ملخص الرياضيات تانية إعدادي الوحدة الثالثة: الهندسة

أهداف التعلم

بعد دراسة هذه الوحدة، ستكون قادراً على:

1. فهم مسلّمات التباين وتطبيقها في إثبات العلاقات الهندسية بين الزوايا والأضلاع
2. إثبات نظريات التباين في المثلثات وتطبيقها على مسائل هندسية متنوعة
3. استخدام متباينة المثلث للتحقق من إمكانية تكوين مثلث من ثلاثة أضلاع
4. تطبيق خواص الزاوية الخارجة والعلاقات بينها والزوايا الداخلية
5. حل مسائل هندسية معقدة تتضمن مقارنات بين الزوايا والأضلاع
6. استخدام التمام والتكامل في إثبات المتباينات الهندسية

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

المسلّمة (Axiom)

قضية رياضية تُقبل دون إثبات، وتُستخدم كأساس لإثبات نظريات أخرى. مثل مسلّمات إقليدس التي بُنيت عليها الهندسة الإقليدية.

التباين (Inequality)

علاقة بين كميتين حيث إحداهما أكبر من أو أصغر من الأخرى، ويُرمز لها بالرموز: > (أكبر من)، < (أصغر من)، ≥ (أكبر من أو يساوي)، ≤ (أصغر من أو يساوي).

الزاوية الخارجة عن المثلث

زاوية تتكون من امتداد أحد أضلاع المثلث خارج المثلث. تقع خارج المثلث وتكون مجاورة لإحدى الزوايا الداخلية.

التمام (Complementary Angles)

زاويتان مجموع قياسهما يساوي 90°. إذا كانت الزاوية الأولى قياسها θ، فإن الزاوية المتممة لها قياسها (90° - θ).

التكامل (Supplementary Angles)

زاويتان مجموع قياسهما يساوي 180°. إذا كانت الزاوية الأولى قياسها θ، فإن الزاوية المكملة لها قياسها (180° - θ).

متباينة المثلث (Triangle Inequality)

مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث. وأيضاً، طول أي ضلع أكبر من الفرق بين طولي الضلعين الآخرين.

المثلث متساوي الساقين

مثلث فيه ضلعان متساويان في الطول. الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية في القياس.

الخط المتوازي

خطان لا يتقاطعان أبداً، ويبقى البعد بينهما ثابتاً. يُرمز للتوازي بالرمز ∥.

الخط العمودي

خط يقطع خطاً آخر بزاوية قائمة (90°). يُرمز للعمودية بالرمز ⊥.

---

القوانين والنظريات والقواعس

1. مسلّمة الإضافة

إذا كان a > b فإن: a + c > b + c

شرط التطبيق: يجب أن تكون a و b و c كميات حقيقية. ملاحظة: هذه المسلّمة تُستخدم لإضافة نفس الكمية لطرفي متباينة دون تغيير اتجاه المتباينة.

2. مسلّمة الطرح

إذا كان a > b فإن: a - c > b - c

شرط التطبيق: يجب أن تكون a و b و c كميات حقيقية. ملاحظة: طرح نفس الكمية من طرفي متباينة لا يغير اتجاه المتباينة.

3. مسلّمة الضرب في عدد موجب

إذا كان a > b و c عدداً موجباً فإن: a · c > b · c

شرط التطبيق: يجب أن يكون c > 0 (عدداً موجباً). ملاحظة: إذا ضربنا طرفي متباينة في عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة.

4. مسلّمة انتقال العلاقة (التعدي)

إذا كان a > b و b > c فإن: a > c

شرط التطبيق: يجب أن تكون العلاقات متسلسلة بنفس الاتجاه. ملاحظة: هذه المسلّمة تُستخدم في البراهين الهندسية لربط عدة متباينات.

5. مسلّمة المجموع

إذا كان a > b و c > d فإن: a + c > b + d

شرط التطبيق: يجب أن تكون كلا المتباينتين بنفس الاتجاه. ملاحظة: يمكن جمع متباينتين بنفس الاتجاه للحصول على متباينة جديدة.

6. مسلّمة المقارنة بين الكل والجزء

إذا كان b عدداً موجباً فإن: a + b > a

شرط التطبيق: يجب أن يكون b > 0. ملاحظة: إضافة عدد موجب إلى كمية تجعلها أكبر من الكمية الأصلية.

---

7. نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث

قياس الزاوية الخارجة عن المثلث أكبر من قياس أي زاوية داخلة عدا الزاوية المجاورة لها

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاوية خارجة عن المثلث (مشكلة من امتداد أحد الأضلاع). ملاحظة: إذا كانت الزاوية ACD خارجة عن المثلث ABC، فإن:

• m(∠ACD) > m(∠A)
• m(∠ACD) > m(∠B)

8. متباينة المثلث (مجموع ضلعين)

في المثلث ABC:
AB + BC > AC
AC + CB > AB
AC + AB > BC

شرط التطبيق: يجب أن تكون الثلاث قطع أضلاع مثلث. ملاحظة: مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث لتكوين مثلث.

9. متباينة الفرق بين ضلعين

|AC - AB| < BC < AC + AB

شرط التطبيق: يجب أن تكون AC و AB و BC أضلاع مثلث. ملاحظة: طول أي ضلع يكون أكبر من الفرق بين الضلعين الآخرين وأقل من مجموعهما.

10. خاصية المثلث متساوي الساقين

إذا كان AB = AC فإن: m(∠ABC) = m(∠ACB)

شرط التطبيق: يجب أن يكون الضلعان متساويين في الطول. ملاحظة: الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية.

11. خاصية التمام

إذا كانت الزاوية 1 تتمم الزاوية 2 فإن: m(∠1) + m(∠2) = 90°

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاويتان متممتان. ملاحظة: متممة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من متممة الزاوية الأكبر في القياس.

12. خاصية التكامل

إذا كانت الزاوية 1 تكمل الزاوية 2 فإن: m(∠1) + m(∠2) = 180°

شرط التطبيق: يجب أن تكون الزاويتان مكملتان. ملاحظة: مكملة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من مكملة الزاوية الأكبر في القياس.

13. مجموع زوايا المثلث

m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°

شرط التطبيق: يجب أن تكون الثلاث زوايا زوايا مثلث. ملاحظة: هذا القانون ينطبق على جميع المثلثات بأنواعها.

14. خاصية الخط العمودي

إذا كان BD ⊥ AC فإن: m(∠ADB) = m(∠CDB) = 90°

شرط التطبيق: يجب أن يكون الخط عمودياً على الخط الآخر. ملاحظة: الخط العمودي يشكل زاويتين قائمتين.

---

أمثلة محلولة

مثال 1: تطبيق مسلّمات التباين (مستوى سهل)

المسألة: في الشكل المقابل، إذا كان AB = AC و m(∠DBC) > m(∠DCB)، أثبت أن m(∠ABD) > m(∠ACD).

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• AB = AC (معطى)
• m(∠DBC) > m(∠DCB) (معطى)

الخطوة 2: استخدام خاصية المثلث متساوي الساقين بما أن AB = AC، فإن المثلث ABC متساوي الساقين. إذاً: m(∠ABC) = m(∠ACB) ... (1)

الخطوة 3: تطبيق مسلّمة الإضافة بما أن m(∠DBC) > m(∠DCB) ... (2)

الخطوة 4: جمع المتباينتين (1) و (2) من المعطى m(∠DBC) > m(∠DCB) وبما أن m(∠ABC) = m(∠ACB)

بإضافة المتباينة (2) إلى المتباينة (1): m(∠DBC) + m(∠ABC) > m(∠DCB) + m(∠ACB)

الخطوة 5: الاستنتاج m(∠ABD) > m(∠ACD) ✓

---

مثال 2: تطبيق متباينة المثلث (مستوى متوسط)

المسألة: هل يمكن تكوين مثلث من ثلاث قطع أطوالها 5 سم و 7 سم و 15 سم؟ برّر إجابتك.

الحل:

الخطوة 1: تطبيق متباينة المثلث لتكوين مثلث من ثلاث أضلاع، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث.

الخطوة 2: فحص الشرط الأول 5 + 7 = 12 هل 12 > 15؟ لا، 12 < 15

الخطوة 3: الاستنتاج بما أن مجموع الضلعين الأول والثاني (5 + 7 = 12) أقل من الضلع الثالث (15)، فإنه لا يمكن تكوين مثلث من هذه الأضلاع الثلاثة.

التفسير: متباينة المثلث تنص على أن مجموع أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث، وهذا الشرط لم يتحقق هنا.

---

مثال 3: إثبات باستخدام الزاوية الخارجة (مستوى صعب)

المسألة: في الشكل المقابل، النقطة D تقع داخل المثلث ABC، والخط CD يقطع AB في النقطة E. أثبت أن m(∠BDC) > m(∠A).

الحل:

الخطوة 1: تحديد الزوايا الخارجة الزاوية BDC خارجة عن المثلث BED (لأنها تقع خارج المثلث وتكون مجاورة لزاوية داخلية).

الخطوة 2: تطبيق نظرية الزاوية الخارجة على المثلث BED بما أن الزاوية BDC خارجة عن المثلث BED، فإن: m(∠BDC) > m(∠BED) ... (1)

الخطوة 3: تطبيق نظرية الزاوية الخارجة على المثلث ACE الزاوية BED خارجة عن المثلث ACE (لأن E تقع على AB وخارج المثلث ACE). إذاً: m(∠BED) > m(∠A) ... (2)

الخطوة 4: تطبيق مسلّمة انتقال العلاقة من العلاقتين (1) و (2):

• m(∠BDC) > m(∠BED)
• m(∠BED) > m(∠A)

بتطبيق مسلّمة انتقال العلاقة: m(∠BDC) > m(∠A) ✓

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

الخطأ الأول: عدم الانتباه لاتجاه المتباينة عند الضرب في عدد سالب

الخطأ الشائع: إذا كان a > b، فإن -a > -b الصحيح: إذا كان a > b، فإن -a < -b (يتغير اتجاه المتباينة عند الضرب في عدد سالب) الحل: تذكر دائماً أن الضرب في عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة.

الخطأ الثاني: الخلط بين متباينة المثلث والمساواة

الخطأ الشائع: اعتقاد أن مجموع ضلعين يمكن أن يساوي الضلع الثالث الصحيح: مجموع ضلعين يجب أن يكون أكبر من الضلع الثالث (ليس أكبر من أو يساوي) الحل: في حالة المساواة، لا يتكون مثلث بل تكون النقاط على خط واحد.

الخطأ الثالث: عدم التمييز بين الزاوية الخارجة والزاوية الداخلية

الخطأ الشائع: اعتقاد أن الزاوية الخارجة تساوي إحدى الزوايا الداخلية الصحيح: الزاوية الخارجة أكبر من أي زاوية داخلية عدا المجاورة لها الحل: ارسم الشكل بعناية وحدد موقع الزاوية الخارجة بوضوح.

الخطأ الرابع: الخلط بين التمام والتكامل

الخطأ الشائع: اعتقاد أن التمام = 180° والتكامل = 90° الصحيح: التمام = 90° والتكامل = 180° الحل: تذكر: التمام (Complement) = 90°، التكامل (Supplement) = 180°

الخطأ الخامس: عدم التحقق من شروط تطبيق المسلّمات

الخطأ الشائع: تطبيق مسلّمة الضرب في عدد سالب دون تغيير اتجاه المتباينة الصحيح: التحقق من إشارة العدد قبل تطبيق المسلّمة الحل: اقرأ شروط التطبيق بعناية قبل استخدام أي مسلّمة.

حالة خاصة: المثلث متساوي الأضلاع

في المثلث متساوي الأضلاع، جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا متساوية وقياس كل زاوية = 60°.

حالة خاصة: المثلث القائم الزاوية

في المثلث القائم الزاوية، إحدى الزوايا = 90° والزاويتان الأخريان متتامتان (مجموعهما = 90°).

---

قائمة المراجعة

تأكد من فهمك للنقاط التالية قبل الامتحان:

• [ ] أفهم الفرق بين المسلّمة والنظرية والخاصية
• [ ] أستطيع تطبيق مسلّمة الإضافة والطرح بشكل صحيح
• [ ] أعرف متى يتغير اتجاه المتباينة (عند الضرب في عدد سالب)
• [ ] أستطيع إثبات أن ثلاث قطع تكون مثلثاً باستخدام متباينة المثلث
• [ ] أفهم نظرية الزاوية الخارجة وأستطيع تطبيقها
• [ ] أستطيع التمييز بين التمام (90°) والتكامل (180°)
• [ ] أعرف أن الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية
• [ ] أستطيع استخدام مسلّمة انتقال العلاقة في البراهين
• [ ] أفهم العلاقة بين طول الضلع وقياس الزاوية المقابلة له
• [ ] أستطيع حل مسائل تتضمن مقارنات بين زوايا وأضلاع
• [ ] أعرف أن مجموع زوايا المثلث = 180°
• [ ] أستطيع تطبيق خاصية المثلث متساوي الساقين بشكل صحيح
• [ ] أفهم الفرق بين > و ≥ و < و ≤
• [ ] أستطيع رسم الأشكال الهندسية بدقة لفهم المسائل بشكل أفضل

---

جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع)

مسلّمات التباين:
1. إذا a > b فإن a + c > b + c (الإضافة)
2. إذا a > b فإن a - c > b - c (الطرح)
3. إذا a > b و c > 0 فإن a·c > b·c (الضرب في موجب)
4. إذا a > b و b > c فإن a > c (انتقال العلاقة)
5. إذا a > b و c > d فإن a + c > b + d (المجموع)
6. إذا b > 0 فإن a + b > a (الكل والجزء)

متباينات المثلث:
7. AB + BC > AC (مجموع ضلعين > الضلع الثالث)
8. |AC - AB| < BC < AC + AB (الفرق والمجموع)

خواص الزوايا:
9. m(∠ACD) > m(∠A) و m(∠ACD) > m(∠B) (الزاوية الخارجة)
10. m(∠ABC) = m(∠ACB) إذا AB = AC (متساوي الساقين)
11. m(∠1) + m(∠2) = 90° (التمام)
12. m(∠1) + m(∠2) = 180° (التكامل)
13. m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180° (مجموع زوايا المثلث)
14. m(∠ADB) = m(∠CDB) = 90° إذا BD ⊥ AC (العمودية)

---

ملخص الدروس الرئيسية

الدرس 3-1: مسلّمات التباين

يتناول هذا الدرس المسلّمات الأساسية للتباين (الإضافة، الطرح، الضرب، انتقال العلاقة، المجموع، الكل والجزء) وكيفية تطبيقها في إثبات العلاقات الهندسية. كما يتناول نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث.

الدرس 3-2: التباين في المثلثات

يركز على تطبيق مسلّمات التباين على المثلثات، خاصة متباينة المثلث (مجموع ضلعين > الضلع الثالث) ومتباينة الفرق. يتضمن أيضاً تطبيقات عملية على مسائل هندسية معقدة.

---

نصائح للامتحان

1. اقرأ المسألة بعناية: تأكد من فهمك للمعطيات والمطلوب قبل البدء في الحل.

2. ارسم الشكل: رسم الشكل الهندسي بدقة يساعدك على فهم المسألة بشكل أفضل.

3. حدد المسلّمة أو النظرية المناسبة: قبل تطبيق أي مسلّمة، تأكد من توفر شروط التطبيق.

4. اكتب الخطوات بوضوح: في الإثبات، اكتب كل خطوة مع التبرير (المعطى أو المسلّمة أو النظرية المستخدمة).

5. تحقق من الاتجاه: عند التعامل مع المتباينات، تأكد من عدم تغيير الاتجاه إلا عند الضرب في عدد سالب.

6. استخدم الرموز الصحيحة: استخدم الرموز الرياضية الصحيحة (> و < و = و ≠) بدقة.

7. تدرب على أمثلة متنوعة: حل أمثلة من مستويات صعوبة مختلفة لتعزيز فهمك.

8. راجع إجابتك: بعد الانتهاء من الحل، راجع خطواتك للتأكد من صحتها.

---

بالتوفيق في امتحاناتك!