ملخص الرياضيات التطبيقية تانية ثانوي، الترم الأول محصلة عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة

المصطلحات والتعريفات

• محصلة عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة: هي القوة الواحدة التي تعمل على جسم وتؤثر بنفس التأثير الذي تؤثره القوى المتعددة معًا.
• المركبة الجبرية: هي جزء من القوة في اتجاه معين، مثل اتجاه السينات أو الصادات.
• متجه الوحدة: هو متجه له نفس اتجاه القوة وأبعاده وحدة واحدة.
• قاعدة مثلث القوى: إذا اتزنت ثلاث قوى ممثلة تمثيلاً تامًا بأضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد، فإن هذه القوى تكون متزنة.

محصلة عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة — الطريقة الهندسية

تعتمد الطريقة الهندسية على رسم مضلع القوى، حيث يتم تمثيل كل قوة بمتجه في اتجاهها ومقدارها. ثم يتم ربط نهايات هذه المتجهات بترتيب معين لتشكيل مضلع. المتجه الذي يربط بين بداية المتجه الأول ونهاية المتجه الأخير يمثل محصلة القوى.

مثال على الطريقة الهندسية

إذا كانت لدينا قوتين، الأولى 4 نيوتن في اتجاه الشرق، والثانية 3 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، يمكننا رسم متجهين لهما نفس اتجاه ومقدار هذه القوى. ثم نربط بين نهايتي هذين المتجهين لتشكيل مثلث. المتجه الذي يربط بين بداية المتجه الأول ونهاية المتجه الثاني يمثل محصلة القوى.

محصلة عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة — الطريقة التحليلية

تعتمد الطريقة التحليلية على تحليل كل قوة في اتجاهي السينات والصادات، ثم جمع هذه المركبات لتحديد مقدار واتجاه محصلة القوى.

مثال على الطريقة التحليلية

إذا كانت لدينا قوتين، الأولى 4 نيوتن في اتجاه الشرق، والثانية 3 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، يمكننا تحليل هذه القوى في اتجاهي السينات والصادات كما يلي:

• القوة الأولى: 4 نيوتن في اتجاه الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 4 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 0 نيوتن.
• القوة الثانية: 3 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 3 نيوتن * cos(60°) = 1.5 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 3 نيوتن * sin(60°) = 2.6 نيوتن.

ثم نجمع هذه المركبات لتحديد مقدار واتجاه محصلة القوى:

• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه السينات = 4 نيوتن + 1.5 نيوتن = 5.5 نيوتن.
• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه الصادات = 0 نيوتن + 2.6 نيوتن = 2.6 نيوتن.

مقدار محصلة القوى = √(5.5^2 + 2.6^2) = √(30.25 + 6.76) = √36.99 ≈ 6.1 نيوتن.

اتجاه محصلة القوى = arctan(2.6/5.5) ≈ 25.2°.

تطبيقات وأمثلة محلولة

مثال 1

إذا كانت لدينا ثلاث قوى، الأولى 5 نيوتن في اتجاه الشرق، والثانية 3 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، والثالثة 2 نيوتن في اتجاه 120° شمال الشرق، يمكننا تحليل هذه القوى في اتجاهي السينات والصادات كما يلي:

• القوة الأولى: 5 نيوتن في اتجاه الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 5 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 0 نيوتن.
• القوة الثانية: 3 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 3 نيوتن * cos(60°) = 1.5 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 3 نيوتن * sin(60°) = 2.6 نيوتن.
• القوة الثالثة: 2 نيوتن في اتجاه 120° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 2 نيوتن * cos(120°) = -1 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 2 نيوتن * sin(120°) = 1.73 نيوتن.

ثم نجمع هذه المركبات لتحديد مقدار واتجاه محصلة القوى:

• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه السينات = 5 نيوتن + 1.5 نيوتن - 1 نيوتن = 5.5 نيوتن.
• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه الصادات = 0 نيوتن + 2.6 نيوتن + 1.73 نيوتن = 4.33 نيوتن.

مقدار محصلة القوى = √(5.5^2 + 4.33^2) = √(30.25 + 18.7489) = √48.9989 ≈ 7 نيوتن.

اتجاه محصلة القوى = arctan(4.33/5.5) ≈ 38.2°.

مثال 2

إذا كانت لدينا أربع قوى، الأولى 10 نيوتن في اتجاه الشرق، والثانية 5 نيوتن في اتجاه 30° شمال الشرق، والثالثة 8 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، والرابعة 12 نيوتن في اتجاه 90° شمال الشرق، يمكننا تحليل هذه القوى في اتجاهي السينات والصادات كما يلي:

• القوة الأولى: 10 نيوتن في اتجاه الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 10 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 0 نيوتن.
• القوة الثانية: 5 نيوتن في اتجاه 30° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 5 نيوتن * cos(30°) = 4.33 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 5 نيوتن * sin(30°) = 2.5 نيوتن.
• القوة الثالثة: 8 نيوتن في اتجاه 60° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 8 نيوتن * cos(60°) = 4 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 8 نيوتن * sin(60°) = 6.93 نيوتن.
• القوة الرابعة: 12 نيوتن في اتجاه 90° شمال الشرق، لذا مركبتها في اتجاه السينات هي 12 نيوتن * cos(90°) = 0 نيوتن، ومركبتها في اتجاه الصادات هي 12 نيوتن * sin(90°) = 12 نيوتن.

ثم نجمع هذه المركبات لتحديد مقدار واتجاه محصلة القوى:

• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه السينات = 10 نيوتن + 4.33 نيوتن + 4 نيوتن + 0 نيوتن = 18.33 نيوتن.
• المجموع الجبري لمركبات القوى في اتجاه الصادات = 0 نيوتن + 2.5 نيوتن + 6.93 نيوتن + 12 نيوتن = 21.43 نيوتن.

مقدار محصلة القوى = √(18.33^2 + 21.43^2) = √(335.3889 + 459.4849) = √794.8738 ≈ 28.2 نيوتن.

اتجاه محصلة القوى = arctan(21.43/18.33) ≈ 49.5°.

تنبيهات الامتحان

1. يجب الانتباه إلى اتجاهات القوى عند تحليلها في اتجاهي السينات والصادات.
2. يجب التأكد من استخدام قيم الزوايا الصحيحة عند حساب المركبات الجبرية للقوى.
3. يجب الانتباه إلى الوحدات المستخدمة في الحسابات، حيث يجب أن تكون جميع القوى بوحدة نيوتن.
4. يجب التأكد من استخدام الصيغ الصحيحة لحساب مقدار واتجاه محصلة القوى.

قائمة المراجعة

1. محصلة عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة هي القوة الواحدة التي تعمل على جسم وتؤثر بنفس التأثير الذي تؤثره القوى المتعددة معًا.
2. الطريقة الهندسية لتحليل القوى تعتمد على رسم مضلع القوى.
3. الطريقة التحليلية لتحليل القوى تعتمد على تحليل كل قوة في اتجاهي السينات والصادات.
4. يجب تحليل كل قوة في اتجاهي السينات والصادات لتحديد مركباتها الجبرية.
5. يجب جمع المركبات الجبرية للقوى في اتجاهي السينات والصادات لتحديد مقدار واتجاه محصلة القوى.
6. يجب استخدام الصيغ الصحيحة لحساب مقدار واتجاه محصلة القوى.
7. يجب الانتباه إلى اتجاهات القوى عند تحليلها في اتجاهي السينات والصادات.
8. يجب التأكد من استخدام قيم الزوايا الصحيحة عند حساب المركبات الجبرية للقوى.
9. يجب الانتباه إلى الوحدات المستخدمة في الحسابات، حيث يجب أن تكون جميع القوى بوحدة نيوتن.
10. يجب التأكد من استخدام الصيغ الصحيحة لحساب مقدار واتجاه محصلة القوى.
11. يجب الانتباه إلى قيم الدوال المثلثية للزوايا الشهيرة.
12. يجب التأكد من استخدام آلة حاسبة علمية أو برامج رسم هندسي للحاسوب لتحليل القوى.

بالتوفيق في امتحاناتك!