الصف الثاني الثانوي الفصل 3

المتتابعة الهندسية و المتسلسلات الهندسية

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: المتتابعة الهندسية و المتسلسلات الهندسية

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم
1. تعريف المتتابعة الهندسية وخصائصها.
2. فهم كيفية حساب الحد النوني في المتتابعة الهندسية.
3. القدرة على تحديد النسبة المشتركة في المتتابعة الهندسية.
4. استخدام المتتابعة الهندسية في حل المسائل العملية.
5. تمييز المتتابعة الهندسية عن أنواع المتتابعات الأخرى.
6. تطبيق المفاهيم الهندسية في حل المسائل الرياضية.

## المصطلحات والتعريفات
- **المتتابعة الهندسية (Geometric Sequence):** هي متتابعة يكون فيها النسبة بين أي حد يليها والحد الذي قبله مقداراً ثابتاً يسمى **النسبة المشتركة** ويرمز لها بالرمز $r$.
- **الحد النوني ($T_n$):** هو القانون الذي يوضح قيمة أي حد في المتتابعة بدلالة ترتيبه $n$.
- **النسبة المشتركة ($r$):** هي النسبة الثابتة بين أي حدين متتاليين في المتتابعة الهندسية.
- **الحد الأول ($a_1$):** هو أول حد في المتتابعة الهندسية.
- **الوسط الهندسي:** إذا كانت الأعداد $a, b, c$ تشكل متتابعة هندسية، فإن $b$ يسمى وسطاً هندسياً بين $a$ و $c$, وتحقق العلاقة: $$ b^2 = a \times c $$ أو $$ b = \pm \sqrt{a \times c} $$ .

## المتتابعة الهندسية
المتتابعة الهندسية هي متتابعة يكون فيها النسبة بين أي حد يليها والحد الذي قبله مقداراً ثابتاً يسمى **النسبة المشتركة** ويرمز لها بالرمز $r$. يمكن تمييزها بوجود قيمة ثابتة تُستخدم في حساب كل حد على أساس الحد السابق له.

### أمثلة توضيحية
- المتتابعة $(2, 4, 8, 16, ...)$ هي متتابعة هندسية لأن النسبة بين أي حدين متتاليين هي $2$.
- المتتابعة $(3, 6, 12, 24, ...)$ هي متتابعة هندسية لأن النسبة بين أي حدين متتاليين هي $2$.

## تطبيقات وأمثلة محلولة
### مثال 1: إيجاد الحد النوني
إذا كانت المتتابعة $(a_n)$ متتابعة هندسية، حيث $a_4 = 40$، و $a_7 = 320$. أوجد هذه المتتابعة.

**الحل:**
1. كتابة الحد الرابع:
$$ a_4 = a \cdot r^{3} = 40 $$
2. كتابة الحد السابع:
$$ a_7 = a \cdot r^{6} = 320 $$
3. بالقسمة بين المعادلتين:
$$ \frac{a \cdot r^{6}}{a \cdot r^{3}} = \frac{320}{40} $$
$$ r^{3} = 8 $$
$$ r = 2 $$
4. بالتعويض عن قيمة $r$ في المعادلة الأولى لإيجاد الحد الأول $a$:
$$ a \cdot (2)^{3} = 40 $$
$$ a \cdot 8 = 40 $$
$$ a = \frac{40}{8} = 5 $$
5. كتابة المتتابعة:
المتتابعة هي: $(5, 10, 20, ...)$ حيث الحد الأول $5$ والنسبة المشتركة $2$.

### مثال 2: تحديد النسبة المشتركة
إذا كانت المتتابعة $(2, 6, 18, ...)$ متتابعة هندسية، أوجد النسبة المشتركة.

**الحل:**
- النسبة بين الحد الثاني والأول: $\frac{6}{2} = 3$
- النسبة بين الحد الثالث والثاني: $\frac{18}{6} = 3$
النسبة ثابتة، إذن النسبة المشتركة $r = 3$.

## تنبيهات الامتحان
1. يجب التأكد من أن النسبة بين الحدود الثابتة قبل اعتبار المتتابعة هندسية.
2. لا يجب الخلط بين المتتابعة الهندسية والمتتابعة الحسابية.
3. يجب دائماً التحقق من قيمة النسبة المشتركة في المتتابعة الهندسية.
4. يجب الانتباه إلى الإشارات في المتتابعات، حيث يمكن أن تكون إشارات الحدود موجبة أو سالبة.

## قائمة المراجعة
1. تعريف المتتابعة الهندسية.
2. كيفية حساب الحد النوني في المتتابعة الهندسية.
3. طريقة تحديد النسبة المشتركة.
4. أمثلة على المتتابعات الهندسية.
5. كيفية تمييز المتتابعة الهندسية عن المتتابعات الأخرى.
6. استخدام المتتابعة الهندسية في حل المسائل العملية.
7. فهم概念 الوسط الهندسي.
8. القدرة على كتابة المتتابعة الهندسية باستخدام الحد الأول والنسبة المشتركة.
9. تحليل المتتابعات الهندسية في مسائل مختلفة.
10. استخدام الآلة الحاسبة العلمية في حل المسائل المتعلقة بالمتتابعات الهندسية.
11. فهم كيفية تطبيق المفاهيم الهندسية في حل المسائل الرياضية.
12. القدرة على حل المسائل التي تتضمن المتتابعات الهندسية.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

تمييز المتتابعة الهندسية

تحديد ما إذا كانت المتتابعة هندسية أم لا، بناءً على قسمة كل حد على سابقه.

إيجاد أساس المتتابعة الهندسية

حساب أساس المتتابعة الهندسية (r) بمعرفة حدين متتاليين.

إيجاد الحد النوني للمتتابعة الهندسية

تطبيق صيغة الحد النوني لإيجاد قيمة أي حد في المتتابعة الهندسية.

إيجاد حد معين في متتابعة هندسية

إيجاد حد معين في متتابعة هندسية بمعرفة حدين آخرين أو معلومات كافية.

تكوين المتتابعة الهندسية

بناء متتابعة هندسية بمعرفة بعض حدودها أو معلومات كافية عنها.

إيجاد الوسط الهندسي

حساب الوسط الهندسي بين عددين.

إيجاد مجموع متسلسلة هندسية

تطبيق صيغ إيجاد مجموع عدد معين من الحدود في متسلسلة هندسية.

حل مسائل تطبيقية على المتتابعات الهندسية

تطبيق مفاهيم المتتابعات الهندسية في حل مسائل حياتية.

استخدام الآلة الحاسبة في المتتابعات الهندسية

استخدام الآلة الحاسبة العلمية لإيجاد حدود المتتابعة الهندسية.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد