ملخص الرياضيات تالتة إعدادي الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

أهداف التعلم

1. التعرف على تاريخ نشأة علم حساب المثلثات وأهم العلماء الذين أسهموا فيه.
2. فهم وحدات قياس الزوايا (درجة، دقيقة، ثانية) وتحويلها بين الصيغ المختلفة.
3. استيعاب تعريف النسب المثلثية (sin, cos, tan) في المثلث القائم الزاوية.
4. استخراج النسب المثلثية للزوايا الخاصة 30°, 45°, 60° باستخدام الهندسة.
5. تطبيق قانون الجيب (قانون الساين) لحل المثلثات غير القائمة.
6. توظيف نظرية فيثاغورس في اشتقاق النسب المثلثية وحل المسائل الهندسية.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

---

القوانين والنظريات والقواعد

1. تحويل الزوايا من الدرجات‑الدقائق‑الثواني إلى درجات عشرية

الزاوية بالدرجات العشرية = الدرجات + (الدقائق ÷ 60) + (الثواني ÷ 3600)

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاوية مُعطاة بصيغة D° M' S''.
ملاحظة: القسمة تُجرى بدقة لتفادي الأخطاء في التقريب.

2. تحويل الزوايا من الدرجات العشرية إلى الدرجات‑الدقائق‑الثواني

الدرجة = الجزء الصحيح من العدد العشري
الدقائق = الجزء العشري المتبقي × 60 → الجزء الصحيح هو عدد الدقائق
الثواني = (الجزء العشري المتبقي من الدقائق) × 60 → تقرب إلى أقرب عدد صحيح

شرط التطبيق: الزاوية مُعطاة كعدد عشري بالدرجة.
ملاحظة: إذا كان الجزء العشري للثواني < 0.5 فيُقرب إلى الصفر.

3. علاقة التحويل بين الوحدات

1° = 60'
1' = 60''
1° = 3600''

شرط التطبيق: لا يُسمح بخلط الوحدات دون تحويل.

4. تعريف النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية

sin θ = (الضلع المقابل) ÷ (الوتر)
cos θ = (الضلع المجاور) ÷ (الوتر)
tan θ = (الضلع المقابل) ÷ (الضلع المجاور)

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاوية داخل مثلث قائم.
ملاحظة: إذا كان θ = 90° فإن sin θ = 1، cos θ = 0، tan θ غير معرف.

5. قانون الجيب (Sine Rule)

a / sin A = b / sin B = c / sin C

شرط التطبيق: المثلث غير قائم أو قائم؛ تُستعمل الزوايا المقابلة للأضلاع.
ملاحظة: يجب تحويل الزوايا إلى راديان أو إلى درجة ثم استعمال الدالة sin بالدرجة.

6. نظرية فيثاغورس

a² + b² = c²

شرط التطبيق: المثلث قائم الزاوية؛ a و b هما الضلعان القائمان، c هو الوتر.
ملاحظة: تُستعمل لاشتقاق النسب المثلثية للزوايا الخاصة.

7. النسب المثلثية للزوايا الخاصة

شرط التطبيق: تُستعمل عندما تكون الزاوية إحدى الزوايا الخاصة.
ملاحظة: القيم تُستنتج من مثلثات متساوية الأضلاع (30°‑60°) أو متساوية الساقين (45°).

---

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل (تحويل زاوية إلى درجات عشرية)

المعطى: الزاوية 30° 15' 45''.
الحل:

1. استخدم قاعدة التحويل إلى درجات عشرية.
2. 30 + (15 ÷ 60) + (45 ÷ 3600) = 30 + 0.25 + 0.0125 = 30.2625°.

مثال 2 – متوسط (استخدام قانون الجيب)

المعطى: في مثلث ABC، a = 8 سم، A = 30°, B = 45°. احسب طول الضلع b.
الحل:

1. نكتب قانون الجيب: a / sin A = b / sin B.
2. نحسب sin A = sin 30° = 1/2، sin B = sin 45° = √2/2.
3. نعوض القيم: 8 ÷ (1/2) = b ÷ (√2/2).
4. 8 ÷ 0.5 = 16 → 16 = b ÷ (√2/2).
5. نضرب الطرفين في (√2/2): b = 16 × (√2/2) = 8√2 ≈ 11.31 سم.

مثال 3 – صعب (تحويل زاوية ثم استعمال قانون الجيب)

المعطى: في مثلث XYZ، الزاوية X = 45° 30' 0''. طول الضلع المقابل لها (y) = 12 سم. الزاوية Y = 60°. احسب طول الضلع z (المقابل للزاوية Z).
الحل:

1. تحويل الزاوية X إلى درجة عشرية: 45 + (30 ÷ 60) = 45 + 0.5 = 45.5°.
2. حساب sin X = sin 45.5°. نستخدم تقريباً sin 45.5° ≈ 0.713 (يمكن الاستعانة بجدول أو آلة حاسبة).
3. حساب sin Y = sin 60° = √3/2 ≈ 0.866.
4. قانون الجيب: y / sin X = z / sin Z = x / sin Y. نحتاج sin Z أولاً؛ الزاوية Z = 180° – (X + Y) = 180° – (45.5° + 60°) = 74.5°.
5. sin Z = sin 74.5° ≈ 0.962.
6. نكتب النسبة بين y و sin X: 12 ÷ 0.713 ≈ 16.83.
7. الآن نحسب z: z = 16.83 × sin Z = 16.83 × 0.962 ≈ 16.19 سم.

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان تحويل الدقائق والثواني قبل استعمال القيم في القوانين؛ يؤدي إلى أخطاء كبيرة في النتائج.
• خلط الضلع المقابل مع الضلع المجاور عند حساب sin أو cos أو tan.
• استخدام قانون الجيب مع زاوية 0° أو 180°؛ حيث يكون sin الزاوية صفرًا ويؤدي إلى قسمة على صفر.
• تقريب الجذر أو الجذر التربيعي بصورة غير دقيقة (مثلاً √3 ≈ 1.7 بدلاً من 1.732)؛ يسبب انحرافًا في القيم النهائية.
• إهمال شرط القاعدة مثل تطبيق قانون الجيب على مثلث غير معروف أضلاعه أو زواياه.
• عدم تقريب الثواني إلى أقرب عدد صحيح عند التحويل من الدرجات العشرية إلى DMS؛ ينتج عنه فرق في الدقة.

---

قائمة المراجعة

1. هل عرفت تاريخ نشأة علم المثلثات وأسماء العلماء الرئيسيين؟
2. هل حفظت علاقة التحويل بين الدرجة، الدقيقة، والثانية؟
3. هل تستطيع تحويل أي زاوية من DMS إلى درجة عشرية والعكس؟
4. هل تعرف تعريف sin, cos, tan في المثلث القائم؟
5. هل حفظت النسب المثلثية للزوايا 30°, 45°, 60°؟
6. هل تستطيع اشتقاق هذه النسب باستخدام فيثاغورس؟
7. هل تعرف صيغة قانون الجيب ومتى يُستعمل؟
8. هل تتذكر شرط تطبيق نظرية فيثاغورس؟
9. هل تستطيع حل مثلث باستخدام قانون الجيب عندما تُعطى زاويتان وضلع واحد؟
10. هل تتجنب الأخطاء الشائعة المذكورة أعلاه؟
11. هل تتأكد من تقريب القيم إلى عدد مناسب من المنازل العشرية حسب المطلوب؟
12. هل تراجع خطوات التحويل قبل إدخال القيم في الآلة الحاسبة؟

---

جميع القوانين دفعة واحدة

الزاوية بالدرجات العشرية = الدرجات + (الدقائق ÷ 60) + (الثواني ÷ 3600)
الدرجة = الجزء الصحيح من العدد العشري
الدقائق = (الجزء العشري المتبقي × 60) → جزء صحيح = عدد الدقائق
الثواني = (الجزء العشري المتبقي من الدقائق × 60) → تقرب
1° = 60'
1' = 60''
1° = 3600''
sin θ = (الضلع المقابل) ÷ (الوتر)
cos θ = (الضلع المجاور) ÷ (الوتر)
tan θ = (الضلع المقابل) ÷ (الضلع المجاور)
a / sin A = b / sin B = c / sin C
a² + b² = c²
sin 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
tan 30° = 1/√3 = √3/3
sin 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
tan 45° = 1
sin 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
tan 60° = √3

---

بالتوفيق في امتحاناتك!