ملخص الرياضيات تانية إعدادي الوحدة الثانية: الجبر

أهداف التعلم

بعد دراسة هذه الوحدة، يجب أن تكون قادراً على:

1. تعرّف مفهوم الزوج المرتب وتحديد مسقطيه الأول والثاني بدقة.

2. فهم شرط تساوي زوجين مرتبين وتطبيقه في حل المعادلات والمسائل الحياتية.

3. حساب حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين وتحديد عدد عناصره.

4. تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخطط السهمي والمخطط الديكارتي.

5. تطبيق مفاهيم الضرب الديكارتي في حل مشكلات حياتية واقعية مثل اختيار المنتجات.

6. استخدام العمليات على المجموعات (الاتحاد والتقاطع والفرق) مع الضرب الديكارتي.

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

الزوج المرتب

التعريف: الزوج المرتب $(a, b)$ هو ترتيب لعنصرين $a$ و $b$ في صورة محددة، حيث يكون الترتيب فيه مهماً وأساسياً.

مكونات الزوج المرتب:

• المسقط الأول: العنصر الأول في الزوج المرتب، ويُرمز له بـ $a$
• المسقط الثاني: العنصر الثاني في الزوج المرتب، ويُرمز له بـ $b$

خاصية الترتيب: إذا كان $a ≠ b$، فإن $(a, b) ≠ (b, a)$

مثال توضيحي: $(5, 2) ≠ (2, 5)$ لأن كل زوج يعبر عن نقطة مختلفة في المستوى الإحداثي.

مستوى الإحداثيات المتعامدة

التعريف: نظام إحداثي يتكون من محورين متعامدين (المحور السيني والمحور الصادي) يُستخدم لتحديد موقع النقاط في المستوى باستخدام أزواج مرتبة.

الاستخدام: يعبّر الزوج المرتب $(a, b)$ عن موضع نقطة في مستوى الإحداثيات المتعامدة، حيث $a$ يمثل الإحداثي السيني و $b$ يمثل الإحداثي الصادي.

تساوي زوجين مرتبين

التعريف: يتساوى زوجان مرتبان $(a, b)$ و $(c, d)$ إذا وفقط إذا كان المسقط الأول مساوياً للمسقط الأول والمسقط الثاني مساوياً للمسقط الثاني.

الشرط الرياضي: $$(a, b) = (c, d) \text{ إذا وفقط إذا كان } a = c \text{ و } b = d$$

حاصل الضرب الديكارتي

التعريف: إذا كانت $X$ و $Y$ مجموعتين غير خاليتين، فإن حاصل الضرب الديكارتي $X × Y$ هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة $(x, y)$ حيث المسقط الأول عنصر من $X$ والمسقط الثاني عنصر من $Y$.

الصيغة الرياضية: $$X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}$$

ملاحظة مهمة: حاصل الضرب الديكارتي $Y × X$ يختلف عن $X × Y$ بشكل عام، أي أن الضرب الديكارتي غير تبديلي.

المخطط السهمي

التعريف: تمثيل بياني لحاصل الضرب الديكارتي يتم فيه رسم مجموعتين منفصلتين وتوصيل كل عنصر من المجموعة الأولى بالعناصر المناظرة له في المجموعة الثانية باستخدام أسهم.

المخطط الديكارتي

التعريف: تمثيل بياني لحاصل الضرب الديكارتي في نظام إحداثي متعامد، حيث تُمثل عناصر المجموعة الأولى على المحور السيني وعناصر المجموعة الثانية على المحور الصادي، وتُرسم نقاط تمثل الأزواج المرتبة.

العمليات على المجموعات

الاتحاد $A ∪ B$: مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى $A$ أو $B$ أو كليهما.

التقاطع $A ∩ B$: مجموعة جميع العناصر المشتركة بين $A$ و $B$.

الفرق $A - B$: مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى $A$ ولا تنتمي إلى $B$.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قاعدة تساوي زوجين مرتبين

إذا كان (a, b) = (c, d)
فإن: a = c  و  b = d

شرط التطبيق: يجب أن يكون لدينا زوجان مرتبان متساويان.

ملاحظة: هذه القاعدة تُستخدم لحل المعادلات التي تتضمن أزواجاً مرتبة، حيث نساوي المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني بشكل منفصل.

قاعدة حساب عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي

إذا كانت X و Y مجموعتين
فإن: n(X × Y) = n(X) × n(Y)

شرط التطبيق: يجب أن تكون المجموعتان محدودتين (أي تحتويان على عدد محدود من العناصر).

ملاحظة: عدد عناصر $X × Y$ يساوي حاصل ضرب عدد عناصر $X$ في عدد عناصر $Y$. هذه القاعدة مفيدة جداً في حل المسائل التطبيقية مثل حساب عدد الخيارات المتاحة.

قاعدة عدم التبديل في الضرب الديكارتي

بشكل عام: X × Y ≠ Y × X

شرط التطبيق: عندما تكون $X ≠ Y$.

ملاحظة: الضرب الديكارتي لا يتمتع بخاصية التبديل (الإبدال)، أي أن ترتيب المجموعتين مهم جداً. إذا كانت $X = Y$، فإن $X × X$ يُرمز له أحياناً بـ $X²$.

قاعدة الضرب الديكارتي للمجموعة الخالية

إذا كانت X أو Y مجموعة خالية
فإن: X × Y = ∅ (المجموعة الخالية)

شرط التطبيق: عندما تكون إحدى المجموعتين خالية.

ملاحظة: لا يمكن تكوين أي زوج مرتب إذا كانت إحدى المجموعتين لا تحتوي على عناصر.

قاعدة توزيع الضرب الديكارتي على الاتحاد

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

شرط التطبيق: عندما نريد توزيع الضرب الديكارتي على عملية الاتحاد.

ملاحظة: هذه القاعدة تُسهل حساب حاصل الضرب الديكارتي عندما تكون إحدى المجموعات متحدة من مجموعتين.

قاعدة توزيع الضرب الديكارتي على التقاطع

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

شرط التطبيق: عندما نريد توزيع الضرب الديكارتي على عملية التقاطع.

ملاحظة: هذه القاعدة تُسهل حساب حاصل الضرب الديكارتي عندما تكون إحدى المجموعات تقاطعاً من مجموعتين.

---

أمثلة محلولة

مثال 1: تساوي زوجين مرتبين (مستوى سهل)

المسألة: أوجد قيمة كل من $x$ و $y$ في المعادلة التالية: $$(x, y - 2) = (6, 3)$$

الحل:

بتطبيق قاعدة تساوي زوجين مرتبين، نساوي المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني:

المسقط الأول: $$x = 6$$

المسقط الثاني: $$y - 2 = 3$$ $$y = 3 + 2$$ $$y = 5$$

الإجابة: $x = 6$ و $y = 5$

التحقق: $(6, 5 - 2) = (6, 3)$ ✓

---

مثال 2: حساب حاصل الضرب الديكارتي (مستوى متوسط)

المسألة: إذا كانت $X = {-1, 0, 1}$ و $Y = {0, 1, 2}$، أوجد $(X ∩ Y) × Y$

الحل:

الخطوة 1: حساب التقاطع $X ∩ Y$

التقاطع يضم العناصر المشتركة بين المجموعتين:

• العناصر في $X$: $-1, 0, 1$
• العناصر في $Y$: $0, 1, 2$
• العناصر المشتركة: $0, 1$

$$X ∩ Y = {0, 1}$$

الخطوة 2: حساب الضرب الديكارتي $(X ∩ Y) × Y$

نكون جميع الأزواج المرتبة حيث المسقط الأول من $X ∩ Y$ والمسقط الثاني من $Y$:

• من العنصر $0$: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$
• من العنصر $1$: $(1, 0), (1, 1), (1, 2)$

$$(X ∩ Y) × Y = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}$$

الإجابة: المجموعة تحتوي على 6 أزواج مرتبة.

التحقق: $n((X ∩ Y) × Y) = n(X ∩ Y) × n(Y) = 2 × 3 = 6$ ✓

---

مثال 3: عمليات على المجموعات مع الضرب الديكارتي (مستوى صعب)

المسألة: إذا كانت $X = {-1, 0, 1}$ و $Y = {0, 1, 2}$ و $Z = {4}$، أوجد $(X - Y) × (Y - X)$

الحل:

الخطوة 1: حساب الفرق $X - Y$

الفرق يضم العناصر التي تنتمي إلى $X$ ولا تنتمي إلى $Y$:

• العناصر في $X$: $-1, 0, 1$
• العناصر في $Y$: $0, 1, 2$
• العناصر في $X$ وليست في $Y$: $-1$

$$X - Y = {-1}$$

الخطوة 2: حساب الفرق $Y - X$

الفرق يضم العناصر التي تنتمي إلى $Y$ ولا تنتمي إلى $X$:

• العناصر في $Y$: $0, 1, 2$
• العناصر في $X$: $-1, 0, 1$
• العناصر في $Y$ وليست في $X$: $2$

$$Y - X = {2}$$

الخطوة 3: حساب الضرب الديكارتي $(X - Y) × (Y - X)$

نكون جميع الأزواج المرتبة حيث المسقط الأول من $X - Y$ والمسقط الثاني من $Y - X$:

$$(X - Y) × (Y - X) = {(-1, 2)}$$

الإجابة: المجموعة تحتوي على زوج مرتب واحد فقط: $(-1, 2)$

التحقق: $n((X - Y) × (Y - X)) = n(X - Y) × n(Y - X) = 1 × 1 = 1$ ✓

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

الخطأ الأول: الخلط بين الزوج المرتب والمجموعة

الخطأ: اعتبار $(a, b)$ و ${a, b}$ متساويين.

التصحيح: الزوج المرتب $(a, b)$ يختلف عن المجموعة ${a, b}$:

• في الزوج المرتب: الترتيب مهم، فـ $(a, b) ≠ (b, a)$ إذا كان $a ≠ b$
• في المجموعة: الترتيب غير مهم، فـ ${a, b} = {b, a}$

الخطأ الثاني: عدم تطبيق قاعدة تساوي الأزواج المرتبة بشكل صحيح

الخطأ: عند حل $(x + 1, y) = (5, 3)$، كتابة $x + 1 = 3$ و $y = 5$ (خلط المسقطات).

التصحيح: يجب مساواة المسقط الأول بالمسقط الأول والمسقط الثاني بالمسقط الثاني:

• $x + 1 = 5$ ⟹ $x = 4$
• $y = 3$

الخطأ الثالث: افتراض أن الضرب الديكارتي تبديلي

الخطأ: اعتبار $X × Y = Y × X$ دائماً.

التصحيح: الضرب الديكارتي غير تبديلي بشكل عام. مثال:

• إذا كانت $X = {1, 2}$ و $Y = {3, 4}$
• فإن $X × Y = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}$
• و $Y × X = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}$
• واضح أن $X × Y ≠ Y × X$

الخطأ الرابع: عدم حساب عدد العناصر بشكل صحيح

الخطأ: عند حساب $n(X × Y)$، جمع عدد العناصر بدلاً من ضربها.

التصحيح: يجب ضرب عدد عناصر المجموعتين: $$n(X × Y) = n(X) × n(Y)$$

مثال: إذا كانت $n(X) = 3$ و $n(Y) = 4$، فإن $n(X × Y) = 3 × 4 = 12$ (وليس $3 + 4 = 7$)

الخطأ الخامس: نسيان المجموعة الخالية

الخطأ: عند حساب $X × Y$ حيث إحدى المجموعتين خالية، كتابة مجموعة غير خالية.

التصحيح: إذا كانت $X = ∅$ أو $Y = ∅$، فإن $X × Y = ∅$

حالة خاصة: الضرب الديكارتي للمجموعة في نفسها

عندما تكون $X = Y$، يُرمز للضرب الديكارتي $X × X$ أحياناً بـ $X²$. مثال: $$X² = X × X = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X}$$

---

قائمة المراجعة

استخدم هذه القائمة للتأكد من فهمك الكامل للموضوع:

• [ ] أستطيع تعريف الزوج المرتب وتحديد مسقطيه الأول والثاني.

• [ ] أفهم أن الترتيب مهم في الزوج المرتب، أي $(a, b) ≠ (b, a)$ إذا كان $a ≠ b$.

• [ ] أستطيع تطبيق قاعدة تساوي زوجين مرتبين: $(a, b) = (c, d)$ إذا وفقط إذا كان $a = c$ و $b = d$.

• [ ] أفهم تعريف حاصل الضرب الديكارتي $X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}$.

• [ ] أستطيع حساب عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي باستخدام القاعدة $n(X × Y) = n(X) × n(Y)$.

• [ ] أفهم أن الضرب الديكارتي غير تبديلي: $X × Y ≠ Y × X$ بشكل عام.

• [ ] أستطيع تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخطط السهمي.

• [ ] أستطيع تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخطط الديكارتي في نظام إحداثي.

• [ ] أفهم العمليات على المجموعات: الاتحاد والتقاطع والفرق.

• [ ] أستطيع حساب $(X ∪ Y) × Z$ و $(X ∩ Y) × Z$ و $(X - Y) × (Y - X)$.

• [ ] أفهم أن $X × ∅ = ∅$ و $∅ × Y = ∅$.

• [ ] أستطيع تطبيق قواعس التوزيع: $A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)$ و $A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)$.

• [ ] أستطيع حل مسائل حياتية تتعلق بالضرب الديكارتي مثل حساب عدد الخيارات المتاحة.

---

جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع)

١. تساوي زوجين مرتبين:
   (a, b) = (c, d) ⟺ a = c و b = d

٢. عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي:
   n(X × Y) = n(X) × n(Y)

٣. حاصل الضرب الديكارتي:
   X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}

٤. عدم التبديل:
   X × Y ≠ Y × X (بشكل عام)

٥. الضرب الديكارتي والمجموعة الخالية:
   X × ∅ = ∅ و ∅ × Y = ∅

٦. توزيع على الاتحاد:
   A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

٧. توزيع على التقاطع:
   A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

٨. الضرب الديكارتي للمجموعة في نفسها:
   X² = X × X = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X}

٩. الاتحاد:
   A ∪ B = {x : x ∈ A أو x ∈ B}

١٠. التقاطع:
    A ∩ B = {x : x ∈ A و x ∈ B}

١١. الفرق:
    A - B = {x : x ∈ A و x ∉ B}

١٢. الزوج المرتب:
    (a, b) حيث a هو المسقط الأول و b هو المسقط الثاني

---

ملخص تطبيقي

تطبيق عملي: مسألة اختيار الهواتف

المسألة: يعرض متجر هواتف بألوان: أزرق، ذهبي، أسود (3 ألوان)، وبثلاث سعات تخزين: 128 جيجابايت، 256 جيجابايت، 512 جيجابايت (3 سعات).

كم عدد الخيارات المتاحة لشراء هاتف من هذا النوع؟

الحل:

نُمثل الألوان بالمجموعة $C = {\text{أزرق، ذهبي، أسود}}$ حيث $n(C) = 3$

نُمثل السعات بالمجموعة $S = {128, 256, 512}$ حيث $n(S) = 3$

عدد الخيارات = عدد عناصر $C × S$

$$n(C × S) = n(C) × n(S) = 3 × 3 = 9$$

الإجابة: هناك 9 خيارات متاحة لشراء هاتف.

الخيارات الكاملة: $$(C × S) = {(\text{أزرق}, 128), (\text{أزرق}, 256), (\text{أزرق}, 512), (\text{ذهبي}, 128), (\text{ذهبي}, 256), (\text{ذهبي}, 512), (\text{أسود}, 128), (\text{أسود}, 256), (\text{أسود}, 512)}$$

---

نصائح للنجاح في الامتحان

1. اقرأ المسألة بعناية: تأكد من فهمك للمطلوب قبل البدء في الحل.

2. طبّق القواعس بدقة: استخدم قاعدة تساوي الأزواج المرتبة بشكل صحيح عند حل المعادلات.

3. احسب عدد العناصر بالضرب: تذكر أن $n(X × Y) = n(X) × n(Y)$ وليس الجمع.

4. تحقق من إجابتك: استخدم التحقق للتأكد من صحة حلك.

5. ارسم المخطط: عند الحاجة، ارسم المخطط السهمي أو الديكارتي لتوضيح الحل.

6. تذكر الحالات الخاصة: لا تنسَ أن الضرب الديكارتي غير تبديلي وأن المجموعة الخالية تجعل الضرب خالياً.

---

بالتوفيق في امتحاناتك!