·(-1)·30$.
• استخدام الصيغة العامة عندما $a=0$: إذا كان $a=0$ فالمعادلة ليست تربيعية ولا يمكن استعمال صيغة الجذرين.
• خلط بين الجذر المكرر والجذرين المختلفين: عندما $\Delta=0$ لا يُكتب الجذرين كـ$(-b±\sqrt{0})/(2a)$ بل يُختصر إلى $-b/(2a)$.
• إهمال أن الجذور المركبة تكون مترافقة: إذا كان $\Delta<0$ فإن الجذرين يكونان من الشكل $\alpha±\beta i$؛ لا يجوز كتابة $\pm\sqrt{\Delta}$ مباشرةً دون تحويل $\Delta$ إلى عدد سالب داخل الجذر.
• خطأ في حساب مجموع أو حاصل ضرب الجذرين: يجب دائمًا استعمال الصيغ $L+M=-b/a$ و$LM=c/a$ مع الانتباه إلى إشارة $a$.

---

قائمة المراجعة (أكثر من 12 نقطة)

1. تأكد أن المعادلة مكتوبة بالصورة العامة $ax^{2}+bx+c=0$.
2. تحقق أن $a\neq0$.
3. حدد قيم $a, b, c$ بدقة (مع الإشارات).
4. احسب المميز $\Delta = b^{2}-4ac$.
5. قارن $\Delta$ بالصفر لتحديد نوع الجذور.
6. إذا كان $\Delta>0$ → توقع جذور حقيقية مختلفة.
7. إذا كان $\Delta=0$ → توقع جذر مكرر $-b/(2a)$.
8. إذا كان $\Delta<0$ → توقع جذور مركبة $\frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$.
9. استخدم صيغة الجذرين العامة فقط عندما يُطلب إيجاد القيم العددية.
10. احسب مجموع الجذرين باستخدام $-b/a$ وتحقق من صحة النتيجة.
11. احسب حاصل ضرب الجذرين باستخدام $c/a$ وتحقق من صحة النتيجة.
12. في مسائل تحتوي على معامل مجهول (مثل $k$) → ضع شرط $\Delta$ المناسب (>0, =0, <0) ثم حل للمعامل.
13. راجع أن الجذور المركبة مترافقة إذا كان $\Delta<0$.
14. تحقق من أن الجذور التي حصلت عليها تحقق المعادلة الأصلية (إدخال القيم).

---

جميع القوانين دفعة واحدة

Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)          (الصيغة العامة)
إذا Δ > 0 → جذران حقيقيان مختلفان
إذا Δ = 0 → جذر مكرر x = -b / (2a)
إذا Δ < 0 → جذران مركبان: x = -b/(2a) ± (√(-Δ)/(2a)) i
L + M = -b / a                      (مجموع الجذرين)
L · M = c / a                       (حاصل ضرب الجذرين)

---

بالتوفيق في امتحاناتك!