ملخص الرياضيات تالتة إعدادي الوحدة الثالثة: الإحصاء

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• التشتت: مقياس يعبّر عن مدى تباعد أو تقارب مفردات مجموعة البيانات حول قيمة مركزية (مثل المتوسط).
• المجموعة المتقاربة: مجموعة تكون قيمها قريبة من بعضها البعض، أي أن التشتت فيها صغير.
• المجموعة المتباعدة: مجموعة تكون قيمها موزعة على نطاق واسع، أي أن التشتت فيها كبير.
• المدى: الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في العينة. يُعبّر عنه بـ المدى = القيم العظمى – القيم الصغرى.
• الانحراف المتوسط: متوسط القيم المطلقة للفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. يُكتب بـ انحراف متوسط = (|x₁‑μ| + |x₂‑μ| + … + |xₙ‑μ|) ÷ n.
• التباين: متوسط مربعات الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. يُعطى بـ تباين = [(x₁‑μ)² + (x₂‑μ)² + … + (xₙ‑μ)²] ÷ n.
• الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين، وهو مقياس شائع للتشتت. يُكتب بـ انحراف معياري = √(تباين).

القوانين والنظريات والقواعد

المدى

المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة

شرط التطبيق: يجب أن تكون القيم مرتبة أو معروفة الحدين العظمى والصغرى.
ملاحظة: لا يُظهر المدى توزيع القيم داخل النطاق؛ قد يكون هناك تجميع كبير في أحد الطرفين.

الانحراف المتوسط

انحراف متوسط = (|x₁‑μ| + |x₂‑μ| + … + |xₙ‑μ|) ÷ n

شرط التطبيق: يُستعمل عندما يكون المطلوب قياس متوسط المسافة المطلقة عن المتوسط.
ملاحظة: يُعطي قيمة أقل من الانحراف المعياري لأن الجذر التربيعي يُكبر القيم.

التباين

تباين = [(x₁‑μ)² + (x₂‑μ)² + … + (xₙ‑μ)²] ÷ n

شرط التطبيق: يُستعمل لتقدير مدى تشتت القيم حول المتوسط مع إعطاء وزن أكبر للفروق الكبيرة.
ملاحظة: وحدة التباين هي مربع وحدة المتغير (مثلاً إذا كان المتغير جنيهًا، فالتباين يكون جنيه²).

الانحراف المعياري

انحراف معياري = √(تباين)

شرط التطبيق: يُستعمل عندما نحتاج مقياس للتشتت بنفس وحدة المتغير الأصلي.
ملاحظة: إذا كان التباين صفرًا، فإن الانحراف المعياري صفرًا أيضًا، ما يعني عدم وجود تشتت.

أمثلة محلولة

مثال 1 – سهل

المعطى: مجموعة الأجور (أ) = {170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240}.

المطلوب: حساب المتوسط، المدى، والانحراف المعياري.

الحل:

1. المتوسط μ = (170+180+…+240) ÷ 8 = 205.
2. المدى = 240 – 170 = 70.
3. حساب التباين:
   • الفروق المربعة: (170‑205)² = 1225، (180‑205)² = 625، …، (240‑205)² = 1225.
   • مجموع الفروق المربعة = 5600.
   • التباين = 5600 ÷ 8 = 700.
4. الانحراف المعياري = √700 ≈ 26.46.

النتيجة: المتوسط 205 جنيه، المدى 70 جنيه، الانحراف المعياري ≈ 26.5 جنيه.

مثال 2 – متوسط

المعطى: مجموعة الأجور (ب) = {100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450}.

المطلوب: حساب المتوسط، المدى، والانحراف المعياري، ثم مقارنة التشتت مع المجموعة (أ).

الحل:

1. المتوسط μ = (100+150+…+450) ÷ 8 = 275.
2. المدى = 450 – 100 = 350.
3. الفروق المربعة: (100‑275)² = 30625، (150‑275)² = 15625، …، (450‑275)² = 30625.
   • مجموع الفروق المربعة = 140000.
   • التباين = 140000 ÷ 8 = 17500.
4. الانحراف المعياري = √17500 ≈ 132.29.

المقارنة: على الرغم من أن المتوسطين (205 و 275) مختلفان، إلا أن المدى والانحراف المعياري للمجموعة (ب) أكبر بكثير، ما يدل على تشتت أكبر مقارنةً بالمجموعة (أ).

مثال 3 – صعب

المعطى: درجات اختبار للصف: {68, 72, 75, 80, 85, 90, 92, 95, 98}.

المطلوب:
أ) حساب المتوسط، الانحراف المتوسط، التباين، والانحراف المعياري.
ب) إذا أضيفت درجة 100 إلى العينة، كيف يتغير كل مقياس؟

الحل (أ):

1. المتوسط μ = (68+72+…+98) ÷ 9 = 83.
2. الانحراف المتوسط:
   • الفروق المطلقة: |68‑83|=15, |72‑83|=11, …, |98‑83|=15.
   • مجموع الفروق = 84.
   • الانحراف المتوسط = 84 ÷ 9 ≈ 9.33.
3. التباين:
   • الفروق المربعة: (68‑83)²=225, (72‑83)²=121, …, (98‑83)²=225.
   • مجموع الفروق المربعة = 1620.
   • التباين = 1620 ÷ 9 = 180.
4. الانحراف المعياري = √180 ≈ 13.42.

الحل (ب): إضافة 100 يجعل عدد القيم 10.

• المتوسط الجديد μ' = (مجموع القيم القديمة + 100) ÷ 10 = (747 + 100) ÷ 10 = 84.7.
• المدى الجديد = 100 – 68 = 32 (زاد عن 30).
• الفروق المربعة الجديدة تُحسب، ينتج تباين ≈ 210، وبالتالي انحراف معياري ≈ 14.49.
• الانحراف المتوسط يزداد إلى ≈ 10.2.

الاستنتاج: إضافة قيمة أعلى من المتوسط يزيد جميع مقاييس التشتت، خصوصًا الانحراف المعياري بسبب تأثير الفروق الكبيرة.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• خلط المتوسط مع المتوسط الحسابي: المتوسط هو نفسه المتوسط الحسابي؛ لا يُستبدل بأي قيمة أخرى.
• استخدام المدى فقط لتقييم التشتت: المدى لا يُظهر توزيع القيم داخل النطاق؛ قد يُضلّ القارئ إذا كان هناك تجميع كبير في أحد الطرفين.
• نسيان قسمة التباين على عدد القيم (n) وليس (n‑1): في الإحصاء الوصفي يُقسم على n؛ في تقدير العينة يُقسم على n‑1 (درجة حرية).
• إهمال وحدة القياس: التباين يُقاس بوحدة مربعة؛ لذا يجب أخذ الجذر للحصول على الانحراف المعياري بنفس وحدة المتغير الأصلي.
• حساب الانحراف المتوسط بدون أخذ القيمة المطلقة: يجب استخدام القيمة المطلقة لتجنب إلغاء الفروق السالبة.

قائمة المراجعة (12+ نقطة)

1. هل تم حساب المتوسط الحسابي للبيانات؟
2. هل تم تحديد أصغر وأكبر قيمة لتحديد المدى؟
3. هل تم حساب الفروق بين كل قيمة والمتوسط؟
4. هل تم أخذ القيمة المطلقة للفروق عند حساب الانحراف المتوسط؟
5. هل تم تربيع الفروق عند حساب التباين؟
6. هل تم قسمة مجموع الفروق المربعة على عدد القيم (n)؟
7. هل تم استخراج الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري؟
8. هل تم مقارنة القيم بين مجموعتين لتحديد أيهما أكثر تشتتًا؟
9. هل تم توثيق جميع الخطوات الحسابية بوضوح؟
10. هل تم مراجعة وحدة القياس لكل مقياس (جنيه، جنيه²، …)؟
11. هل تم الانتباه إلى الفروق بين العينة (n‑1) والسكان (n) عند الحاجة؟
12. هل تم التحقق من عدم وجود أخطاء إملائية في الصيغ الرياضية؟
13. هل تم توضيح معنى كل مقياس في سياق السؤال؟

جميع القوانين دفعة واحدة

المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة
انحراف متوسط = (|x₁‑μ| + |x₂‑μ| + … + |xₙ‑μ|) ÷ n
تباين = [(x₁‑μ)² + (x₂‑μ)² + … + (xₙ‑μ)²] ÷ n
انحراف معياري = √(تباين)

بالتوفيق في امتحاناتك!