ملخص الرياضيات أولى ثانوي، الترم الأول مقدمة عن الأعداد المركبة

أهداف التعلم

1. حساب مجموع وجداء جذري معادلة من الدرجة الثانية في متغيّر واحد.
2. استخراج بعض معاملات معادلة من الدرجة الثانية إذا عُرف أحد الجذرين أو كلاهما.
3. تحديد المميز (Δ) للمعادلة التربيعية واستخدامه لتصنيف طبيعة الجذور.
4. فهم طبيعة الجذور (حقيقية، متساوية، أو مركبة) بناءً على قيم المميز.
5. تكوين معادلة من الدرجة الثانية عندما تُعطى معادلة أخرى من الدرجة الثانية.
6. التعرف على الأعداد المركبة: تعريفها، قوى الوحدة التخيلية i، الشكل الجبري، ومساواة عددين مركبين.
7. حل المتباينات التربيعية (اللا مساواة) في متغيّر واحد.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• العدد المركب
  إذا كان $a, b$ عددين حقيقيين، فإن العدد $z = a + b i$ يُسمى عددًا مركبًا.

  • الجزء الحقيقي هو $a$.
  • الجزء التخيلي هو $b i$.

• العدد التخييلي
  الوحدة التخيلية $i$ تُعرّف بأنها العدد الذي يحقق $i^{2} = -1$.
  القوى المتكررة للوحدة التخيلية:

$$i^{1}=i,; i^{2}=-1,; i^{3}=-i,; i^{4}=1,; i^{5}=i,\dots$$

• العدد الحقيقي
  عندما يكون $b = 0$ يصبح $z = a$ عددًا حقيقيًا.

• العدد التخييلي الصافي
  عندما يكون $a = 0$ يصبح $z = b i$ عددًا تخييليًا صافيًا (مع $b \neq 0$).

• معادلة من الدرجة الثانية
  الشكل العام: $a x^{2} + b x + c = 0$ حيث $a \neq 0$.

• المميز (Δ)

$$Δ = b^{2} - 4 a c$$

يُستعمل لتحديد طبيعة الجذور.

• العلاقة بين الجذور والمعاملات
  إذا كان الجذران $x_{1}, x_{2}$ للمعادلة $a x^{2}+b x +c =0$ فإن:

$$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}, \qquad x_{1},x_{2}= \frac{c}{a}$$

• مساواة عددين مركبين
  العددان $z_{1}=a+bi$ و$z_{2}=c+di$ متساويان إذا وفقط إذا كان $a=c$ و$b=d$.

• إشارة الدالة التربيعية
  إشارة الدالة $f(x)=a x^{2}+b x +c$ تعتمد على إشارة $a$ وموقع جذورها على محور $x$.

• المتباينة التربيعية
  صيغة عامة: $a x^{2}+b x +c ; \text{(≥, ≤, >, <)} ; 0$. تُحلّ بتحليل إشارة الدالة على فترات محددة بحسب جذورها.

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. قانون مجموع وجداء الجذور

x₁ + x₂ = -b / a
x₁·x₂ =  c / a

شرط التطبيق: المعادلة من الشكل $a x^{2}+b x +c =0$ مع $a ≠ 0$.
ملاحظة: إذا كان $a=1$ يصبح المجموع $-b$ والجداء $c$.

2. قانون المميز (Δ)

Δ = b² - 4 a c

شرط التطبيق: أي معادلة تربيعية.
ملاحظة:

• إذا Δ > 0 → جذران حقيقيان مميزان.
• إذا Δ = 0 → جذران حقيقيان متساويان.
• إذا Δ < 0 → جذران مركبان (مترافقان).

3. تعريف الوحدة التخيلية i

i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1

شرط التطبيق: عند التعامل مع جذور سالب داخل مجموعة الأعداد الحقيقية.
ملاحظة: دورة القوى تتكرر كل 4.

4. صيغة كتابة عدد مركب في الشكل الجبري

z = a + b i   (a, b ∈ ℝ)

شرط التطبيق: لتحديد الجزء الحقيقي والجزء التخييلي.
ملاحظة: إذا b = 0 يصبح العدد حقيقيًا؛ إذا a = 0 يصبح عددًا تخييليًا صافيًا.

5. قاعدة مساواة عددين مركبين

a + b i = c + d i  ⇔  a = c  وَ  b = d

شرط التطبيق: عندما يُقارن عددان مركبان.
ملاحظة: لا يجوز مساواة الأجزاء المتقابلة إذا اختلف أحدهما.

6. قاعدة تكوين معادلة من جذور معروفة

إذا كان الجذران x₁ , x₂
المعادلة هي:  (x - x₁)(x - x₂) = 0

شرط التطبيق: معرفة الجذرين (حقيقيين أو مركبين).
ملاحظة: بعد التوسيع نحصل على الشكل العام $x^{2} - (x₁+x₂) x + x₁ x₂ = 0$.

7. قاعدة حل المتباينة التربيعية

1- احسب Δ لتحديد موقع الجذور.
2- حدّد إشارة a.
3- استخدم جدول الإشارة:
   إذا a > 0 → إشارة الدالة موجبة خارج الفواصل بين الجذور.
   إذا a < 0 → إشارة الدالة موجبة داخل الفواصل بين الجذور.
4- ضع علامة المتباينة (≥, ≤, >, <) لتحديد الفواصل المطلوبة.

شرط التطبيق: معادلة من الدرجة الثانية مع معامل a ≠ 0.
ملاحظة: عند Δ < 0 تكون إشارة الدالة ثابتة (موجبة إذا a>0، سالبة إذا a<0).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المطلوب: احسب مجموع وجداء جذري المعادلة $x^{2} - 5x + 6 = 0$.

الحل:

1. المعاملات: $a = 1,; b = -5,; c = 6$.
2. باستخدام قانون المجموع والجداء:

$$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}= -\frac{-5}{1}=5$$

$$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}= \frac{6}{1}=6$$

النتيجة: المجموع = 5 ، الجداء = 6.

---

مثال 2 – متوسط

المطلوب: حدّد طبيعة جذري المعادلة $2x^{2}+3x-2 = 0$.

الحل:

1. المعاملات: $a = 2,; b = 3,; c = -2$.
2. احسب المميز:

$$Δ = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25$$

3. بما أن $Δ > 0$ فإن الجذور حقيقية ومميزة.
4. لحساب الجذور (اختياري):

$$x_{1,2}= \frac{-b ± \sqrt{Δ}}{2a}= \frac{-3 ± 5}{4}$$

→ $x_{1}= \frac{2}{4}=0.5$ ، $x_{2}= \frac{-8}{4}= -2$.

النتيجة: الجذور حقيقية ومختلفة.

---

مثال 3 – صعب

المطلوب: حل المتباينة $x^{2}+4x+5 > 0$ وبيّن ما إذا كان هناك حلول حقيقية أم لا.

الحل:

1. المعاملات: $a = 1,; b = 4,; c = 5$.
2. احسب المميز:

$$Δ = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4·1·5 = 16 - 20 = -4$$

3. بما أن $Δ < 0$ لا توجد جذور حقيقية؛ الدالة تبقى ذات إشارة ثابتة.
4. إشارة $a$ موجبة ($a = 1 > 0$) ⇒ الدالة موجبة لكل قيم $x$ في ℝ.
5. إذن المتباينة صحيحة لكل $x ∈ ℝ$.

النتيجة: المتباينة صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية؛ لا حاجة لتحديد فواصل.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط الجزء الحقيقي مع التخييلي: عند كتابة عدد مركب يجب وضع $i$ بعد الجزء التخييلي فقط (مثال: $3 + 2i$ وليس $3i + 2$).
• نسيان دورة قوى $i$: عند رفع $i$ إلى أسس أعلى من 4 يجب إرجاعها إلى دورة الأربعة لتجنب الأخطاء (مثال: $i^{7}=i^{(4·1+3)}=i^{3}=-i$).
• إهمال إشارة $a$ في جدول الإشارة للمتباينات: إشارة الدالة تعتمد على ما إذا كان $a$ موجبًا أو سالبًا؛ إغفال ذلك يغيّر النتيجة.
• حساب المميز بصورة خاطئة: نسيان الضرب بـ4 أو إهمال إشارة $c$ قد يؤدي إلى تصنيف الجذور بصورة غير صحيحة.
• مقارنة عددين مركبين بخلط الأجزاء: لا يجوز القول إن $3+2i = 2+3i$ لأن الأجزاء الحقيقية لا تتساوى.
• استخدام صيغة المجموع والجداء عندما يكون $a = 0$: إذا كان معامل $x^{2}$ يساوي صفرًا فالمعادلة ليست تربيعية ولا تنطبق القواعد.

---

قائمة المراجعة

1. هل كتبت المعادلة التربيعية بالشكل $a x^{2}+b x +c =0$ مع $a ≠ 0$؟
2. هل حسبت المميز $Δ = b^{2} - 4 a c$ بدقة؟
3. هل حددت طبيعة الجذور بناءً على إشارة $Δ$؟
4. هل استخدمت صيغتي المجموع $-b/a$ والجداء $c/a$ فقط عندما تكون المعادلة تربيعية؟
5. هل كتبت العدد المركب في الشكل $a + b i$ مع توضيح الجزء الحقيقي والتخيلي؟
6. هل تذكرت دورة قوى $i$ (i, -1, -i, 1) عند التعامل مع أسس أعلى؟
7. هل تحققت من مساواة عددين مركبين بمقارنة الأجزاء المنفصلة؟
8. هل استخدمت قاعدة تكوين معادلة من جذور معروفة عندما تُعطى الجذور؟
9. عند حل المتباينة، هل حددت إشارة $a$ أولًا؟
10. هل رسمت جدول إشارة الدالة بناءً على موقع الجذور (إن وجدت)؟
11. هل تأكدت من عدم وجود جذور حقيقية عندما يكون $Δ < 0$ قبل تطبيق أي طريقة حل للمتباينات؟
12. هل راجعت الأخطاء الشائعة المذكورة لتجنب الوقوع فيها؟
13. هل استخدمت الآلة الحاسبة العلمية للتحقق من القيم العددية عند الحاجة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

Δ = b² - 4 a c
x₁ + x₂ = -b / a
x₁·x₂ =  c / a
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
z = a + b i
a + b i = c + d i  ⇔  a = c  وَ  b = d
(x - x₁)(x - x₂) = 0  →  x² - (x₁+x₂) x + x₁ x₂ = 0

---

بالتوفيق في امتحاناتك!