الرياضيات العامة - الفصل 5: الوحدة الثالثة : التفاضل والتكامل

# ملخص: الوحدة الثالثة : التفاضل والتكامل

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

- يتعرف الطالب على مفهوم دالة التغير، ومتوسط التغير، ومعدل التغير.
- يستنتج المشتقة الأولى للدالة.
- يتعرف التفسير الهندسي للمشتقة الأولى (ميل المماس).
- يحدد بعض قواعد الاشتقاق (التفاضل).
- يحساب مشتقة الدالة الثابتة.
- يحساب مشتقة الدالة $f(x) = x^n$.
- يحساب مشتقة مجموع دالتين أو الفرق بينهما.
- يحساب مشتقة حاصل ضرب دالتين.
- يحساب مشتقة خارج قسمة دالتين.
- يحساب مشتقة دالة الدالة باستخدام قاعدة السلسلة Chain Rule، حيث $y = [f(x)]^n$.
- يستخدم المشتقات في تطبيقات هندسية مثل إيجاد معادلة المماس لمنحنى عند نقطة عليه.
- يتعرف مفهوم التكامل Integral كالمشتقة العكسية.
- يتعرف قواعد التكامل الأساسية.
- يطبق قانون التكامل للقوة: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
- يخاص خاصية ثابت التكامل $C$ حيث $\int f(x) dx = F(x) + C$.
- يخاص خاصية خطية التكامل: $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.

## المصطلحات والتعريفات

- **التفاضل والتكامل Calculus**: علم الرياضيات الذي يدرس التغير ومعدلاته وتجميع الكميات المتناهية في الصغر.
- **المشتقة Derivative**: معدل التغير اللحظي للدالة، وتفسر هندسياً بأنها ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة.
- **التكامل Integral**: العملية العكسية للتفاضل، وتستخدم لإيجاد المساحات والكميات المجمعة.
- **دالة التغير Function of Variation**: دالة تظهر التغير في قيمة متغير معين.
- **متوسط التغير Average of Change**: معدل التغير على فترة زمنية معينة.
- **معدل التغير Rate of Change**: التغير في قيمة متغير معين خلال فترة زمنية معينة.
- **قاعدة السلسلة Chain Rule**: قاعدة تستخدم لحساب مشتقة دالة الدالة.
- **ثابت التكامل Constant of Integration**: قيمة ثابتة تضاف نتيجة عملية التكامل غير المحدد.

## التفاضل

التفاضل هو دراسة التغيرات ومعدلاتها، ويشمل حساب المشتقات. المشتقة هي معدل التغير اللحظي للدالة، وتفسر هندسياً بأنها ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة. هناك قواعد أساسية لحساب المشتقات، مثل مشتقة الدالة الثابتة، ومشتقة الدالة القوة، ومشتقة المجموع والفرق، ومشتقة حاصل الضرب، ومشتقة خارج القسمة.

### أمثلة على التفاضل

- مشتقة الدالة $f(x) = x^2$ هي $f'(x) = 2x$.
- مشتقة الدالة $f(x) = \sin(x)$ هي $f'(x) = \cos(x)$.

## التكامل

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل، وتستخدم لإيجاد المساحات والكميات المجمعة. هناك قواعد أساسية لحساب التكامل، مثل قانون القوة للتكامل، وثابت التكامل، وخاصية خطية التكامل.

### أمثلة على التكامل

- التكامل من $x^2$ هو $\frac{x^3}{3} + C$.
- التكامل من $\sin(x)$ هو $-\cos(x) + C$.

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد معادلة المماس لمنحنى

إذا كانت الدالة $f(x) = x^2$, إوجد معادلة المماس لمنحنى عند النقطة $(1, 1)$.

**الحل:**

- أولاً، نحسب المشتقة الأولى للدالة: $f'(x) = 2x$.
- ثم نحسب ميل المماس عند النقطة $(1, 1)$: $m = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
- أخيراً، نحسب معادلة المماس باستخدام معادلة الخط: $y - 1 = 2(x - 1)$.

### مثال 2: حساب التكامل

إذا كانت الدالة $f(x) = x^2$, احسب التكامل من $0$ إلى $1$.

**الحل:**

- أولاً، نحسب التكامل غير المحدد: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
- ثم نحسب التكامل المحدد: $\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

## تنبيهات الامتحان

- يجب على الطالب فهم المفاهيم الأساسية للتفاضل والتكامل جيداً.
- يجب على الطالب التمرن على حل المسائل والتمارين بشكل منتظم.
- يجب على الطالب قراءة النصوص والتعليمات بدقة قبل البدء في الحل.
- يجب على الطالب التحقق من النتائج والحسابات بشكل دقيق.

## قائمة المراجعة

1. مفهوم التفاضل والتكامل.
2. المشتقة الأولى للدالة.
3. التفسير الهندسي للمشتقة الأولى.
4. قواعد الاشتقاق.
5. مشتقة الدالة الثابتة.
6. مشتقة الدالة القوة.
7. مشتقة المجموع والفرق.
8. مشتقة حاصل الضرب.
9. مشتقة خارج القسمة.
10. قاعدة السلسلة.
11. التكامل غير المحدد.
12. التكامل المحدد.
13. قانون القوة للتكامل.
14. ثابت التكامل.
15. خاصية خطية التكامل.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

إيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين

تطبيق قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتقة دالة على شكل كسر، مع تحديد u و v و مشتقاتهما.

2

تحديد u و v في خارج القسمة

التعرف على كيفية تحديد الدالتين u و v من دالة على شكل خارج قسمة.

3

إيجاد مشتقة دالة باستخدام قاعدة السلسلة

تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة دالة مركبة، مع تحديد الدالتين الداخلية والخارجية.

4

تحديد الدالة الداخلية والخارجية

التعرف على كيفية تحديد الدالة الداخلية والخارجية في دالة مركبة.

5

إيجاد مشتقة u^n

تطبيق قاعدة القوة لإيجاد مشتقة دالة مرفوعة لقوة، مع تحديد u و n.

6

تحديد u و n في دالة u^n

التعرف على كيفية تحديد u و n من دالة على شكل u^n.

7

تطبيق قواعد الاشتقاق لحل مسائل مركبة

دمج قواعد الاشتقاق المختلفة (خارج القسمة، السلسلة، القوة) لحل مسائل اشتقاق معقدة.

8

إيجاد معادلة المماس والعمودي

إيجاد معادلة المماس والعمودي لمنحنى عند نقطة معينة باستخدام المشتقة.

9

التحقق من صحة التكاملات

التحقق من صحة التكاملات باستخدام الاشتقاق.

10

إيجاد المشتقة العكسية باستخدام التعريف

إيجاد المشتقة العكسية للدالة باستخدام تعريف التكامل.

11

تطبيق قاعدة التكامل للقوة

تطبيق قاعدة التكامل للقوة لإيجاد التكاملات.

12

تطبيق قاعدة التكامل للثابت

تطبيق قاعدة التكامل للثابت لإيجاد التكاملات.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الثالثة : التفاضل والتكامل - 1

LO-1

الوحدة الثالثة : التفاضل والتكامل