الصف الثاني الثانوي الفصل 8

الوحدة الثالثة : النهايات

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة الثالثة : النهايات

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

- التعرف على الكميات غير المعينة مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$.
- إيجاد نهاية دالة باستخدام القانون $\lim_{x \to a} x^n = a^n$.
- استنتاج نهاية دالة باستخدام القانون $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = na^{n-1}$.
- إيجاد نهاية دالة عند اللانهاية جبريًا وبيانيًا باستخدام الحاسبة البيانية.
- التعرف على تطبيقات متنوعة على المفاهيم الأساسية للنهايات.

## المصطلحات والتعريفات

- **كمية غير معينة (Unspecified Quantity)**: كمية لا يمكن تحديدها مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$.
- **غير معرف (Undefined)**: عملية لا يمكن إجراؤها مثل القسمة على صفر.
- **نهاية دالة (Limit of a Function)**: قيمة تقترب منها الدالة عند نقطة معينة.
- **تعويض مباشر (Direct Substitution)**: طريقة لتحديد نهاية دالة عن طريق استبدال قيمة النقطة في الدالة.
- **مرافق (Conjugate)**: زوج من الأعداد الحقيقية مثل $a + bi$! و $a - bi$.
- **دالة كثيرة الحدود (Polynomial Function)**: دالة من النوع $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$.

## مقدمة في النهايات

النهايات هي مفهوم أساسي في علم التفاضل والتكامل، وتستخدم لدراسة سلوك الدوال عند نقاط معينة. يمكن تحديد نهاية دالة باستخدام التعويض المباشر أو التحليل. النهايات مهمة في العديد من التطبيقات الهندسية والحياتية والتجارية والعلوم المختلفة.

تعتمد النهايات على سلوك الدالة عند جميع نقاط تعريفها، ولدراسة هذا السلوك، يجب التعرف على أنواع الكميات في مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن أن تكون الكميات غير معينة مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$، أو غير معرفة مثل القسمة على صفر.

النهايات يمكن أن تكون عند نقطة معينة أو عند اللانهاية. يمكن تحديد نهاية دالة عند نقطة باستخدام التعويض المباشر أو التحليل، بينما يمكن تحديد نهاية دالة عند اللانهاية باستخدام الحاسبة البيانية.

## النهايات عند النقاط

النهايات عند النقاط هي قيم تقترب منها الدالة عند نقاط معينة. يمكن تحديد نهاية دالة عند نقطة باستخدام التعويض المباشر أو التحليل. التعويض المباشر هو طريقة لتحديد نهاية دالة عن طريق استبدال قيمة النقطة في الدالة، بينما التحليل هو طريقة لتحديد نهاية دالة عن طريق تحليل سلوك الدالة عند النقطة.

| $x$     | 1.9   | 1.99  | 1.999 | 1.9999 | ... $\to$ 2 |
| ------- | ----- | ----- | ----- | ------ | ----------- |
| $f(x)$ | 4.8   | 4.98  | 4.998 | 4.9998 | ... $\to$ 5 |

$x < 2$

$x$ تقترب من 2 من جهة اليسار

| $x$     | 2.1   | 2.01  | 2.001 | 2.0001 | ... $\to$ 2 |
| ------- | ----- | ----- | ----- | ------ | ----------- |
| $f(x)$ | 5.2   | 5.02  | 5.002 | 5.0002 | ... $\to$ 5 |

$x > 2$

$x$ تقترب من 2 من جهة اليمين

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1

أوجد نهاية الدالة $f(x) = 2x + 1$ عند النقطة $x = 2$.

### الحل

يمكن تحديد نهاية الدالة باستخدام التعويض المباشر:

$\lim_{x \to 2} (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5$

### مثال 2

أوجد نهاية الدالة $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ عند النقطة $x = 2$.

### الحل

يمكن تحديد نهاية الدالة باستخدام التحليل:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$

## تنبيهات الامتحان

- يجب الانتباه إلى الكميات غير المعينة مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$.
- يجب الانتباه إلى العمليات غير المعرفة مثل القسمة على صفر.
- يجب استخدام التعويض المباشر أو التحليل لتحديد نهاية الدالة.
- يجب الانتباه إلى سلوك الدالة عند النقاط المعينة.

## قائمة المراجعة

1.  التعرف على الكميات غير المعينة مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$.
2.  إيجاد نهاية دالة باستخدام القانون $\lim_{x \to a} x^n = a^n$.
3.  استنتاج نهاية دالة باستخدام القانون $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = na^{n-1}$.
4.  إيجاد نهاية دالة عند اللانهاية جبريًا وبيانيًا باستخدام الحاسبة البيانية.
5.  التعرف على تطبيقات متنوعة على المفاهيم الأساسية للنهايات.
6.  استخدام التعويض المباشر أو التحليل لتحديد نهاية الدالة.
7.  الانتباه إلى الكميات غير المعينة مثل $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$.
8.  الانتباه إلى العمليات غير المعرفة مثل القسمة على صفر.
9.  استخدام الحاسبة البيانية لتحديد نهاية الدالة عند اللانهاية.
10. الانتباه إلى سلوك الدالة عند النقاط المعينة.
11. استخدام القوانين والثوابت مثل $\lim_{x \to a} x^n = a^n$ و $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = na^{n-1}$.
12. الانتباه إلى الوحدات المستخدمة وأهميتها في تحديد نهاية الدالة.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على مفهوم النهاية

يفهم الطالب مفهوم النهاية كقيمة تقترب منها الدالة عندما تقترب المدخلات من قيمة معينة.

تمييز الكميات غير المعينة

يتعرف الطالب على الكميات غير المعينة مثل 0/0 و ∞/∞.

تحديد ناتج عمليات حسابية

يحدد الطالب ناتج العمليات الحسابية التي تتضمن ∞ و -∞.

فهم رمز النهاية

يفهم الطالب الرمز الرياضي للنهاية: lim(x→a) f(x) = L.

تقدير قيم الدالة من جدول

يستخدم الطالب جداول قيم الدالة لتقدير قيمة النهاية.

تقدير قيم الدالة من الرسم البياني

يستخدم الطالب الرسوم البيانية لتقدير قيمة النهاية.

التمييز بين قيمة الدالة والنهاية

يميز الطالب الفرق بين قيمة الدالة عند نقطة ونهاية الدالة عند نفس النقطة.

تحديد وجود النهاية من الرسم البياني

يحدد الطالب ما إذا كانت النهاية موجودة أم لا بناءً على الرسم البياني للدالة.

تطبيق مفهوم النهاية

يستخدم الطالب مفهوم النهاية لحل مسائل بسيطة.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد