الصف الثاني الثانوي الفصل 9

الوحدة الرابعة :حساب المثلثات

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة الرابعة :حساب المثلثات

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على قانون الجيب (**Sine Rule**) لأي مثلث، والذي ينص على أنه في أي مثلث تتناسب أطوال أضلاع المثلث مع جيب الزوايا المقابلة لها.
2.  يستخدم الطالب قانون الجيب في إيجاد أطوال أضلاع أي مثلث.
3.  يستخدم الطالب قانون الجيب لأي مثلث في إيجاد قياس زوايا هذا المثلث.
4.  يستنتج الطالب العلاقة بين قانون الجيب لأي مثلث ونصف قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث (**Circumcircle**).
5.  يتعرف الطالب على قانون جيب تمام الزاوية (**Cosine Rule**) لأي مثلث.
6.  يستخدم الطالب قانون جيب تمام الزاوية لأي مثلث في إيجاد طول الضلع الواقع في هذا المثلث.

## المصطلحات والتعريفات

*   **حساب المثلثات (Trigonometry)**: هو أحد فروع مادة الرياضيات (**Mathematics**) بشكل عام والهندسة (**Geometry**) بشكل خاص، حيث توجد العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياس زواياها في صورة دوال مثلثية محددة وهي: دالة الجيب (**Sine**), دالة جيب تمام الزاوية (**Cosine**), دالة المماس (**Tangent**).
*   **قانون الجيب (Sine Rule)**: القانون الذي يربط بين أطوال أضلاع المثلث وقيم جيب زواياها، وينص على أن $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
*   **قانون جيب تمام الزاوية (Cosine Rule)**: القانون الذي يربط بين أطوال أضلاع المثلث وقيم جيب تمام زواياه، وينص على أن $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
*   **نصف قطر الدائرة الخارجة (Circumcircle)**: هو نصف قطر الدائرة التي تمر بجميع رؤوس المثلث.

## قانون الجيب

قانون الجيب هو أحد القوانين الأساسية في حساب المثلثات، وينص على أن $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$، حيث $a, b, c$ هي أطوال أضلاع المثلث، و$A, B, C$ هي قياسات الزوايا المقابلة لها.

### أمثلة على قانون الجيب

*   إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية مع أطوال أضلاع $3, 4, 5$، يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد قياس الزوايا.
*   إذا كان لدينا مثلث مع أطوال أضلاع $5, 6, 7$، يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد قياس الزوايا.

## قانون جيب تمام الزاوية

قانون جيب تمام الزاوية هو أحد القوانين الأساسية في حساب المثلثات، وينص على أن $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$، حيث $a, b, c$ هي أطوال أضلاع المثلث، و$C$ هي قياس الزاوية المقابلة للضلع $c$.

### أمثلة على قانون جيب تمام الزاوية

*   إذا كان لدينا مثلث مع أطوال أضلاع $3, 4, 5$، يمكننا استخدام قانون جيب تمام الزاوية لإيجاد قياس الزوايا.
*   إذا كان لدينا مثلث مع أطوال أضلاع $5, 6, 7$، يمكننا استخدام قانون جيب تمام الزاوية لإيجاد قياس الزوايا.

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد قياس زاوية في مثلث قائم الزاوية

*   إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية مع أطوال أضلاع $3, 4, 5$، يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد قياس الزوايا.
*   أولاً، نجد قياس الزاوية المقابلة للضلع $3$ باستخدام قانون الجيب: $\sin A = \frac{3}{5}$.
*   ثم، نجد قياس الزاوية $A$ باستخدام العكس الرياضي: $A = \arcsin \frac{3}{5}$.
*   بعد ذلك، نجد قياس الزاوية المقابلة للضلع $4$ باستخدام قانون الجيب: $\sin B = \frac{4}{5}$.
*   أخيراً، نجد قياس الزاوية $B$ باستخدام العكس الرياضي: $B = \arcsin \frac{4}{5}$.

### مثال 2: إيجاد طول ضلع في مثلث غير قائم الزاوية

*   إذا كان لدينا مثلث مع أطوال أضلاع $5, 6, 7$، يمكننا استخدام قانون جيب تمام الزاوية لإيجاد قياس الزوايا.
*   أولاً، نجد قياس الزاوية المقابلة للضلع $7$ باستخدام قانون جيب تمام الزاوية: $\cos C = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$.
*   ثم، نجد قياس الزاوية $C$ باستخدام العكس الرياضي: $C = \arccos \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$.

## تنبيهات الامتحان

*   يجب على الطالب قراءة السؤال جيداً قبل الإجابة.
*   يجب على الطالب استخدام القانون الصحيح لحل المسألة.
*   يجب على الطالب التحقق من وحدات القياس قبل الإجابة.
*   يجب على الطالب التحقق من دقة الإجابة قبل الإرسال.

## قائمة المراجعة

1.  قانون الجيب: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
2.  قانون جيب تمام الزاوية: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
3.  نصف قطر الدائرة الخارجة: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.
4.  مساحة المثلث: $\text{Area} = \frac{1}{2} bc \sin A$.
5.  مجموع زوايا المثلث: $A + B + C = 180^\circ$.
6.  قانون الجيب للزوايا الحادة: $\sin A = \frac{a}{2R}$.
7.  قانون جيب تمام الزاوية للزوايا الحادة: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
8.  قانون الجيب للزوايا المنحرفة: $\sin A = \frac{a}{2R}$.
9.  قانون جيب تمام الزاوية للزوايا المنحرفة: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
10. قانون الجيب للزوايا القائمة: $\sin A = \frac{a}{2R}$.
11. قانون جيب تمام الزاوية للزوايا القائمة: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
12. استخدام الآلة الحاسبة في حل المسائل.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم مفهوم حساب المثلثات

يتعرف الطالب على علم حساب المثلثات وأهميته وتطبيقاته.

التعرف على المصطلحات الأساسية

يحدد الطالب المصطلحات الأساسية المستخدمة في الوحدة (زاوية حادة، منفرجة، قائمة، إلخ).

فهم قانون الجيب

يفهم الطالب نص قانون الجيب وعلاقته بأضلاع وزوايا المثلث.

تطبيق قانون الجيب لإيجاد طول ضلع

يستخدم الطالب قانون الجيب لحساب طول ضلع مجهول في مثلث.

تطبيق قانون الجيب لإيجاد قياس زاوية

يستخدم الطالب قانون الجيب لحساب قياس زاوية مجهولة في مثلث.

استنتاج العلاقة بين قانون الجيب ونصف القطر

يستنتج الطالب العلاقة بين قانون الجيب ونصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث.

فهم قانون جيب التمام

يفهم الطالب نص قانون جيب التمام وعلاقته بأضلاع وزوايا المثلث.

تطبيق قانون جيب التمام لإيجاد طول ضلع

يستخدم الطالب قانون جيب التمام لحساب طول ضلع مجهول في مثلث.

تطبيق قانون جيب التمام لإيجاد قياس زاوية

يستخدم الطالب قانون جيب التمام لحساب قياس زاوية مجهولة في مثلث.

استخدام قانوني الجيب وجيب التمام لحل المثلث

يستخدم الطالب قانوني الجيب وجيب التمام لإيجاد جميع أضلاع وزوايا المثلث.

استخدام الآلة الحاسبة في حل المسائل

يستخدم الطالب الآلة الحاسبة لحل تمارين وأنشطة متنوعة على قانوني الجيب وجيب التمام.

حل مسائل حياتية باستخدام قانون الجيب

يطبق الطالب قانون الجيب لحل مسائل حياتية واقعية.

حل مسائل حياتية باستخدام قانون جيب التمام

يطبق الطالب قانون جيب التمام لحل مسائل حياتية واقعية.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد