الوحدة الثانيه : الجبر — ملخص الرياضيات

جاري العرض...

# ملخص: الوحدة الثانية: الجبر

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الإعدادي

---

## أهداف التعلم

بعد دراسة هذه الوحدة، يجب أن تكون قادراً على:

1. **فهم المتباينات وكتابتها:** التعبير عن المواقف الحياتية باستخدام رموز المتباينات ($<$، $>$، $≤$، $≥$)
2. **حل المتباينات من الدرجة الأولى:** استخدام خصائص التباين لإيجاد مجموعة الحل
3. **تطبيق خصائص التباين:** معرفة كيفية التعامل مع المتباينات عند الجمع والطرح والضرب والقسمة
4. **إجراء العمليات الجبرية:** ضرب وقسمة الحدود والمقادير الجبرية بكفاءة
5. **التحقق من الحلول:** التأكد من صحة حل المتباينة بالتعويض
6. **حل المسائل التطبيقية:** استخدام المتباينات في حل مشاكل حياتية واقعية

---

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

### الحد الجبري
**التعريف:** تعبير يتكون من ثابت وواحد أو أكثر من المتغيرات مرفوعة لقوى صحيحة غير سالبة.

**أمثلة:** 3x، 5xy²، -7a³b، 2

### المقدار الجبري
**التعريف:** مجموع أو فرق حدود جبرية.

**أمثلة:** 3x + 2y، 5a² - 3a + 1، 2xy + 4x - 7

### المتباينة
**التعريف:** علاقة رياضية تقارن بين عددين أو تعبيرين جبريين باستخدام رموز المقارنة: $<$ (أصغر من)، $>$ (أكبر من)، $≤$ (أصغر من أو يساوي)، $≥$ (أكبر من أو يساوي).

**أمثلة:** x > 5، y ≤ 10، 3z - 2 ≥ 7

### حل المتباينة
**التعريف:** مجموعة جميع قيم المتغير التي تجعل المتباينة صحيحة.

**مثال:** حل المتباينة x > 2 هو جميع الأعداد الأكبر من 2

### مجموعة التعويض
**التعريف:** المجموعة الأساسية التي نختار منها قيم المتغير في المتباينة.

**مثال:** إذا كانت مجموعة التعويض هي {1، 2، 3، 4، 5}، فإننا نختبر فقط هذه القيم

### مجموعة الحل
**التعريف:** مجموعة جزئية من مجموعة التعويض، وعناصرها تحقق المتباينة.

**مثال:** إذا كانت المتباينة x > 2 ومجموعة التعويض {1، 2، 3، 4، 5}، فإن مجموعة الحل = {3، 4، 5}

### العملية الجبرية
**التعريف:** عمليات حسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) على الحدود والمقادير الجبرية.

### المتغير
**التعريف:** رمز (عادة حرف لاتيني صغير) يمثل قيمة غير معروفة أو متغيرة.

**أمثلة:** x، y، z، a، b، c

### الثابت
**التعريف:** عدد ثابت في التعبير الجبري لا يتغير قيمته.

**أمثلة:** 5، -3، 0، 1/2

---

## القوانين والنظريات والقواعس

### قاعدة ضرب حد جبري في حد جبري

```
(ax) × (by) = abxy
```

**شرط التطبيق:** يجب ضرب المعاملات (الثوابت) معاً وضرب المتغيرات معاً

**ملاحظة:** عند ضرب متغيرات متشابهة، نجمع الأسس: x^m × x^n = x^(m+n)

**مثال:** (3x) × (2y) = 6xy، (5a²) × (4a) = 20a³

---

### قاعدة ضرب حد جبري في مقدار جبري (خاصية التوزيع)

```
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
```

**شرط التطبيق:** يجب توزيع الحد على كل حد في المقدار

**ملاحظة:** هذه الخاصية تُستخدم في فك الأقواس

**مثال:** 3(x + 2) = 3x + 6، 2(5a - 3) = 10a - 6

---

### قاعدة ضرب مقدارين جبريين

```
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
```

**شرط التطبيق:** يجب ضرب كل حد من المقدار الأول في كل حد من المقدار الثاني

**ملاحظة:** يمكن استخدام خاصية التوزيع مرتين

**مثال:** (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6

---

### قاعدة قسمة حد جبري على حد جبري

```
(ax)/(bx) = a/b  (حيث x ≠ 0)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المقسوم عليه ≠ 0، ويجب اختصار المتغيرات المتشابهة

**ملاحظة:** عند قسمة متغيرات متشابهة، نطرح الأسس: x^m ÷ x^n = x^(m-n)

**مثال:** (6xy)/(2y) = 3x، (12a³)/(4a) = 3a²

---

### قواعس الأسس الأساسية

```
x^m × x^n = x^(m+n)
x^m ÷ x^n = x^(m-n)  (حيث x ≠ 0)
(x^m)^n = x^(mn)
x^0 = 1  (حيث x ≠ 0)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الأسس أعداداً صحيحة غير سالبة (في هذا المستوى)

**ملاحظة:** هذه القواعس تُستخدم في تبسيط التعبيرات الجبرية

---

### خاصية الجمع (الإضافة) في المتباينات

```
إذا كان A < B، فإن A + C B، فإن A + C > B + C
```

**شرط التطبيق:** يجب إضافة نفس العدد إلى طرفي المتباينة

**ملاحظة:** اتجاه المتباينة لا يتغير عند الجمع

**مثال:** من 3 < 5، نحصل على 3 + 1 < 5 + 1، أي 4 < 6 ✓

---

### خاصية الطرح (الحذف) في المتباينات

```
إذا كان A > B، فإن A - C > B - C
إذا كان A < B، فإن A - C < B - C
```

**شرط التطبيق:** يجب طرح نفس العدد من طرفي المتباينة

**ملاحظة:** اتجاه المتباينة لا يتغير عند الطرح

**مثال:** من 5 > 3، نحصل على 5 - 2 > 3 - 2، أي 3 > 1 ✓

---

### خاصية الضرب في عدد موجب

```
إذا كان A 0، فإن A × C B و C > 0، فإن A × C > B × C
```

**شرط التطبيق:** يجب ضرب طرفي المتباينة في عدد موجب فقط

**ملاحظة:** اتجاه المتباينة لا يتغير عند الضرب في عدد موجب

**مثال:** من 4 > 2، نحصل على 4 × 5 > 2 × 5، أي 20 > 10 ✓

---

### خاصية الضرب في عدد سالب (الخاصية الحرجة)

```
إذا كان A > B و C < 0، فإن A × C B × C
```

**شرط التطبيق:** يجب ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب

**ملاحظة:** ⚠️ **اتجاه المتباينة يتغير (ينعكس) عند الضرب في عدد سالب**

**مثال:** من 4 > 2، نحصل على 4 × (-5) < 2 × (-5)، أي -20 < -10 ✓

---

### خاصية القسمة في المتباينات

```
إذا كان A 0، فإن A/C < B/C
إذا كان A > B و C < 0، فإن A/C < B/C
```

**شرط التطبيق:** يجب قسمة طرفي المتباينة على نفس العدد (≠ 0)

**ملاحظة:** عند القسمة على عدد سالب، ينعكس اتجاه المتباينة

**مثال:** من 6 > 3، نحصل على 6/2 > 3/2، أي 3 > 1.5 ✓

---

## أمثلة محلولة

### مثال 1: كتابة متباينة من موقف حياتي (سهل)

**المسألة:**
يشترط أن يزيد طولك عن 110 سم لإحدى ألعاب الملاهي. عبّر عن هذا الموقف بمتباينة.

**الحل:**

**الخطوة 1:** تحديد المتغير
- ليكن L = الطول بالسنتيمتر

**الخطوة 2:** تحديد الرمز المناسب
- "يزيد عن" تعني أكبر من، إذاً نستخدم الرمز >

**الخطوة 3:** كتابة المتباينة
$$L > 110$$

**الإجابة:** المتباينة هي L > 110

---

### مثال 2: حل متباينة من الدرجة الأولى (متوسط)

**المسألة:**
حل المتباينة: 3(2x - 1) > 9

**الحل:**

**الخطوة 1:** تطبيق خاصية التوزيع
$$3(2x - 1) > 9$$
$$6x - 3 > 9$$

**الخطوة 2:** إضافة 3 لطرفي المتباينة (خاصية الجمع)
$$6x - 3 + 3 > 9 + 3$$
$$6x > 12$$

**الخطوة 3:** قسمة طرفي المتباينة على 6 (عدد موجب، لا ينعكس الاتجاه)
$$\frac{6x}{6} > \frac{12}{6}$$
$$x > 2$$

**الخطوة 4:** كتابة مجموعة الحل
$$\text{مجموعة الحل} = \{x : x > 2\}$$

أو بصيغة الفترة: $(2, +∞)$

**التحقق:** نعوض بقيمة من مجموعة الحل، مثلاً x = 3:
$$3(2 × 3 - 1) = 3(6 - 1) = 3 × 5 = 15 > 9$$ ✓

---

### مثال 3: حل متباينة تتضمن ضرباً في عدد سالب (صعب)

**المسألة:**
حل المتباينة: 4(2x + 3) ≤ 5x + 2

**الحل:**

**الخطوة 1:** تطبيق خاصية التوزيع على الطرف الأيسر
$$4(2x + 3) ≤ 5x + 2$$
$$8x + 12 ≤ 5x + 2$$

**الخطوة 2:** نقل الحدود التي تحتوي على x إلى الطرف الأيسر
$$8x - 5x + 12 ≤ 2$$
$$3x + 12 ≤ 2$$

**الخطوة 3:** نقل الثوابت إلى الطرف الأيمن (طرح 12 من الطرفين)
$$3x + 12 - 12 ≤ 2 - 12$$
$$3x ≤ -10$$

**الخطوة 4:** قسمة طرفي المتباينة على 3 (عدد موجب، لا ينعكس الاتجاه)
$$\frac{3x}{3} ≤ \frac{-10}{3}$$
$$x ≤ -\frac{10}{3}$$

**الخطوة 5:** كتابة مجموعة الحل
$$\text{مجموعة الحل} = \{x : x ≤ -\frac{10}{3}\}$$

أو بصيغة الفترة: $(-∞, -\frac{10}{3}]$

**التحقق:** نعوض بقيمة من مجموعة الحل، مثلاً x = -4:
- الطرف الأيسر: $4(2 × (-4) + 3) = 4(-8 + 3) = 4 × (-5) = -20$
- الطرف الأيمن: $5 × (-4) + 2 = -20 + 2 = -18$
- $-20 ≤ -18$ ✓ (الجملة صحيحة)

---

### مثال 4: تطبيق عملي — المصعد (تطبيقي)

**المسألة:**
إذا كان أقصى وزن يستطيع مصعد حمله هو 300 كجم، وكان وزن ثلاثة أشخاص معاً 225 كجم، فاكتب متباينة تعبر عن وزن الشخص الرابع الذي يمكنه أن يدخل المصعد دون الإخلال بتعليمات الأمان والسلامة، ثم حلها.

**الحل:**

**الخطوة 1:** تحديد المتغير
- ليكن x = وزن الشخص الرابع بالكيلوجرام

**الخطوة 2:** كتابة المتباينة
- الوزن الكلي = وزن الثلاثة أشخاص + وزن الشخص الرابع
- الوزن الكلي ≤ 300 (لا يتجاوز الحد الأقصى)
$$225 + x ≤ 300$$

**الخطوة 3:** حل المتباينة (طرح 225 من الطرفين)
$$225 + x - 225 ≤ 300 - 225$$
$$x ≤ 75$$

**الخطوة 4:** تفسير النتيجة
- مجموعة الحل: $\{x : x ≤ 75\}$
- **الإجابة:** يجب أن يكون وزن الشخص الرابع أقل من أو يساوي 75 كجم

---

### مثال 5: تطبيق عملي — شراء الأقلام (تطبيقي)

**المسألة:**
يريد معلم شراء 5 أقلام من نفس النوع لتوزيعها على الطلاب المتفوقين، بحيث لا ينفق أكثر من 150 جنيهاً (شاملة 20 جنيهاً مصاريف شحن). اكتب متباينة تعبر عن ثمن القلم الواحد، ثم حل المتباينة لإيجاد أقصى سعر للقلم الواحد.

**الحل:**

**الخطوة 1:** تحديد المتغير
- ليكن x = ثمن القلم الواحد بالجنيه

**الخطوة 2:** كتابة المتباينة
- التكلفة الكلية = (عدد الأقلام × ثمن القلم الواحد) + مصاريف الشحن
- التكلفة الكلية ≤ 150
$$5x + 20 ≤ 150$$

**الخطوة 3:** حل المتباينة (طرح 20 من الطرفين)
$$5x + 20 - 20 ≤ 150 - 20$$
$$5x ≤ 130$$

**الخطوة 4:** قسمة طرفي المتباينة على 5
$$\frac{5x}{5} ≤ \frac{130}{5}$$
$$x ≤ 26$$

**الخطوة 5:** تفسير النتيجة
- مجموعة الحل: $\{x : x ≤ 26\}$
- **الإجابة:** أقصى سعر للقلم الواحد هو 26 جنيهاً

---

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

### الخطأ 1: عدم عكس اتجاه المتباينة عند الضرب في عدد سالب

**الخطأ الشائع:**
$$-2x > 6$$
$$x > -3$$ ❌ (خطأ)

**الحل الصحيح:**
$$-2x > 6$$
$$x < -3$$ ✓ (صحيح — لاحظ انعكاس الاتجاه)

**التوضيح:** عند قسمة طرفي المتباينة على -2 (عدد سالب)، يجب عكس اتجاه المتباينة

---

### الخطأ 2: عدم توزيع الحد على جميع الحدود في الأقواس

**الخطأ الشائع:**
$$2(x + 3) = 2x + 3$$ ❌ (خطأ)

**الحل الصحيح:**
$$2(x + 3) = 2x + 6$$ ✓ (صحيح)

**التوضيح:** يجب ضرب 2 في كل حد داخل الأقواس

---

### الخطأ 3: عدم جمع الحدود المتشابهة بشكل صحيح

**الخطأ الشائع:**
$$3x + 2x = 5x^2$$ ❌ (خطأ)

**الحل الصحيح:**
$$3x + 2x = 5x$$ ✓ (صحيح)

**التوضيح:** عند جمع الحدود المتشابهة، نجمع المعاملات فقط، لا نغير الأس

---

### الخطأ 4: نسيان تغيير الإشارة عند نقل الحد من طرف إلى آخر

**الخطأ الشائع:**
$$x + 5 > 10$$
$$x > 10 + 5$$ ❌ (خطأ)

**الحل الصحيح:**
$$x + 5 > 10$$
$$x > 10 - 5$$
$$x > 5$$ ✓ (صحيح)

**التوضيح:** عند نقل حد من طرف إلى آخر، نغير إشارته (+ تصبح -، و- تصبح +)

---

### الخطأ 5: عدم التحقق من الحل

**الخطأ الشائع:** حل المتباينة دون التحقق من صحة الحل

**الحل الصحيح:** دائماً عوّض بقيمة من مجموعة الحل في المتباينة الأصلية للتأكد من صحتها

---

### حالة خاصة: المتباينة المركبة

**مثال:**
$$-3 < x + 1 ≤ 5$$

**الحل:** نطرح 1 من جميع الأطراف الثلاثة:
$$-3 - 1 < x + 1 - 1 ≤ 5 - 1$$
$$-4 < x ≤ 4$$

**مجموعة الحل:** $\{x : -4 < x ≤ 4\}$ أو بصيغة الفترة: $(-4, 4]$

---

### حالة خاصة: المتباينة التي تحتوي على كسور

**مثال:**
$$\frac{x}{2} + 3 > 7$$

**الحل:**

**الخطوة 1:** طرح 3 من الطرفين
$$\frac{x}{2} > 4$$

**الخطوة 2:** ضرب طرفي المتباينة في 2 (عدد موجب)
$$x > 8$$

**مجموعة الحل:** $\{x : x > 8\}$

---

## قائمة المراجعة

استخدم هذه القائمة للتأكد من فهمك الكامل للموضوع:

- ☐ أستطيع تحديد رموز المتباينات ($<$، $>$، $≤$، $≥$) واستخدامها بشكل صحيح
- ☐ أستطيع كتابة متباينة من موقف حياتي معطى
- ☐ أفهم الفرق بين مجموعة التعويض ومجموعة الحل
- ☐ أستطيع تطبيق خاصية الجمع في المتباينات بشكل صحيح
- ☐ أستطيع تطبيق خاصية الطرح في المتباينات بشكل صحيح
- ☐ أستطيع تطبيق خاصية الضرب في عدد موجب دون عكس الاتجاه
- ☐ أستطيع تطبيق خاصية الضرب في عدد سالب مع عكس الاتجاه
- ☐ أستطيع حل متباينة من الدرجة الأولى في متغير واحد
- ☐ أستطيع استخدام خاصية التوزيع في فك الأقواس بشكل صحيح
- ☐ أستطيع التحقق من صحة حل المتباينة بالتعويض
- ☐ أستطيع حل متباينات تحتوي على كسور
- ☐ أستطيع حل متباينات مركبة (متباينة واحدة بثلاثة أطراف)
- ☐ أستطيع تطبيق المتباينات في حل مسائل حياتية واقعية
- ☐ أفهم الفرق بين الحد الجبري والمقدار الجبري
- ☐ أستطيع ضرب حد جبري في حد جبري آخر
- ☐ أستطيع ضرب حد جبري في مقدار جبري
- ☐ أستطيع ضرب مقدارين جبريين معاً
- ☐ أستطيع قسمة حد جبري على حد جبري آخر
- ☐ أستطيع تطبيق قواعس الأسس بشكل صحيح

---

## جميع القوانين والقواعس دفعة واحدة (للحفظ السريع)

```
═══════════════════════════════════════════════════════════════

رموز المتباينات:
< : أصغر من
> : أكبر من
≤ : أصغر من أو يساوي
≥ : أكبر من أو يساوي

═══════════════════════════════════════════════════════════════

خصائص التباين:

1. خاصية الجمع:
 إذا A < B، فإن A + C B، فإن A + C > B + C

2. خاصية الطرح:
 إذا A > B، فإن A - C > B - C
 إذا A < B، فإن A - C < B - C

3. خاصية الضرب في عدد موجب:
 إذا A 0، فإن A × C < B × C
 (الاتجاه لا يتغير)

4. خاصية الضرب في عدد سالب:
 إذا A > B و C < 0، فإن A × C < B × C
 (الاتجاه ينعكس)

5. خاصية القسمة:
 إذا A 0، فإن A/C < B/C
 إذا A > B و C < 0، فإن A/C < B/C
 (الاتجاه ينعكس عند القسمة على عدد سالب)

═══════════════════════════════════════════════════════════════

العمليات الجبرية:

1. ضرب حد في حد:
   (ax) × (by) = abxy

2. ضرب حد في مقدار (التوزيع):
   a(b + c) = ab + ac
   a(b - c) = ab - ac

3. ضرب مقدارين:
   (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

4. قسمة حد على حد:
   (ax)/(bx) = a/b  (حيث x ≠ 0)

═══════════════════════════════════════════════════════════════

قواعس الأسس:

x^m × x^n = x^(m+n)
x^m ÷ x^n = x^(m-n)  (حيث x ≠ 0)
(x^m)^n = x^(mn)
x^0 = 1  (حيث x ≠ 0)

═══════════════════════════════════════════════════════════════

خطوات حل المتباينة:

1. فك الأقواس باستخدام خاصية التوزيع
2. جمع

الفصل 2: الوحدة الثانيه : الجبر