ملخص الرياضيات أولى إعدادي الوحدة الثالثة: الهندسة

أهداف التعلم

بعد دراسة هذه الوحدة ستتمكن من:

1. إيجاد مساحة المعين بمعلومية طول قطريه باستخدام الصيغة الرياضية الصحيحة
2. إيجاد مساحة المربع بمعلومية طول قطره وليس فقط طول ضلعه
3. حساب مساحة شبه المنحرف بمعلومية طول القاعدتين المتوازيتين والارتفاع
4. تطبيق قوانين المساحة في حل المشكلات الحياتية والتطبيقية
5. التمييز بين الأشكال الرباعية المختلفة وخصائصها الهندسية
6. استخدام الوحدات الصحيحة عند قياس المساحات والمحيطات

---

المفاهيم والتعريفات الرياضية

المساحة (Area)

قياس السطح المحصور داخل شكل هندسي ثنائي الأبعاد، وتُقاس بوحدات مربعة مثل سم² أو م² أو كم².

المحيط (Perimeter)

طول الحد الخارجي للشكل الهندسي، ويُقاس بوحدات الطول العادية (سم، م، كم) بدون تربيع.

المربع (Square)

شكل رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول وجميع زواياه قائمة (90°). قطراه متساويان في الطول وعموديان على بعضهما البعض.

المستطيل (Rectangle)

شكل رباعي الأضلاع المتقابلة فيه متساوية في الطول وجميع زواياه قائمة (90°).

المعين (Rhombus)

شكل رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول. أقطاره متعامدة على بعضها البعض وتنصف بعضها البعض.

متوازي الأضلاع (Parallelogram)

شكل رباعي الأضلاع المتقابلة فيه متوازية ومتساوية في الطول.

شبه المنحرف (Trapezium)

شكل رباعي يحتوي على ضلعين متوازيين فقط يُسميان القاعدتين، والضلعان الآخران غير متوازيين يُسميان الساقين.

الارتفاع (Height)

المسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها، أو بين القاعدتين المتوازيتين في شبه المنحرف.

القطر (Diagonal)

الخط المستقيم الذي يصل بين رأسين غير متجاورين في الشكل الرباعي.

---

القوانين والنظريات والقواعد

قانون مساحة المربع (بمعلومية الضلع)

A = s²

حيث:

• A = المساحة
• s = طول ضلع المربع

شرط التطبيق: يجب معرفة طول أحد أضلاع المربع

ملاحظة: جميع أضلاع المربع متساوية، لذا يكفي معرفة ضلع واحد فقط

---

قانون محيط المربع

P = 4s

حيث:

• P = المحيط
• s = طول ضلع المربع

شرط التطبيق: يجب معرفة طول ضلع المربع

---

قانون مساحة المربع (بمعلومية القطر)

A = d²/2

حيث:

• A = المساحة
• d = طول قطر المربع

شرط التطبيق: يجب معرفة طول قطر المربع

ملاحظة: هذا القانون مشتق من حقيقة أن قطري المربع متساويان وعموديان على بعضهما، وينقسم المربع إلى مثلثين متساويين

---

قانون مساحة المستطيل

A = l × w

حيث:

• A = المساحة
• l = الطول
• w = العرض

شرط التطبيق: يجب معرفة الطول والعرض

---

قانون محيط المستطيل

P = 2(l + w)

حيث:

• P = المحيط
• l = الطول
• w = العرض

---

قانون مساحة المعين (بمعلومية القطرين)

A = (d₁ × d₂)/2

حيث:

• A = المساحة
• d₁ = طول القطر الأول
• d₂ = طول القطر الثاني

شرط التطبيق: يجب معرفة طول كلا القطرين

ملاحظة: أقطار المعين متعامدة على بعضها البعض، وهذا ما يجعل هذا القانون صحيحاً

---

قانون محيط المعين

P = 4s

حيث:

• P = المحيط
• s = طول ضلع المعين

ملاحظة: جميع أضلاع المعين متساوية

---

قانون مساحة متوازي الأضلاع

A = b × h

حيث:

• A = المساحة
• b = طول القاعدة
• h = الارتفاع (المسافة العمودية من القاعدة إلى الضلع المقابل)

شرط التطبيق: يجب معرفة طول القاعدة والارتفاع العمودي

ملاحظة: الارتفاع يجب أن يكون عمودياً على القاعدة، وليس طول الضلع المائل

---

قانون محيط متوازي الأضلاع

P = 2(b₁ + b₂)

حيث:

• P = المحيط
• b₁ = طول الضلع الأول
• b₂ = طول الضلع الثاني المجاور

---

قانون مساحة شبه المنحرف

A = [(b₁ + b₂) × h]/2

أو بصيغة أخرى:

A = (1/2) × (b₁ + b₂) × h

حيث:

• A = المساحة
• b₁ = طول القاعدة الأولى (الأكبر)
• b₂ = طول القاعدة الثانية (الأصغر)
• h = الارتفاع (المسافة العمودية بين القاعدتين المتوازيتين)

شرط التطبيق: يجب معرفة طول كلا القاعدتين المتوازيتين والارتفاع العمودي بينهما

ملاحظة: مساحة شبه المنحرف = نصف مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع

---

قانون محيط شبه المنحرف

P = b₁ + b₂ + s₁ + s₂

حيث:

• P = المحيط
• b₁, b₂ = طول القاعدتين المتوازيتين
• s₁, s₂ = طول الساقين (الضلعين غير المتوازيين)

شرط التطبيق: يجب معرفة أطوال جميع الأضلاع الأربعة

---

أمثلة محلولة

مثال 1: مساحة المربع بمعلومية القطر (مستوى سهل)

المسألة: أوجد مساحة مربع طول قطره 6 سم.

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• طول القطر: d = 6 سم
• المطلوب: إيجاد المساحة A

الخطوة 2: اختيار القانون المناسب بما أن المعطى هو القطر، نستخدم: $$A = \frac{d^2}{2}$$

الخطوة 3: التعويض في القانون $$A = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ سم}^2$$

الإجابة: مساحة المربع = 18 سم²

---

مثال 2: مقارنة بين مساحات أشكال مختلفة (مستوى متوسط)

المسألة: أيهما أكبر في المساحة: مربع طول قطره 12 سم أم مستطيل طوله 11 سم وعرضه 7 سم؟

الحل:

الخطوة 1: حساب مساحة المربع

• المعطى: d = 12 سم
• القانون: $A_1 = \frac{d^2}{2}$
• التعويض: $A_1 = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72 \text{ سم}^2$

الخطوة 2: حساب مساحة المستطيل

• المعطيات: l = 11 سم، w = 7 سم
• القانون: $A_2 = l \times w$
• التعويض: $A_2 = 11 \times 7 = 77 \text{ سم}^2$

الخطوة 3: المقارنة $$A_2 > A_1$$ $$77 > 72$$

الإجابة: مساحة المستطيل (77 سم²) أكبر من مساحة المربع (72 سم²)

---

مثال 3: مساحة شبه المنحرف مع إيجاد الارتفاع (مستوى صعب)

المسألة: شبه منحرف مساحته 175 م²، وطول قاعدتيه المتوازيتين 14 م و 21 م. أوجد ارتفاعه.

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المساحة: A = 175 م²
• القاعدة الأولى: b₁ = 21 م
• القاعدة الثانية: b₂ = 14 م
• المطلوب: إيجاد الارتفاع h

الخطوة 2: كتابة قانون مساحة شبه المنحرف $$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$$

الخطوة 3: التعويض بالمعطيات $$175 = \frac{1}{2}(21 + 14) \times h$$

الخطوة 4: تبسيط الحساب $$175 = \frac{1}{2}(35) \times h$$ $$175 = 17.5 \times h$$

الخطوة 5: حل المعادلة لإيجاد h $$h = \frac{175}{17.5} = 10 \text{ م}$$

الإجابة: ارتفاع شبه المنحرف = 10 م

التحقق: $A = \frac{1}{2}(21 + 14) \times 10 = \frac{1}{2} \times 35 \times 10 = 175$ ✓

---

أخطاء شائعة وحالات خاصة

الخطأ 1: الخلط بين قانون مساحة المربع بالضلع والقطر

الخطأ الشائع: استخدام $A = d^2$ بدلاً من $A = \frac{d^2}{2}$

التصحيح: عند معرفة القطر، المساحة = نصف مربع القطر، وليس مربع القطر كاملاً

مثال:

• إذا d = 10 سم
• الخطأ: A = 10² = 100 سم²
• الصحيح: A = 10²/2 = 50 سم²

---

الخطأ 2: عدم استخدام الارتفاع العمودي في شبه المنحرف

الخطأ الشائع: استخدام طول الساق (الضلع المائل) بدلاً من الارتفاع العمودي

التصحيح: الارتفاع يجب أن يكون عمودياً على القاعدتين المتوازيتين، وليس طول الضلع المائل

ملاحظة: الارتفاع العمودي دائماً أقصر من الساق المائلة

---

الخطأ 3: عدم تربيع وحدات المساحة

الخطأ الشائع: كتابة المساحة بوحدات غير مربعة مثل سم أو م

التصحيح: المساحة دائماً تُقاس بوحدات مربعة: سم²، م²، كم²

مثال:

• الخطأ: مساحة المربع = 25 سم
• الصحيح: مساحة المربع = 25 سم²

---

الخطأ 4: الخلط بين المحيط والمساحة

الخطأ الشائع: استخدام قانون المحيط عند المطلوب إيجاد المساحة والعكس

التصحيح:

• المساحة = قياس السطح (وحدات مربعة)
• المحيط = طول الحد الخارجي (وحدات عادية)

---

الخطأ 5: عدم تحويل الوحدات عند الحاجة

الخطأ الشائع: استخدام أبعاد بوحدات مختلفة مباشرة دون تحويل

التصحيح: يجب تحويل جميع الأبعاد إلى نفس الوحدة قبل الحساب

مثال:

• إذا كان الطول 2 م والعرض 50 سم
• يجب تحويل: 2 م = 200 سم
• ثم الحساب: A = 200 × 50 = 10000 سم²

---

حالة خاصة 1: المربع كحالة خاصة من المستطيل

المربع هو مستطيل خاص حيث الطول = العرض، لذا:

• مساحة المربع = s × s = s²
• وهذا يطابق قانون المستطيل عندما l = w = s

---

حالة خاصة 2: المعين كحالة خاصة من متوازي الأضلاع

المعين هو متوازي أضلاع خاص حيث جميع الأضلاع متساوية، لذا:

• يمكن حساب مساحته بقانون متوازي الأضلاع: A = b × h
• أو بقانون خاص: A = (d₁ × d₂)/2

---

حالة خاصة 3: شبه المنحرف القائم

شبه منحرف قائم الزاوية هو الذي يحتوي على زاويتين قائمتين، وفيه أحد الساقين عمودي على القاعدتين، فيكون هذا الساق هو الارتفاع مباشرة.

---

قائمة المراجعة

قبل الامتحان، تأكد من أنك تستطيع:

• [ ] تعريف المساحة والمحيط وتمييز الفرق بينهما
• [ ] تطبيق قانون مساحة المربع بمعلومية الضلع: A = s²
• [ ] تطبيق قانون مساحة المربع بمعلومية القطر: A = d²/2
• [ ] حساب مساحة المستطيل باستخدام: A = l × w
• [ ] حساب مساحة المعين باستخدام: A = (d₁ × d₂)/2
• [ ] حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام: A = b × h
• [ ] حساب مساحة شبه المنحرف باستخدام: A = [(b₁ + b₂) × h]/2
• [ ] تحديد الارتفاع العمودي في الأشكال المختلفة
• [ ] تحويل الوحدات عند الحاجة قبل الحساب
• [ ] التمييز بين الأشكال الرباعية المختلفة وخصائصها
• [ ] استخدام الوحدات المربعة عند كتابة المساحة
• [ ] حل مسائل معكوسة مثل إيجاد الارتفاع من المساحة
• [ ] تطبيق القوانين في مسائل حياتية مثل حساب مساحة محافظة أو أرض

---

جميع القوانين دفعة واحدة (للحفظ السريع)

مساحة المربع (بالضلع):           A = s²
محيط المربع:                    P = 4s

مساحة المربع (بالقطر):          A = d²/2

مساحة المستطيل:                 A = l × w
محيط المستطيل:                  P = 2(l + w)

مساحة المعين:                   A = (d₁ × d₂)/2
محيط المعين:                    P = 4s

مساحة متوازي الأضلاع:           A = b × h
محيط متوازي الأضلاع:            P = 2(b₁ + b₂)

مساحة شبه المنحرف:              A = [(b₁ + b₂) × h]/2
محيط شبه المنحرف:               P = b₁ + b₂ + s₁ + s₂

مجموع زوايا المثلث:             180°
مجموع زوايا الرباعي:            360°

---

جدول مقارن للأشكال الرباعية

---

ملخص الوحدات المستخدمة

وحدات الطول

• سنتيمتر (سم) = Centimeter
• متر (م) = Meter
• كيلومتر (كم) = Kilometer

وحدات المساحة

• سنتيمتر مربع (سم²)
• متر مربع (م²)
• كيلومتر مربع (كم²)
• قدم مربع (قدم²) — وحدة إنجليزية

تحويلات مهمة

• 1 م = 100 سم
• 1 كم = 1000 م
• 1 م² = 10000 سم²
• 1 كم² = 1000000 م²

---

نصائح مهمة للامتحان

1. اقرأ المسألة بعناية وحدد المعطيات والمطلوب بوضوح
2. اختر القانون المناسب بناءً على المعطيات المتاحة
3. تحقق من الوحدات وحول إلى نفس الوحدة إذا لزم الأمر
4. اكتب الخطوات كاملة ولا تقفز خطوات
5. تحقق من إجابتك بالتعويض أو بطريقة أخرى إن أمكن
6. استخدم الوحدات المربعة عند كتابة المساحة
7. ارسم الشكل إذا لم يكن مرسوماً لتوضيح الارتفاع والقاعدة
8. تذكر الفرق بين الارتفاع العمودي وطول الضلع المائل

---

بالتوفيق في امتحاناتك!