جاري العرض... # ملخص: الوحدة الثانية : الجبر > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الإعدادي --- ## أهداف التعلم بعد دراسة هذه الوحدة، يجب أن تكون قادراً على: 1. **تعرّف مفهوم الزوج المرتب** وتحديد مسقطيه الأول والثاني بدقة. 2. **فهم شرط تساوي زوجين مرتبين** وتطبيقه في حل المعادلات والمسائل الحياتية. 3. **حساب حاصل الضرب الديكارتي** لمجموعتين وتحديد عدد عناصره. 4. **تمثيل حاصل الضرب الديكارتي** باستخدام المخطط السهمي والمخطط الديكارتي. 5. **تطبيق مفاهيم الضرب الديكارتي** في حل مشكلات حياتية واقعية مثل اختيار المنتجات. 6. **استخدام العمليات على المجموعات** (الاتحاد والتقاطع والفرق) مع الضرب الديكارتي. --- ## المفاهيم والتعريفات الرياضية ### الزوج المرتب **التعريف:** الزوج المرتب $(a, b)$ هو ترتيب لعنصرين $a$ و $b$ في صورة محددة، حيث يكون الترتيب فيه مهماً وأساسياً. **مكونات الزوج المرتب:** - **المسقط الأول:** العنصر الأول في الزوج المرتب، ويُرمز له بـ $a$ - **المسقط الثاني:** العنصر الثاني في الزوج المرتب، ويُرمز له بـ $b$ **خاصية الترتيب:** إذا كان $a ≠ b$، فإن $(a, b) ≠ (b, a)$ مثال توضيحي: $(5, 2) ≠ (2, 5)$ لأن كل زوج يعبر عن نقطة مختلفة في المستوى الإحداثي. ### مستوى الإحداثيات المتعامدة **التعريف:** نظام إحداثي يتكون من محورين متعامدين (المحور السيني والمحور الصادي) يُستخدم لتحديد موقع النقاط في المستوى باستخدام أزواج مرتبة. **الاستخدام:** يعبّر الزوج المرتب $(a, b)$ عن موضع نقطة في مستوى الإحداثيات المتعامدة، حيث $a$ يمثل الإحداثي السيني و $b$ يمثل الإحداثي الصادي. ### تساوي زوجين مرتبين **التعريف:** يتساوى زوجان مرتبان $(a, b)$ و $(c, d)$ إذا وفقط إذا كان المسقط الأول مساوياً للمسقط الأول والمسقط الثاني مساوياً للمسقط الثاني. **الشرط الرياضي:** $$(a, b) = (c, d) \text{ إذا وفقط إذا كان } a = c \text{ و } b = d$$ ### حاصل الضرب الديكارتي **التعريف:** إذا كانت $X$ و $Y$ مجموعتين غير خاليتين، فإن حاصل الضرب الديكارتي $X × Y$ هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة $(x, y)$ حيث المسقط الأول عنصر من $X$ والمسقط الثاني عنصر من $Y$. **الصيغة الرياضية:** $$X × Y = \{(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y\}$$ **ملاحظة مهمة:** حاصل الضرب الديكارتي $Y × X$ يختلف عن $X × Y$ بشكل عام، أي أن الضرب الديكارتي غير تبديلي. ### المخطط السهمي **التعريف:** تمثيل بياني لحاصل الضرب الديكارتي يتم فيه رسم مجموعتين منفصلتين وتوصيل كل عنصر من المجموعة الأولى بالعناصر المناظرة له في المجموعة الثانية باستخدام أسهم. ### المخطط الديكارتي **التعريف:** تمثيل بياني لحاصل الضرب الديكارتي في نظام إحداثي متعامد، حيث تُمثل عناصر المجموعة الأولى على المحور السيني وعناصر المجموعة الثانية على المحور الصادي، وتُرسم نقاط تمثل الأزواج المرتبة. ### العمليات على المجموعات **الاتحاد** $A ∪ B$: مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى $A$ أو $B$ أو كليهما. **التقاطع** $A ∩ B$: مجموعة جميع العناصر المشتركة بين $A$ و $B$. **الفرق** $A - B$: مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى $A$ ولا تنتمي إلى $B$. --- ## القوانين والنظريات والقواعد ### قاعدة تساوي زوجين مرتبين ``` إذا كان (a, b) = (c, d) فإن: a = c و b = d ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون لدينا زوجان مرتبان متساويان. **ملاحظة:** هذه القاعدة تُستخدم لحل المعادلات التي تتضمن أزواجاً مرتبة، حيث نساوي المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني بشكل منفصل. ### قاعدة حساب عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي ``` إذا كانت X و Y مجموعتين فإن: n(X × Y) = n(X) × n(Y) ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المجموعتان محدودتين (أي تحتويان على عدد محدود من العناصر). **ملاحظة:** عدد عناصر $X × Y$ يساوي حاصل ضرب عدد عناصر $X$ في عدد عناصر $Y$. هذه القاعدة مفيدة جداً في حل المسائل التطبيقية مثل حساب عدد الخيارات المتاحة. ### قاعدة عدم التبديل في الضرب الديكارتي ``` بشكل عام: X × Y ≠ Y × X ``` **شرط التطبيق:** عندما تكون $X ≠ Y$. **ملاحظة:** الضرب الديكارتي لا يتمتع بخاصية التبديل (الإبدال)، أي أن ترتيب المجموعتين مهم جداً. إذا كانت $X = Y$، فإن $X × X$ يُرمز له أحياناً بـ $X²$. ### قاعدة الضرب الديكارتي للمجموعة الخالية ``` إذا كانت X أو Y مجموعة خالية فإن: X × Y = ∅ (المجموعة الخالية) ``` **شرط التطبيق:** عندما تكون إحدى المجموعتين خالية. **ملاحظة:** لا يمكن تكوين أي زوج مرتب إذا كانت إحدى المجموعتين لا تحتوي على عناصر. ### قاعدة توزيع الضرب الديكارتي على الاتحاد ``` A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ``` **شرط التطبيق:** عندما نريد توزيع الضرب الديكارتي على عملية الاتحاد. **ملاحظة:** هذه القاعدة تُسهل حساب حاصل الضرب الديكارتي عندما تكون إحدى المجموعات متحدة من مجموعتين. ### قاعدة توزيع الضرب الديكارتي على التقاطع ``` A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ``` **شرط التطبيق:** عندما نريد توزيع الضرب الديكارتي على عملية التقاطع. **ملاحظة:** هذه القاعدة تُسهل حساب حاصل الضرب الديكارتي عندما تكون إحدى المجموعات تقاطعاً من مجموعتين. --- ## أمثلة محلولة ### مثال 1: تساوي زوجين مرتبين (مستوى سهل) **المسألة:** أوجد قيمة كل من $x$ و $y$ في المعادلة التالية: $$(x, y - 2) = (6, 3)$$ **الحل:** بتطبيق قاعدة تساوي زوجين مرتبين، نساوي المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني: **المسقط الأول:** $$x = 6$$ **المسقط الثاني:** $$y - 2 = 3$$ $$y = 3 + 2$$ $$y = 5$$ **الإجابة:** $x = 6$ و $y = 5$ **التحقق:** $(6, 5 - 2) = (6, 3)$ ✓ --- ### مثال 2: حساب حاصل الضرب الديكارتي (مستوى متوسط) **المسألة:** إذا كانت $X = \{-1, 0, 1\}$ و $Y = \{0, 1, 2\}$، أوجد $(X ∩ Y) × Y$ **الحل:** **الخطوة 1:** حساب التقاطع $X ∩ Y$ التقاطع يضم العناصر المشتركة بين المجموعتين: - العناصر في $X$: $-1, 0, 1$ - العناصر في $Y$: $0, 1, 2$ - العناصر المشتركة: $0, 1$ $$X ∩ Y = \{0, 1\}$$ **الخطوة 2:** حساب الضرب الديكارتي $(X ∩ Y) × Y$ نكون جميع الأزواج المرتبة حيث المسقط الأول من $X ∩ Y$ والمسقط الثاني من $Y$: - من العنصر $0$: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$ - من العنصر $1$: $(1, 0), (1, 1), (1, 2)$ $$(X ∩ Y) × Y = \{(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)\}$$ **الإجابة:** المجموعة تحتوي على 6 أزواج مرتبة. **التحقق:** $n((X ∩ Y) × Y) = n(X ∩ Y) × n(Y) = 2 × 3 = 6$ ✓ --- ### مثال 3: عمليات على المجموعات مع الضرب الديكارتي (مستوى صعب) **المسألة:** إذا كانت $X = \{-1, 0, 1\}$ و $Y = \{0, 1, 2\}$ و $Z = \{4\}$، أوجد $(X - Y) × (Y - X)$ **الحل:** **الخطوة 1:** حساب الفرق $X - Y$ الفرق يضم العناصر التي تنتمي إلى $X$ ولا تنتمي إلى $Y$: - العناصر في $X$: $-1, 0, 1$ - العناصر في $Y$: $0, 1, 2$ - العناصر في $X$ وليست في $Y$: $-1$ $$X - Y = \{-1\}$$ **الخطوة 2:** حساب الفرق $Y - X$ الفرق يضم العناصر التي تنتمي إلى $Y$ ولا تنتمي إلى $X$: - العناصر في $Y$: $0, 1, 2$ - العناصر في $X$: $-1, 0, 1$ - العناصر في $Y$ وليست في $X$: $2$ $$Y - X = \{2\}$$ **الخطوة 3:** حساب الضرب الديكارتي $(X - Y) × (Y - X)$ نكون جميع الأزواج المرتبة حيث المسقط الأول من $X - Y$ والمسقط الثاني من $Y - X$: $$(X - Y) × (Y - X) = \{(-1, 2)\}$$ **الإجابة:** المجموعة تحتوي على زوج مرتب واحد فقط: $(-1, 2)$ **التحقق:** $n((X - Y) × (Y - X)) = n(X - Y) × n(Y - X) = 1 × 1 = 1$ ✓ --- ## أخطاء شائعة وحالات خاصة ### الخطأ الأول: الخلط بين الزوج المرتب والمجموعة **الخطأ:** اعتبار $(a, b)$ و $\{a, b\}$ متساويين. **التصحيح:** الزوج المرتب $(a, b)$ يختلف عن المجموعة $\{a, b\}$: - في الزوج المرتب: الترتيب مهم، فـ $(a, b) ≠ (b, a)$ إذا كان $a ≠ b$ - في المجموعة: الترتيب غير مهم، فـ $\{a, b\} = \{b, a\}$ ### الخطأ الثاني: عدم تطبيق قاعدة تساوي الأزواج المرتبة بشكل صحيح **الخطأ:** عند حل $(x + 1, y) = (5, 3)$، كتابة $x + 1 = 3$ و $y = 5$ (خلط المسقطات). **التصحيح:** يجب مساواة المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني: - $x + 1 = 5$ ⟹ $x = 4$ - $y = 3$ ### الخطأ الثالث: افتراض أن الضرب الديكارتي تبديلي **الخطأ:** اعتبار $X × Y = Y × X$ دائماً. **التصحيح:** الضرب الديكارتي غير تبديلي بشكل عام. مثال: - إذا كانت $X = \{1, 2\}$ و $Y = \{3, 4\}$ - فإن $X × Y = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$ - و $Y × X = \{(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)\}$ - واضح أن $X × Y ≠ Y × X$ ### الخطأ الرابع: عدم حساب عدد العناصر بشكل صحيح **الخطأ:** عند حساب $n(X × Y)$، جمع عدد العناصر بدلاً من ضربها. **التصحيح:** يجب ضرب عدد عناصر المجموعتين: $$n(X × Y) = n(X) × n(Y)$$ مثال: إذا كانت $n(X) = 3$ و $n(Y) = 4$، فإن $n(X × Y) = 3 × 4 = 12$ (وليس $3 + 4 = 7$) ### الخطأ الخامس: نسيان المجموعة الخالية **الخطأ:** عند حساب $X × Y$ حيث إحدى المجموعتين خالية، كتابة مجموعة غير خالية. **التصحيح:** إذا كانت $X = ∅$ أو $Y = ∅$، فإن $X × Y = ∅$ ### حالة خاصة: الضرب الديكارتي للمجموعة في نفسها عندما تكون $X = Y$، يُرمز للضرب الديكارتي $X × X$ أحياناً بـ $X²$. مثال: $$X² = X × X = \{(x, y) : x ∈ X, y ∈ X\}$$ --- ## قائمة المراجعة استخدم هذه القائمة للتأكد من فهمك الكامل للموضوع: - [ ] أستطيع تعريف الزوج المرتب وتحديد مسقطيه الأول والثاني. - [ ] أفهم أن الترتيب مهم في الزوج المرتب، أي $(a, b) ≠ (b, a)$ إذا كان $a ≠ b$. - [ ] أستطيع تطبيق قاعدة تساوي زوجين مرتبين: $(a, b) = (c, d)$ إذا وفقط إذا كان $a = c$ و $b = d$. - [ ] أفهم تعريف حاصل الضرب الديكارتي $X × Y = \{(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y\}$. - [ ] أستطيع حساب عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي باستخدام القاعدة $n(X × Y) = n(X) × n(Y)$. - [ ] أفهم أن الضرب الديكارتي غير تبديلي: $X × Y ≠ Y × X$ بشكل عام. - [ ] أستطيع تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخطط السهمي. - [ ] أستطيع تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخطط الديكارتي في نظام إحداثي. - [ ] أفهم العمليات على المجموعات: الاتحاد والتقاطع والفرق. - [ ] أستطيع حساب $(X ∪ Y) × Z$ و $(X ∩ Y) × Z$ و $(X - Y) × (Y - X)$. - [ ] أفهم أن $X × ∅ = ∅$ و $∅ × Y = ∅$. - [ ] أستطيع تطبيق قواعس التوزيع: $A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)$ و $A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)$. - [ ] أستطيع حل مسائل حياتية تتعلق بالضرب الديكارتي مثل حساب عدد الخيارات المتاحة. --- ## جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع) ``` ١. تساوي زوجين مرتبين: (a, b) = (c, d) ⟺ a = c و b = d ٢. عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي: n(X × Y) = n(X) × n(Y) ٣. حاصل الضرب الديكارتي: X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y} ٤. عدم التبديل: X × Y ≠ Y × X (بشكل عام) ٥. الضرب الديكارتي والمجموعة الخالية: X × ∅ = ∅ و ∅ × Y = ∅ ٦. توزيع على الاتحاد: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ٧. توزيع على التقاطع: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ٨. الضرب الديكارتي للمجموعة في نفسها: X² = X × X = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X} ٩. الاتحاد: A ∪ B = {x : x ∈ A أو x ∈ B} ١٠. التقاطع: A ∩ B = {x : x ∈ A و x ∈ B} ١١. الفرق: A - B = {x : x ∈ A و x ∉ B} ١٢. الزوج المرتب: (a, b) حيث a هو المسقط الأول و b هو المسقط الثاني ``` --- ## ملخص تطبيقي ### تطبيق عملي: مسألة اختيار الهواتف **المسألة:** يعرض متجر هواتف بألوان: أزرق، ذهبي، أسود (3 ألوان)، وبثلاث سعات تخزين: 128 جيجابايت، 256 جيجابايت، 512 جيجابايت (3 سعات). كم عدد الخيارات المتاحة لشراء هاتف من هذا النوع؟ **الحل:** نُمثل الألوان بالمجموعة $C = \{\text{أزرق، ذهبي، أسود}\}$ حيث $n(C) = 3$ نُمثل السعات بالمجموعة $S = \{128, 256, 512\}$ حيث $n(S) = 3$ عدد الخيارات = عدد عناصر $C × S$ $$n(C × S) = n(C) × n(S) = 3 × 3 = 9$$ **الإجابة:** هناك 9 خيارات متاحة لشراء هاتف. **الخيارات الكاملة:** $$(C × S) = \{(\text{أزرق}, 128), (\text{أزرق}, 256), (\text{أزرق}, 512), (\text{ذهبي}, 128), (\text{ذهبي}, 256), (\text{ذهبي}, 512), (\text{أسود}, 128), (\text{أسود}, 256), (\text{أسود}, 512)\}$$ --- ## نصائح للنجاح في الامتحان 1. **اقرأ المسألة بعناية:** تأكد من فهمك للمطلوب قبل البدء في الحل. 2. **طبّق القواعس بدقة:** استخدم قاعدة تساوي الأزواج المرتبة بشكل صحيح عند حل المعادلات. 3. **احسب عدد العناصر بالضرب:** تذكر أن $n(X × Y) = n(X) × n(Y)$ وليس الجمع. 4. **تحقق من إجابتك:** استخدم التحقق للتأكد من صحة حلك. 5. **ارسم المخطط:** عند الحاجة، ارسم المخطط السهمي أو الديكارتي لتوضيح الحل. 6. **تذكر الحالات الخاصة:** لا تنسَ أن الضرب الديكارتي غير تبديلي وأن المجموعة الخالية تجعل الضرب خالياً. --- > **بالتوفيق في امتحاناتك!**
