الرياضيات العامة - الفصل 4: الوحدة الثانية : التباديل والتوافيق

# ملخص: الوحدة الثانية : التباديل والتوافيق

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على مبدأ العد الأساسي وتطبيقاته.
2.  يفهم الطالب مفهوم التباديل والتوافيق.
3.  يستخدم الطالب الحاسوب في حساب التباديل والتوافيق.
4.  يتعرف الطالب على العلاقة بين التباديل والتوافيق.
5.  يطبق الطالب مفاهيم التباديل والتوافيق في حل المسائل.
6.  يفهم الطالب كيفية استخدام مبدأ العد في حل المسائل اليومية.

---

## المصطلحات والتعريفات

*   **مبدأ العد الأساسي (Fundamental Counting Principle):** هو مبدأ رياضي يستخدم لحساب عدد النتائج الممكنة في حالة وجود أحداث متتالية.
*   **التباديل (Permutations):** هي ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة مع مراعاة الترتيب.
*   **التوافيق (Combinations):** هي اختيار عناصر من مجموعة ما دون مراعاة الترتيب.
*   **مضروب العدد (n!):** هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الصغيرة أو المتساوية مع العدد n.
*   **مخطط الشجرة البيانية (Tree Diagram):** هو أداة رياضية تستخدم لتمثيل جميع النتائج الممكنة لحالة معينة.

---

## التباديل

التباديل هي ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة مع مراعاة الترتيب. يمكن حساب عدد التباديل باستخدام الصيغة التالية:

$$
P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
$$

حيث n هو عدد العناصر في المجموعة، و r هو عدد العناصر التي يتم ترتيبها.

### مثال

إذا كانت لدينا مجموعة من ثلاثة عناصر {a, b, c}، كيف يمكن ترتيبها بطرق مختلفة مع مراعاة الترتيب؟

الجواب هو:

$$
P(3,3) = \frac{3!}{(3-3)!} = \frac{3!}{0!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6
$$

الطرق هي: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

---

## التوافيق

التوافيق هي اختيار عناصر من مجموعة ما دون مراعاة الترتيب. يمكن حساب عدد التوافيق باستخدام الصيغة التالية:

$$
C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
$$

حيث n هو عدد العناصر في المجموعة، و r هو عدد العناصر التي يتم اختيارها.

### مثال

إذا كانت لدينا مجموعة من ثلاثة عناصر {a, b, c}، كيف يمكن اختيار عنصرين منها بطرق مختلفة دون مراعاة الترتيب؟

الجواب هو:

$$
C(3,2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = \frac{6}{2} = 3
$$

الطرق هي: ab, ac, bc.

---

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1

إذا كان لدينا مجموعة من خمسة عناصر {a, b, c, d, e}، كيف يمكن ترتيب ثلاثة عناصر منها بطرق مختلفة مع مراعاة الترتيب؟

### حل

$$
P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60
$$

### مثال 2

إذا كان لدينا مجموعة من سبعة عناصر {a, b, c, d, e, f, g}، كيف يمكن اختيار أربعة عناصر منها بطرق مختلفة دون مراعاة الترتيب؟

### حل

$$
C(7,4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5040}{24 \times 6} = \frac{5040}{144} = 35
$$

---

## تنبيهات الامتحان

1.  يجب مراعاة الترتيب عند حساب التباديل.
2.  يجب عدم مراعاة الترتيب عند حساب التوافيق.
3.  يجب استخدام الصيغ الرياضية الصحيحة لحساب التباديل والتوافيق.
4.  يجب التحقق من صحة النتائج النهائية.

---

## قائمة المراجعة

1.  تعريف مبدأ العد الأساسي.
2.  تعريف التباديل والتوافيق.
3.  صيغة حساب التباديل.
4.  صيغة حساب التوافيق.
5.  كيفية استخدام مخطط الشجرة البيانية.
6.  أمثلة على تطبيقات التباديل والتوافيق.
7.  كيفية حل المسائل باستخدام مبدأ العد.
8.  أهمية مراعاة الترتيب في التباديل.
9.  أهمية عدم مراعاة الترتيب في التوافيق.
10. كيفية تحديد عدد العناصر في المجموعة.
11. كيفية تحديد عدد العناصر التي يتم ترتيبها أو اختيارها.
12. كيفية استخدام الحاسوب في حساب التباديل والتوافيق.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

مبدأ العد الأساسي

فهم وتطبيق مبدأ العد الأساسي لحساب عدد النواتج الممكنة لحدث مركب.

2

تطبيق مبدأ العد في أمثلة بسيطة

تطبيق مبدأ العد الأساسي لحل مسائل تتضمن اختيار عناصر من مجموعات مختلفة.

3

استخدام مخطط الشجرة البيانية

تمثيل المشاكل باستخدام مخطط الشجرة البيانية لتوضيح جميع الاحتمالات.

4

مفهوم المضروب

فهم تعريف المضروب وكيفية حسابه.

5

حساب المضروب

حساب قيمة المضروب لأعداد صحيحة موجبة.

6

تطبيق المضروب في مسائل الترتيب

استخدام المضروب لحساب عدد طرق ترتيب العناصر في صف واحد.

7

التباديل الجزئية

فهم مفهوم التباديل الجزئية وكيفية حسابها.

8

حل مسائل باستخدام التباديل

تطبيق مفهوم التباديل لحل المسائل المتعلقة بالترتيب.

9

مبدأ العد المشروط

فهم وتطبيق مبدأ العد المشروط لحساب عدد النواتج الممكنة مع وجود قيود.

10

تحديد عدد طرق اختيار عناصر

تحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر من مجموعات مختلفة مع أو بدون قيود.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الثانية : التباديل والتوافيق - 1

LO-1

الوحدة الثانية : التباديل والتوافيق