جاري العرض... # ملخص: الوحدة الثالثة: الهندسة > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الإعدادي --- ## أهداف التعلم بعد دراسة هذه الوحدة ستتمكن من: 1. **إيجاد مساحة المعين** بمعلومية طول قطريه باستخدام الصيغة الرياضية الصحيحة 2. **إيجاد مساحة المربع** بمعلومية طول قطره وليس فقط طول ضلعه 3. **حساب مساحة شبه المنحرف** بمعلومية طول القاعدتين المتوازيتين والارتفاع 4. **تطبيق قوانين المساحة** في حل المشكلات الحياتية والتطبيقية 5. **التمييز بين الأشكال الرباعية** المختلفة وخصائصها الهندسية 6. **استخدام الوحدات الصحيحة** عند قياس المساحات والمحيطات --- ## المفاهيم والتعريفات الرياضية ### المساحة (Area) قياس السطح المحصور داخل شكل هندسي ثنائي الأبعاد، وتُقاس بوحدات مربعة مثل سم² أو م² أو كم². ### المحيط (Perimeter) طول الحد الخارجي للشكل الهندسي، ويُقاس بوحدات الطول العادية (سم، م، كم) بدون تربيع. ### المربع (Square) شكل رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول وجميع زواياه قائمة (90°). قطراه متساويان في الطول وعموديان على بعضهما البعض. ### المستطيل (Rectangle) شكل رباعي الأضلاع المتقابلة فيه متساوية في الطول وجميع زواياه قائمة (90°). ### المعين (Rhombus) شكل رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول. أقطاره متعامدة على بعضها البعض وتنصف بعضها البعض. ### متوازي الأضلاع (Parallelogram) شكل رباعي الأضلاع المتقابلة فيه متوازية ومتساوية في الطول. ### شبه المنحرف (Trapezium) شكل رباعي يحتوي على ضلعين متوازيين فقط يُسميان القاعدتين، والضلعان الآخران غير متوازيين يُسميان الساقين. ### الارتفاع (Height) المسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها، أو بين القاعدتين المتوازيتين في شبه المنحرف. ### القطر (Diagonal) الخط المستقيم الذي يصل بين رأسين غير متجاورين في الشكل الرباعي. --- ## القوانين والنظريات والقواعد ### قانون مساحة المربع (بمعلومية الضلع) ``` A = s² ``` **حيث:** - A = المساحة - s = طول ضلع المربع **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول أحد أضلاع المربع **ملاحظة:** جميع أضلاع المربع متساوية، لذا يكفي معرفة ضلع واحد فقط --- ### قانون محيط المربع ``` P = 4s ``` **حيث:** - P = المحيط - s = طول ضلع المربع **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول ضلع المربع --- ### قانون مساحة المربع (بمعلومية القطر) ``` A = d²/2 ``` **حيث:** - A = المساحة - d = طول قطر المربع **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول قطر المربع **ملاحظة:** هذا القانون مشتق من حقيقة أن قطري المربع متساويان وعموديان على بعضهما، وينقسم المربع إلى مثلثين متساويين --- ### قانون مساحة المستطيل ``` A = l × w ``` **حيث:** - A = المساحة - l = الطول - w = العرض **شرط التطبيق:** يجب معرفة الطول والعرض --- ### قانون محيط المستطيل ``` P = 2(l + w) ``` **حيث:** - P = المحيط - l = الطول - w = العرض --- ### قانون مساحة المعين (بمعلومية القطرين) ``` A = (d₁ × d₂)/2 ``` **حيث:** - A = المساحة - d₁ = طول القطر الأول - d₂ = طول القطر الثاني **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول كلا القطرين **ملاحظة:** أقطار المعين متعامدة على بعضها البعض، وهذا ما يجعل هذا القانون صحيحاً --- ### قانون محيط المعين ``` P = 4s ``` **حيث:** - P = المحيط - s = طول ضلع المعين **ملاحظة:** جميع أضلاع المعين متساوية --- ### قانون مساحة متوازي الأضلاع ``` A = b × h ``` **حيث:** - A = المساحة - b = طول القاعدة - h = الارتفاع (المسافة العمودية من القاعدة إلى الضلع المقابل) **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول القاعدة والارتفاع العمودي **ملاحظة:** الارتفاع يجب أن يكون عمودياً على القاعدة، وليس طول الضلع المائل --- ### قانون محيط متوازي الأضلاع ``` P = 2(b₁ + b₂) ``` **حيث:** - P = المحيط - b₁ = طول الضلع الأول - b₂ = طول الضلع الثاني المجاور --- ### قانون مساحة شبه المنحرف ``` A = [(b₁ + b₂) × h]/2 ``` أو بصيغة أخرى: ``` A = (1/2) × (b₁ + b₂) × h ``` **حيث:** - A = المساحة - b₁ = طول القاعدة الأولى (الأكبر) - b₂ = طول القاعدة الثانية (الأصغر) - h = الارتفاع (المسافة العمودية بين القاعدتين المتوازيتين) **شرط التطبيق:** يجب معرفة طول كلا القاعدتين المتوازيتين والارتفاع العمودي بينهما **ملاحظة:** مساحة شبه المنحرف = نصف مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع --- ### قانون محيط شبه المنحرف ``` P = b₁ + b₂ + s₁ + s₂ ``` **حيث:** - P = المحيط - b₁, b₂ = طول القاعدتين المتوازيتين - s₁, s₂ = طول الساقين (الضلعين غير المتوازيين) **شرط التطبيق:** يجب معرفة أطوال جميع الأضلاع الأربعة --- ## أمثلة محلولة ### مثال 1: مساحة المربع بمعلومية القطر (مستوى سهل) **المسألة:** أوجد مساحة مربع طول قطره 6 سم. **الحل:** **الخطوة 1:** تحديد المعطيات - طول القطر: d = 6 سم - المطلوب: إيجاد المساحة A **الخطوة 2:** اختيار القانون المناسب بما أن المعطى هو القطر، نستخدم: $$A = \frac{d^2}{2}$$ **الخطوة 3:** التعويض في القانون $$A = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ سم}^2$$ **الإجابة:** مساحة المربع = **18 سم²** --- ### مثال 2: مقارنة بين مساحات أشكال مختلفة (مستوى متوسط) **المسألة:** أيهما أكبر في المساحة: مربع طول قطره 12 سم أم مستطيل طوله 11 سم وعرضه 7 سم؟ **الحل:** **الخطوة 1:** حساب مساحة المربع - المعطى: d = 12 سم - القانون: $A_1 = \frac{d^2}{2}$ - التعويض: $A_1 = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72 \text{ سم}^2$ **الخطوة 2:** حساب مساحة المستطيل - المعطيات: l = 11 سم، w = 7 سم - القانون: $A_2 = l \times w$ - التعويض: $A_2 = 11 \times 7 = 77 \text{ سم}^2$ **الخطوة 3:** المقارنة $$A_2 > A_1$$ $$77 > 72$$ **الإجابة:** مساحة المستطيل (77 سم²) **أكبر** من مساحة المربع (72 سم²) --- ### مثال 3: مساحة شبه المنحرف مع إيجاد الارتفاع (مستوى صعب) **المسألة:** شبه منحرف مساحته 175 م²، وطول قاعدتيه المتوازيتين 14 م و 21 م. أوجد ارتفاعه. **الحل:** **الخطوة 1:** تحديد المعطيات - المساحة: A = 175 م² - القاعدة الأولى: b₁ = 21 م - القاعدة الثانية: b₂ = 14 م - المطلوب: إيجاد الارتفاع h **الخطوة 2:** كتابة قانون مساحة شبه المنحرف $$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$$ **الخطوة 3:** التعويض بالمعطيات $$175 = \frac{1}{2}(21 + 14) \times h$$ **الخطوة 4:** تبسيط الحساب $$175 = \frac{1}{2}(35) \times h$$ $$175 = 17.5 \times h$$ **الخطوة 5:** حل المعادلة لإيجاد h $$h = \frac{175}{17.5} = 10 \text{ م}$$ **الإجابة:** ارتفاع شبه المنحرف = **10 م** **التحقق:** $A = \frac{1}{2}(21 + 14) \times 10 = \frac{1}{2} \times 35 \times 10 = 175$ ✓ --- ## أخطاء شائعة وحالات خاصة ### الخطأ 1: الخلط بين قانون مساحة المربع بالضلع والقطر **الخطأ الشائع:** استخدام $A = d^2$ بدلاً من $A = \frac{d^2}{2}$ **التصحيح:** عند معرفة القطر، المساحة = **نصف** مربع القطر، وليس مربع القطر كاملاً **مثال:** - إذا d = 10 سم - الخطأ: A = 10² = 100 سم² - الصحيح: A = 10²/2 = 50 سم² --- ### الخطأ 2: عدم استخدام الارتفاع العمودي في شبه المنحرف **الخطأ الشائع:** استخدام طول الساق (الضلع المائل) بدلاً من الارتفاع العمودي **التصحيح:** الارتفاع يجب أن يكون **عمودياً** على القاعدتين المتوازيتين، وليس طول الضلع المائل **ملاحظة:** الارتفاع العمودي دائماً أقصر من الساق المائلة --- ### الخطأ 3: عدم تربيع وحدات المساحة **الخطأ الشائع:** كتابة المساحة بوحدات غير مربعة مثل سم أو م **التصحيح:** المساحة **دائماً** تُقاس بوحدات مربعة: سم²، م²، كم² **مثال:** - الخطأ: مساحة المربع = 25 سم - الصحيح: مساحة المربع = 25 سم² --- ### الخطأ 4: الخلط بين المحيط والمساحة **الخطأ الشائع:** استخدام قانون المحيط عند المطلوب إيجاد المساحة والعكس **التصحيح:** - **المساحة** = قياس السطح (وحدات مربعة) - **المحيط** = طول الحد الخارجي (وحدات عادية) --- ### الخطأ 5: عدم تحويل الوحدات عند الحاجة **الخطأ الشائع:** استخدام أبعاد بوحدات مختلفة مباشرة دون تحويل **التصحيح:** يجب تحويل جميع الأبعاد إلى نفس الوحدة قبل الحساب **مثال:** - إذا كان الطول 2 م والعرض 50 سم - يجب تحويل: 2 م = 200 سم - ثم الحساب: A = 200 × 50 = 10000 سم² --- ### حالة خاصة 1: المربع كحالة خاصة من المستطيل المربع هو مستطيل خاص حيث الطول = العرض، لذا: - مساحة المربع = s × s = s² - وهذا يطابق قانون المستطيل عندما l = w = s --- ### حالة خاصة 2: المعين كحالة خاصة من متوازي الأضلاع المعين هو متوازي أضلاع خاص حيث جميع الأضلاع متساوية، لذا: - يمكن حساب مساحته بقانون متوازي الأضلاع: A = b × h - أو بقانون خاص: A = (d₁ × d₂)/2 --- ### حالة خاصة 3: شبه المنحرف القائم شبه منحرف قائم الزاوية هو الذي يحتوي على زاويتين قائمتين، وفيه أحد الساقين عمودي على القاعدتين، فيكون هذا الساق هو الارتفاع مباشرة. --- ## قائمة المراجعة قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع: - [ ] **تعريف المساحة والمحيط** وتمييز الفرق بينهما - [ ] **تطبيق قانون مساحة المربع** بمعلومية الضلع: A = s² - [ ] **تطبيق قانون مساحة المربع** بمعلومية القطر: A = d²/2 - [ ] **حساب مساحة المستطيل** باستخدام: A = l × w - [ ] **حساب مساحة المعين** باستخدام: A = (d₁ × d₂)/2 - [ ] **حساب مساحة متوازي الأضلاع** باستخدام: A = b × h - [ ] **حساب مساحة شبه المنحرف** باستخدام: A = [(b₁ + b₂) × h]/2 - [ ] **تحديد الارتفاع العمودي** في الأشكال المختلفة - [ ] **تحويل الوحدات** عند الحاجة قبل الحساب - [ ] **التمييز بين الأشكال الرباعية** المختلفة وخصائصها - [ ] **استخدام الوحدات المربعة** عند كتابة المساحة - [ ] **حل مسائل معكوسة** مثل إيجاد الارتفاع من المساحة - [ ] **تطبيق القوانين في مسائل حياتية** مثل حساب مساحة محافظة أو أرض --- ## جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع) ``` مساحة المربع (بالضلع): A = s² محيط المربع: P = 4s مساحة المربع (بالقطر): A = d²/2 مساحة المستطيل: A = l × w محيط المستطيل: P = 2(l + w) مساحة المعين: A = (d₁ × d₂)/2 محيط المعين: P = 4s مساحة متوازي الأضلاع: A = b × h محيط متوازي الأضلاع: P = 2(b₁ + b₂) مساحة شبه المنحرف: A = [(b₁ + b₂) × h]/2 محيط شبه المنحرف: P = b₁ + b₂ + s₁ + s₂ مجموع زوايا المثلث: 180° مجموع زوايا الرباعي: 360° ``` --- ## جدول مقارن للأشكال الرباعية | الشكل | الأضلاع | الزوايا | الأقطار | المساحة | المحيط | |-------|---------|---------|---------|---------|---------| | **المربع** | جميعها متساوية | جميعها 90° | متساوية ومتعامدة | s² أو d²/2 | 4s | | **المستطيل** | المتقابلة متساوية | جميعها 90° | متساوية | l × w | 2(l+w) | | **المعين** | جميعها متساوية | متقابلة متساوية | متعامدة | (d₁×d₂)/2 | 4s | | **متوازي الأضلاع** | المتقابلة متساوية | متقابلة متساوية | غير متساوية | b × h | 2(b₁+b₂) | | **شبه المنحرف** | ضلعان متوازيان فقط | متنوعة | غير متساوية | [(b₁+b₂)×h]/2 | مجموع الأضلاع | --- ## ملخص الوحدات المستخدمة ### وحدات الطول - سنتيمتر (سم) = Centimeter - متر (م) = Meter - كيلومتر (كم) = Kilometer ### وحدات المساحة - سنتيمتر مربع (سم²) - متر مربع (م²) - كيلومتر مربع (كم²) - قدم مربع (قدم²) — وحدة إنجليزية ### تحويلات مهمة - 1 م = 100 سم - 1 كم = 1000 م - 1 م² = 10000 سم² - 1 كم² = 1000000 م² --- ## نصائح مهمة للامتحان 1. **اقرأ المسألة بعناية** وحدد المعطيات والمطلوب بوضوح 2. **اختر القانون المناسب** بناءً على المعطيات المتاحة 3. **تحقق من الوحدات** وحول إلى نفس الوحدة إذا لزم الأمر 4. **اكتب الخطوات كاملة** ولا تقفز خطوات 5. **تحقق من إجابتك** بالتعويض أو بطريقة أخرى إن أمكن 6. **استخدم الوحدات المربعة** عند كتابة المساحة 7. **ارسم الشكل** إذا لم يكن مرسوماً لتوضيح الارتفاع والقاعدة 8. **تذكر الفرق** بين الارتفاع العمودي وطول الضلع المائل --- > **بالتوفيق في امتحاناتك!**
