جاري العرض... # ملخص: الوحدة الثالثة : الهندسة > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الإعدادي --- ## أهداف التعلم بعد دراسة هذه الوحدة، ستكون قادراً على: 1. **فهم مسلّمات التباين** وتطبيقها في إثبات العلاقات الهندسية بين الزوايا والأضلاع 2. **إثبات نظريات التباين في المثلثات** وتطبيقها على مسائل هندسية متنوعة 3. **استخدام متباينة المثلث** للتحقق من إمكانية تكوين مثلث من ثلاثة أضلاع 4. **تطبيق خواص الزاوية الخارجة** والعلاقات بينها والزوايا الداخلية 5. **حل مسائل هندسية معقدة** تتضمن مقارنات بين الزوايا والأضلاع 6. **استخدام التمام والتكامل** في إثبات المتباينات الهندسية --- ## المفاهيم والتعريفات الرياضية ### المسلّمة (Axiom) قضية رياضية تُقبل دون إثبات، وتُستخدم كأساس لإثبات نظريات أخرى. مثل مسلّمات إقليدس التي بُنيت عليها الهندسة الإقليدية. ### التباين (Inequality) علاقة بين كميتين حيث إحداهما أكبر من أو أصغر من الأخرى، ويُرمز لها بالرموز: > (أكبر من)، < (أصغر من)، ≥ (أكبر من أو يساوي)، ≤ (أصغر من أو يساوي). ### الزاوية الخارجة عن المثلث زاوية تتكون من امتداد أحد أضلاع المثلث خارج المثلث. تقع خارج المثلث وتكون مجاورة لإحدى الزوايا الداخلية. ### التمام (Complementary Angles) زاويتان مجموع قياسهما يساوي 90°. إذا كانت الزاوية الأولى قياسها θ، فإن الزاوية المتممة لها قياسها (90° - θ). ### التكامل (Supplementary Angles) زاويتان مجموع قياسهما يساوي 180°. إذا كانت الزاوية الأولى قياسها θ، فإن الزاوية المكملة لها قياسها (180° - θ). ### متباينة المثلث (Triangle Inequality) مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث. وأيضاً، طول أي ضلع أكبر من الفرق بين طولي الضلعين الآخرين. ### المثلث متساوي الساقين مثلث فيه ضلعان متساويان في الطول. الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية في القياس. ### الخط المتوازي خطان لا يتقاطعان أبداً، ويبقى البعد بينهما ثابتاً. يُرمز للتوازي بالرمز ∥. ### الخط العمودي خط يقطع خطاً آخر بزاوية قائمة (90°). يُرمز للعمودية بالرمز ⊥. --- ## القوانين والنظريات والقواعس ### 1. مسلّمة الإضافة ``` إذا كان a > b فإن: a + c > b + c ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون a و b و c كميات حقيقية. **ملاحظة:** هذه المسلّمة تُستخدم لإضافة نفس الكمية لطرفي متباينة دون تغيير اتجاه المتباينة. ### 2. مسلّمة الطرح ``` إذا كان a > b فإن: a - c > b - c ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون a و b و c كميات حقيقية. **ملاحظة:** طرح نفس الكمية من طرفي متباينة لا يغير اتجاه المتباينة. ### 3. مسلّمة الضرب في عدد موجب ``` إذا كان a > b و c عدداً موجباً فإن: a · c > b · c ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون c > 0 (عدداً موجباً). **ملاحظة:** إذا ضربنا طرفي متباينة في عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة. ### 4. مسلّمة انتقال العلاقة (التعدي) ``` إذا كان a > b و b > c فإن: a > c ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون العلاقات متسلسلة بنفس الاتجاه. **ملاحظة:** هذه المسلّمة تُستخدم في البراهين الهندسية لربط عدة متباينات. ### 5. مسلّمة المجموع ``` إذا كان a > b و c > d فإن: a + c > b + d ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون كلا المتباينتين بنفس الاتجاه. **ملاحظة:** يمكن جمع متباينتين بنفس الاتجاه للحصول على متباينة جديدة. ### 6. مسلّمة المقارنة بين الكل والجزء ``` إذا كان b عدداً موجباً فإن: a + b > a ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون b > 0. **ملاحظة:** إضافة عدد موجب إلى كمية تجعلها أكبر من الكمية الأصلية. --- ### 7. نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث ``` قياس الزاوية الخارجة عن المثلث أكبر من قياس أي زاوية داخلة عدا الزاوية المجاورة لها ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية خارجة عن المثلث (مشكلة من امتداد أحد الأضلاع). **ملاحظة:** إذا كانت الزاوية ACD خارجة عن المثلث ABC، فإن: - m(∠ACD) > m(∠A) - m(∠ACD) > m(∠B) ### 8. متباينة المثلث (مجموع ضلعين) ``` في المثلث ABC: AB + BC > AC AC + CB > AB AC + AB > BC ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الثلاث قطع أضلاع مثلث. **ملاحظة:** مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث لتكوين مثلث. ### 9. متباينة الفرق بين ضلعين ``` |AC - AB| < BC < AC + AB ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون AC و AB و BC أضلاع مثلث. **ملاحظة:** طول أي ضلع يكون أكبر من الفرق بين الضلعين الآخرين وأقل من مجموعهما. ### 10. خاصية المثلث متساوي الساقين ``` إذا كان AB = AC فإن: m(∠ABC) = m(∠ACB) ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون الضلعان متساويين في الطول. **ملاحظة:** الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية. ### 11. خاصية التمام ``` إذا كانت الزاوية 1 تتمم الزاوية 2 فإن: m(∠1) + m(∠2) = 90° ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاويتان متممتان. **ملاحظة:** متممة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من متممة الزاوية الأكبر في القياس. ### 12. خاصية التكامل ``` إذا كانت الزاوية 1 تكمل الزاوية 2 فإن: m(∠1) + m(∠2) = 180° ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاويتان مكملتان. **ملاحظة:** مكملة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من مكملة الزاوية الأكبر في القياس. ### 13. مجموع زوايا المثلث ``` m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180° ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الثلاث زوايا زوايا مثلث. **ملاحظة:** هذا القانون ينطبق على جميع المثلثات بأنواعها. ### 14. خاصية الخط العمودي ``` إذا كان BD ⊥ AC فإن: m(∠ADB) = m(∠CDB) = 90° ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون الخط عمودياً على الخط الآخر. **ملاحظة:** الخط العمودي يشكل زاويتين قائمتين. --- ## أمثلة محلولة ### مثال 1: تطبيق مسلّمات التباين (مستوى سهل) **المسألة:** في الشكل المقابل، إذا كان AB = AC و m(∠DBC) > m(∠DCB)، أثبت أن m(∠ABD) > m(∠ACD). **الحل:** **الخطوة 1:** تحديد المعطيات - AB = AC (معطى) - m(∠DBC) > m(∠DCB) (معطى) **الخطوة 2:** استخدام خاصية المثلث متساوي الساقين بما أن AB = AC، فإن المثلث ABC متساوي الساقين. إذاً: m(∠ABC) = m(∠ACB) ... (1) **الخطوة 3:** تطبيق مسلّمة الإضافة بما أن m(∠DBC) > m(∠DCB) ... (2) **الخطوة 4:** جمع المتباينتين (1) و (2) من المعطى m(∠DBC) > m(∠DCB) وبما أن m(∠ABC) = m(∠ACB) بإضافة المتباينة (2) إلى المتباينة (1): m(∠DBC) + m(∠ABC) > m(∠DCB) + m(∠ACB) **الخطوة 5:** الاستنتاج m(∠ABD) > m(∠ACD) ✓ --- ### مثال 2: تطبيق متباينة المثلث (مستوى متوسط) **المسألة:** هل يمكن تكوين مثلث من ثلاث قطع أطوالها 5 سم و 7 سم و 15 سم؟ برّر إجابتك. **الحل:** **الخطوة 1:** تطبيق متباينة المثلث لتكوين مثلث من ثلاث أضلاع، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث. **الخطوة 2:** فحص الشرط الأول 5 + 7 = 12 هل 12 > 15؟ لا، 12 < 15 **الخطوة 3:** الاستنتاج بما أن مجموع الضلعين الأول والثاني (5 + 7 = 12) أقل من الضلع الثالث (15)، فإنه **لا يمكن تكوين مثلث** من هذه الأضلاع الثلاثة. **التفسير:** متباينة المثلث تنص على أن مجموع أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث، وهذا الشرط لم يتحقق هنا. --- ### مثال 3: إثبات باستخدام الزاوية الخارجة (مستوى صعب) **المسألة:** في الشكل المقابل، النقطة D تقع داخل المثلث ABC، والخط CD يقطع AB في النقطة E. أثبت أن m(∠BDC) > m(∠A). **الحل:** **الخطوة 1:** تحديد الزوايا الخارجة الزاوية BDC خارجة عن المثلث BED (لأنها تقع خارج المثلث وتكون مجاورة لزاوية داخلية). **الخطوة 2:** تطبيق نظرية الزاوية الخارجة على المثلث BED بما أن الزاوية BDC خارجة عن المثلث BED، فإن: m(∠BDC) > m(∠BED) ... (1) **الخطوة 3:** تطبيق نظرية الزاوية الخارجة على المثلث ACE الزاوية BED خارجة عن المثلث ACE (لأن E تقع على AB وخارج المثلث ACE). إذاً: m(∠BED) > m(∠A) ... (2) **الخطوة 4:** تطبيق مسلّمة انتقال العلاقة من العلاقتين (1) و (2): - m(∠BDC) > m(∠BED) - m(∠BED) > m(∠A) بتطبيق مسلّمة انتقال العلاقة: m(∠BDC) > m(∠A) ✓ --- ## أخطاء شائعة وحالات خاصة ### الخطأ الأول: عدم الانتباه لاتجاه المتباينة عند الضرب في عدد سالب **الخطأ الشائع:** إذا كان a > b، فإن -a > -b **الصحيح:** إذا كان a > b، فإن -a < -b (يتغير اتجاه المتباينة عند الضرب في عدد سالب) **الحل:** تذكر دائماً أن الضرب في عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة. ### الخطأ الثاني: الخلط بين متباينة المثلث والمساواة **الخطأ الشائع:** اعتقاد أن مجموع ضلعين يمكن أن يساوي الضلع الثالث **الصحيح:** مجموع ضلعين يجب أن يكون **أكبر من** الضلع الثالث (ليس أكبر من أو يساوي) **الحل:** في حالة المساواة، لا يتكون مثلث بل تكون النقاط على خط واحد. ### الخطأ الثالث: عدم التمييز بين الزاوية الخارجة والزاوية الداخلية **الخطأ الشائع:** اعتقاد أن الزاوية الخارجة تساوي إحدى الزوايا الداخلية **الصحيح:** الزاوية الخارجة أكبر من أي زاوية داخلية عدا المجاورة لها **الحل:** ارسم الشكل بعناية وحدد موقع الزاوية الخارجة بوضوح. ### الخطأ الرابع: الخلط بين التمام والتكامل **الخطأ الشائع:** اعتقاد أن التمام = 180° والتكامل = 90° **الصحيح:** التمام = 90° والتكامل = 180° **الحل:** تذكر: التمام (Complement) = 90°، التكامل (Supplement) = 180° ### الخطأ الخامس: عدم التحقق من شروط تطبيق المسلّمات **الخطأ الشائع:** تطبيق مسلّمة الضرب في عدد سالب دون تغيير اتجاه المتباينة **الصحيح:** التحقق من إشارة العدد قبل تطبيق المسلّمة **الحل:** اقرأ شروط التطبيق بعناية قبل استخدام أي مسلّمة. ### حالة خاصة: المثلث متساوي الأضلاع في المثلث متساوي الأضلاع، جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا متساوية وقياس كل زاوية = 60°. ### حالة خاصة: المثلث القائم الزاوية في المثلث القائم الزاوية، إحدى الزوايا = 90° والزاويتان الأخريان متتامتان (مجموعهما = 90°). --- ## قائمة المراجعة تأكد من فهمك للنقاط التالية قبل الامتحان: - [ ] أفهم الفرق بين المسلّمة والنظرية والخاصية - [ ] أستطيع تطبيق مسلّمة الإضافة والطرح بشكل صحيح - [ ] أعرف متى يتغير اتجاه المتباينة (عند الضرب في عدد سالب) - [ ] أستطيع إثبات أن ثلاث قطع تكون مثلثاً باستخدام متباينة المثلث - [ ] أفهم نظرية الزاوية الخارجة وأستطيع تطبيقها - [ ] أستطيع التمييز بين التمام (90°) والتكامل (180°) - [ ] أعرف أن الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية - [ ] أستطيع استخدام مسلّمة انتقال العلاقة في البراهين - [ ] أفهم العلاقة بين طول الضلع وقياس الزاوية المقابلة له - [ ] أستطيع حل مسائل تتضمن مقارنات بين زوايا وأضلاع - [ ] أعرف أن مجموع زوايا المثلث = 180° - [ ] أستطيع تطبيق خاصية المثلث متساوي الساقين بشكل صحيح - [ ] أفهم الفرق بين > و ≥ و < و ≤ - [ ] أستطيع رسم الأشكال الهندسية بدقة لفهم المسائل بشكل أفضل --- ## جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع) ``` مسلّمات التباين: 1. إذا a > b فإن a + c > b + c (الإضافة) 2. إذا a > b فإن a - c > b - c (الطرح) 3. إذا a > b و c > 0 فإن a·c > b·c (الضرب في موجب) 4. إذا a > b و b > c فإن a > c (انتقال العلاقة) 5. إذا a > b و c > d فإن a + c > b + d (المجموع) 6. إذا b > 0 فإن a + b > a (الكل والجزء) متباينات المثلث: 7. AB + BC > AC (مجموع ضلعين > الضلع الثالث) 8. |AC - AB| < BC < AC + AB (الفرق والمجموع) خواص الزوايا: 9. m(∠ACD) > m(∠A) و m(∠ACD) > m(∠B) (الزاوية الخارجة) 10. m(∠ABC) = m(∠ACB) إذا AB = AC (متساوي الساقين) 11. m(∠1) + m(∠2) = 90° (التمام) 12. m(∠1) + m(∠2) = 180° (التكامل) 13. m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180° (مجموع زوايا المثلث) 14. m(∠ADB) = m(∠CDB) = 90° إذا BD ⊥ AC (العمودية) ``` --- ## ملخص الدروس الرئيسية ### الدرس 3-1: مسلّمات التباين يتناول هذا الدرس المسلّمات الأساسية للتباين (الإضافة، الطرح، الضرب، انتقال العلاقة، المجموع، الكل والجزء) وكيفية تطبيقها في إثبات العلاقات الهندسية. كما يتناول نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث. ### الدرس 3-2: التباين في المثلثات يركز على تطبيق مسلّمات التباين على المثلثات، خاصة متباينة المثلث (مجموع ضلعين > الضلع الثالث) ومتباينة الفرق. يتضمن أيضاً تطبيقات عملية على مسائل هندسية معقدة. --- ## نصائح للامتحان 1. **اقرأ المسألة بعناية:** تأكد من فهمك للمعطيات والمطلوب قبل البدء في الحل. 2. **ارسم الشكل:** رسم الشكل الهندسي بدقة يساعدك على فهم المسألة بشكل أفضل. 3. **حدد المسلّمة أو النظرية المناسبة:** قبل تطبيق أي مسلّمة، تأكد من توفر شروط التطبيق. 4. **اكتب الخطوات بوضوح:** في الإثبات، اكتب كل خطوة مع التبرير (المعطى أو المسلّمة أو النظرية المستخدمة). 5. **تحقق من الاتجاه:** عند التعامل مع المتباينات، تأكد من عدم تغيير الاتجاه إلا عند الضرب في عدد سالب. 6. **استخدم الرموز الصحيحة:** استخدم الرموز الرياضية الصحيحة (> و < و = و ≠) بدقة. 7. **تدرب على أمثلة متنوعة:** حل أمثلة من مستويات صعوبة مختلفة لتعزيز فهمك. 8. **راجع إجابتك:** بعد الانتهاء من الحل، راجع خطواتك للتأكد من صحتها. --- > **بالتوفيق في امتحاناتك!**
