الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ١ / ٧ زتونة
زتونة
رياضيات · الصف الثالث الإعدادي

الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال

في هذه الوحدة ندرس كيفية تمثيل العلاقات بين المجموعات باستخدام حاصل الضرب الديكارتي، ونفهم نظام الإحداثيات الديكارتي لتحديد موقع النقاط في المستوى، ونستكشف تعريف العلاقات وطرق تمثيلها المختلفة.

حاصل الضرب الديكارتي نظام الإحداثيات العلاقات والدوال
الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٢ / ٧ زتونة

المفاهيم الأساسية

المجموعة (Set)
تجمع من الأشياء المتميزة جيدًا.
الزوج المرتب (Ordered Pair)
زوج من العناصر $(a, b)$ حيث يكون الترتيب مهمًا، أي أن $(a, b) \neq (b, a)$ إلا إذا كان $a = b$.
حاصل الضرب الديكارتي (Cartesian Product)
لمجموعتين س و ص، هو مجموعة كل الأزواج المرتبة $(a, b)$ حيث $a \in س$ و $b \in ص$. ويُرمز له بالرمز $س \times ص$.
نظام الإحداثيات الديكارتي
نظام يستخدم لتحديد موقع نقطة في المستوى باستخدام زوج مرتب من الأعداد الحقيقية $(x, y)$، حيث $x$ يمثل الإحداثي السيني (الموقع الأفقي) و $y$ يمثل الإحداثي الصادي (الموقع الرأسي).
العلاقة
من مجموعة $A$ إلى مجموعة $B$ هي مجموعة من الأزواج المرتبة $(a, b)$ بحيث أن $a \in A$ و $b \in B$.
الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٣ / ٧ زتونة

تمثيل حاصل الضرب الديكارتي

يُمكن تمثيل حاصل الضرب الديكارتي $س \times ص$ بطريقتين رئيسيتين: المخطط السهمي والشبكة البيانية المتعامدة. المخطط السهمي يمثل كل زوج مرتب بسهم يخرج من مسقطه الأول (من المجموعة س) وينتهي عند مسقطه الثاني (من المجموعة ص).

أما التمثيل على الشبكة البيانية المتعامدة فيتم عن طريق تمثيل عناصر المجموعة س أفقيًا على محور السينات وعناصر المجموعة ص رأسيًا على محور الصادات. نقاط تقاطع الخطوط الأفقية والرأسية هي التي تُمثل الأزواج المرتبة لعناصر حاصل الضرب الديكارتي.

في المخطط السهمي، إذا كان المسقط الأول يساوي المسقط الثاني (مثل $(3,3)$)، فإن الزوج المرتب يُمثل بعروة (حلقة) تدل على أن السهم يخرج من النقطة وينتهي عند نفس النقطة.

النقاط الرئيسية

★ المخطط السهمي: يرسم سهم من كل عنصر في المجموعة الأولى (س) إلى كل عنصر في المجموعة الثانية (ص).
★ الشبكة البيانية: عناصر المجموعة س على المحور الأفقي (السينات) وعناصر ص على المحور الرأسي (الصادات).
★ الزوج المرتب $(a,a)$ يُرسم كعروة (حلقة) في المخطط السهمي.
★ حاصل الضرب الديكارتي $س \times ص$ يختلف عن $ص \times س$ لأن الترتيب في الزوج المرتب مهم.
الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٤ / ٧ زتونة

القوانين و النظام الإحداثي

قانون عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي
$ ن(س \times ص) = ن(س) \times ن(ص) $

حيث: $ن(س)$ = عدد عناصر المجموعة س, $ن(ص)$ = عدد عناصر المجموعة ص

يُستخدم هذا القانون لحساب العدد الإجمالي للأزواج المرتبة في حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين منتهيتين. على سبيل المثال، إذا كانت $س$ تحتوي على 3 عناصر و $ص$ تحتوي على 2 عناصر، فإن $س \times ص$ يحتوي على $3 \times 2 = 6$ أزواج مرتبة.

رمز المستوى الإحداثي الكامل
$\mathbb{R}^2$ أو $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$

حيث: $\mathbb{R}$ = مجموعة الأعداد الحقيقية

نظام الإحداثيات الديكارتي (المستوي) يقسم المستوى إلى أربعة أرباع حسب إشارات الإحداثيين السيني والصادي. نقطة الأصل هي $(0, 0)$.

النقاط الرئيسية

★ عدد عناصر $س \times ص$ = حاصل ضرب عدد عناصر س في عدد عناصر ص.
★ النقطة على محور السينات لها إحداثي صادي $y = 0$.
★ النقطة على محور الصادات لها إحداثي سيني $x = 0$.
★ الربع الأول: $x > 0, y > 0$. الربع الثاني: $x < 0, y > 0$. الربع الثالث: $x < 0, y < 0$. الربع الرابع: $x > 0, y < 0$.
الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٥ / ٧ زتونة

مثال تطبيقي محلول

📝 السؤال
إذا كانت $س = \{3, 4, 8\}$، فأوجد $س \times س$ (حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة مع نفسها). ثم احسب عدد عناصر هذه المجموعة الناتجة باستخدام القانون المناسب.

✏️ الحل خطوة بخطوة

١

نكتب تعريف حاصل الضرب الديكارتي: $س \times س = \{(a, b) \mid a \in س \text{ و } b \in س\}$.

٢

نكتب جميع الأزواج المرتبة الممكنة حيث العنصر الأول والثاني من المجموعة س = {3, 4, 8}.

٣

إذن: $س \times س = \{(3,3), (3,4), (3,8), (4,3), (4,4), (4,8), (8,3), (8,4), (8,8)\}$.

٤

لحساب عدد العناصر، نستخدم القانون: $ن(س \times ص) = ن(س) \times ن(ص)$. هنا $ص = س$، و $ن(س) = 3$.

٥

إذن: $ن(س \times س) = ن(س) \times ن(س) = 3 \times 3 = 9$ عناصر.

الإجابة النهائية

$س \times س$ يحتوي على 9 أزواج مرتبة.

الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٦ / ٧ زتونة

أسئلة للمراجعة الذاتية

فكّر في الإجابة أولاً، ثم اضغط «اكشف الإجابة»

السؤال ١
ما هو حاصل الضرب الديكارتي $س \times ص$ للمجموعتين $س = \{0, 2\}$ و $ص = \{1\}$؟
حاصل الضرب الديكارتي هو مجموعة كل الأزواج المرتبة حيث العنصر الأول من س والثاني من ص. إذن: $س \times ص = \{(0,1), (2,1)\}$.
السؤال ٢
ما الفرق بين تمثيل حاصل الضرب الديكارتي بالمخطط السهمي وتمثيله بالشبكة البيانية المتعامدة؟
المخطط السهمي يمثل كل زوج مرتب بسهم يربط عنصرًا من المجموعة الأولى بعنصر من المجموعة الثانية. الشبكة البيانية المتعامدة تمثل العناصر على محورين متعامدين (سينات وصادات) وتمثل الأزواج المرتبة كنقاط تقاطع.
السؤال ٣
إذا كانت $ن(س) = 4$ و $ن(ص) = 5$، فما عدد عناصر $س \times ص$؟ وما عدد عناصر $ص \times س$؟
باستخدام القانون $ن(س \times ص) = ن(س) \times ن(ص)$، نجد أن عدد عناصر $س \times ص = 4 \times 5 = 20$. وبالمثل، عدد عناصر $ص \times س = ن(ص) \times ن(س) = 5 \times 4 = 20$. العدد نفسه لأن الضرب عملية إبدالية، لكن المجموعتين الناتجتين مختلفتان لأن ترتيب الأزواج المرتبة مختلف.
الوحدة الأولى: العلاقات و الدوال ٧ / ٧ زتونة

📋 ملخص الفصل الشامل

✓ حاصل الضرب الديكارتي $س \times ص$ هو مجموعة كل الأزواج المرتبة $(a, b)$ حيث $a \in س$ و $b \in ص$.
✓ يمكن تمثيل حاصل الضرب الديكارتي بطريقتين: المخطط السهمي (برسم أسهم) والشبكة البيانية المتعامدة (كنقاط تقاطع).
✓ عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي يُعطى بالقانون: $ن(س \times ص) = ن(س) \times ن(ص)$ للمجموعات المنتهية.
✓ نظام الإحداثيات الديكارتي يستخدم زوجًا مرتبًا $(x, y)$ لتحديد موقع نقطة في المستوى، حيث $x$ هو الإحداثي السيني و $y$ هو الإحداثي الصادي.
✓ ينقسم المستوى الإحداثي إلى أربعة أرباع تحددها إشارات $x$ و $y$: الربع الأول (+,+)، الثاني (-,+)، الثالث (-,-)، الرابع (+,-).
✓ العلاقة من مجموعة $A$ إلى مجموعة $B$ هي مجموعة من الأزواج المرتبة $(a, b)$ بحيث أن $a \in A$ و $b \in B$.
$س \times ص = \{(a, b) \mid a \in س \text{ و } b \in ص\}$ $ ن(س \times ص) = ن(س) \times ن(ص) $ $\mathbb{R}^2$

أحسنت! لقد أتممت مراجعة الوحدة الأولى. تأكد من فهمك لتمثيل العلاقات وحساب عدد عناصرها، فهي أساس الدوال في الدروس القادمة. استمر في المذاكرة!